高一数学函数一二次函数知识点及测试题

很好很强很全高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题一次函数二次函数知识点：一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k0）二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式：（不全，希望有人补充） 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象； 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k0时，开口向上，当a0，当x -b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 当=0图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(a0时，方程只有一个实根； 的图象关于点（0，c）对称；方程至多有两个实根 上述命题中正确的序号为 7（北师大版第54页A组第6题）值域求二次函数在下列定义域上的值域：(1)定义域为；(2) 定义域为变式1：函数的值域是 A B C D 变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是_变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a 0），满足条件 f (1 + x) = f (1x)，且方程 f (x) = x 有等根(1)求 f (x) 的解析式；(2)是否存在实数 m、n（m 0）有两个相异的不动点 x1、x2(I)若 x1 1 ；(II)若 | x1 | 0(开口方向)； c=1(和y轴的交点)； (和x轴的交点)；()； (判别式)； (对称轴)3（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选D变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，即变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，已知函数在上是单调函数，区间应在直线的左侧或右侧，xyO即有或，解得或4（人教A版第43页B组第1题）最值变式1： 解：作出函数的图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，m的取值范围是，故选C变式2： 解：函数有意义，应有，解得， ，M=6，m=0，故M + m=6变式3： 解：函数的表达式可化为 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求综上所述，或5（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1： 解：函数是偶函数 ，当时，是常数；当时，在区间上是增函数，故选D变式2：解：根据题意可知应有且，即且，点的坐标是变式3： 解：（I）当时，函数，此时，为偶函数；当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且，若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为6（北师大版第64页A组第9题）图像变换变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间xyxO当时，当时，作出函数图像，由图像可得单调区间在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以是不正确的；若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以是不正确的；若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，在区间a，上是增函数，即是正确的；显然函数没有最大值，所以是不正确的变式3： 解：，(1)当c=0时，满足，是奇函数，所以是正确的；(2)当b=0，c0时，方程即 或 ，显然方程无解；方程的唯一解是 ，所以 是正确的；(3)设是函数图像上的任一点，应有，而该点关于（0，c）对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以是正确的； (4)若，则，显然方程有三个根，所以 是不正确的7（北师大版第54页A组第6题）值域变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，注意到函数定义不包含，所以函数值域是变式2：解： y= cos2x+sinx=2sin2x+sinx+1，令t= sinx 1,1，则y=2t2+t+1，其中t 1,1，y 2, ，即原函数的值域是2, 变式3： 解：(I) f (1 + x) = f (1x)， = 1，又方程 f (x) = x 有等根 a x 2 + (b1) x = 0 有等根， = (b1) 2 = 0 b = 1 a = ， f (x) = x 2 + x(II) f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1 当 m1 时，f (x) 在 m,n 上是减函数，3m = f (x)min = f (n) = n 2 + n(*)， 3n = f (x)max = f (m) = m 2 + m，两式相减得：3 (mn) = (n 2m 2) + (nm)，1m 0 的解集为 R，应有 a 1，实数 a 的取值范围是(1,+) (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+) 的所有值1 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2 当 a 0 时，应有 0 0，由x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 1 x2，g(1) 0 a + b 1 ，即 m (II) = (b1) 24a 0 (b1) 2 4a， x1 + x2 = ，x1x2 = ，| x1x2 | 2 = (x1 + x2) 24x1x2 = () 2= 2 2，(b1) 2 = 4a + 4a 2(*)又| x1x2 | = 2， x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，要 g(x) = 0 有一根属于 (2,2)，则 g(x) 对称轴 x = (3,3)， 3 | b1 |，把代入 (*) 得：(b1) 2 | b1 | + (b1) 2，解得：b ， b 的取值范围是：(, )( ,+)10（北师大版第52页例3）应用变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0xa)，则B点的坐标为，A点的坐标为设矩形ABCD的周长为P，则P=2(0x2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:；若0 2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 0，则0，此时g(a)=g( ) a+2= +2 a = a =1(舍去a=1)；若a0，则2，此时g(a)=g( ) a+2= a=2+(舍去)；若a，则2，此时g(a)=g( ) a= a= (舍去)；若a，则，此时g(a)=g( ) =恒成立；若2a，则，此时g(a)=g( ) =a a= (舍去)；若a2，则2 (舍去) 综上所述，满足的所有实数a为：或