命制二次函数中考题的实践与思考.doc

命制二次函数中考题的实践与思考南京市教学研究室 朱建明函数是中学数学的核心内容，它是刻画变量与变量之间依赖关系的数学模型作为函数中的重要成员，二次函数在现实世界中有着广泛的应用，它是研究单变量最优化问题的基本模型，如最大面积、最大利润等几乎所有的中考数学试卷，都包含二次函数试题，命制好二次函数试题，不仅能有效考查学生数学基础知识及基本技能，还能有效考查学生的基本数学素质和能力下面笔者就以近年南京市中考数学试题为例，谈谈命制二次函数中考题的实践与思考1 通过利用两个相关变量的一次函数关系命制试题对于现实生活中的有些三量关系的实际问题，在它们的相等关系abc中，如果b是c的一次函数，那么可以构建a与c的二次函数关系，例如，买卖商品时的商品数量、单价、总金额三个量中，如果商品的数量与单价成一次函数关系，那么买卖商品的总金额与单价之间或者总金额与商品数量之间就可以构建二次函数关系通过这种关系构造二次函数模型在现行初中数学教材和中考数学试卷中较为常见例1 （1999年）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件（1）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本题中设每件衬衫应降价x元，那么该商场平均每天可多售出2x件衬衫，这两个变量满足一次函数关系，于是商场每天的盈利与每件衬衫应降价的金额之间就构成了一个二次函数模型本题的得分率为0.27，本题结合实际问题，考查了学生用所学知识建立二次函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的实际问题，使学生体会二次函数是刻画现实世界的重要的数学模型，体会二次函数与二次方程之间的有机联系学生解答时的主要错误有：不能利用每件衬衫应降价的金额与平均每天可多售出的衬衫数之间的一次函数关系列出二次函数；配方求最值时出现错误类似的试题素材我们在2006年南京市中考数学命题中也曾使用过，那是在例1的基础上的延伸和拓展：某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克为了促销，该经营户决定降价销售经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克另外，每天的房租等固定成本共24元该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？实际上，本题如果本题加上一问：“每千克小型西瓜的售价降低多少元时，该经营户平均每天盈利最多？”，那么方程型应用问题就转变为二次函数型应用问题了2 通过挖掘二次函数关系式的内涵命制试题二次函数关系式可以从另一角度来认识，yax2bxc可以分成“三部分的和”来认识：与x2成正比例部分、与x成正比例部分、固定不变部分c这三部分的和这样不仅可以丰富对函数的认识，而且大大拓展了命制函数试题的渠道例2 （2005年）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是21，已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽是x米（1）求y与x之间的关系式；（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽本题是将ax2bxc分成三部分后，再将它们赋予实际意义，即制作这面镜子的总费用包括购买镜面玻璃的费用、买边框的费用以及制作这面镜子的加工费三部分，这种认识与把yax2bxc看成一个整体有着较大的反差，正是这种认识上的变化，带来了命制试题的创新变化实际上一次函数也可以看成是kx、b两部分的和，利用一次函数的这一特性也可以命制试题本题的得分率为0.48，主要考查学生二次函数知识、分析问题和解决问题的能力，学生解答时的主要错误有：误列函数y240 x290 x45或y16 x212 x3；不理解题意，无法求解3 通过利用几何图形的性质命制试题利用三角形、四边形的有关性质以及图形之间的相互关系，可以构建图形面积和相关线段长、线段长与线段长之间的二次函数关系31 命制有关面积的二次函数问题与面积有关的二次函数问题较为常见，这类问题往往因缺少变化而显得过于简单，因此作为中考试题，必须增加图形之间关系的复杂性，使之能完成数学中考的相应考查目标例3 （2001年）如图1，E、F分别是边长为的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE1，CF，直线FE交AB的延长线于G过线段FG上的一个动点H作HMAG，HNAD，垂足分别为M、N设HMx，矩形AMHN的面积为y（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少?本题是一道典型的描述面积与相关线段长之间的二次函数关系问题，主要通过平行线和三角形相似来联接线段与线段之间的关系本题的得分率为0.38，主要考查学生二次函数知识、运算能力和逻辑推理能力，学生解答时的主要错误有：利用配方法求最大面积时不能正确配方、先设y与x之间的函数关系式是ykxb或yax2bxc，然后求解；错误利用FCEHOE求解图1ODABCNMFGHE图2例4 （2006年）如图2，在矩形ABCD中，AB2AD，线段EF10在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD令MNx，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？本题利用矩形ABCD与矩形MFGN之间的相似关系、线段AB与AD之间的数量关系，找出线段EM与MN之间的数量关系，于是求出S与x之间的函数表达式本题还可以将矩形全部改为平行四边形，研究一般化的图形之间的关系本题的得分率为0.57，主要考查二次函数知识、获取图形信息的能力和逻辑推理能力，学生解答时的主要错误有：寻找EM与MN之间的数量关系时出现错误；利用配方法求最大值时不能正确配方、先设y与x之间的函数关系式是yax2bxc，然后求解32 命制有关线段与线段之间关系的问题利用线段与线段之间关系构建二次函数模型，在数学中考试题中并不多见，这是特殊图形中蕴涵的特殊关系，因此命制这类中考数学试题，需要挖掘图形的内在特点和规律ABCDEF图3例5 （2007年）如图3，在梯形ABCD中，ADBC，ABDCAD6，ABC60，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且BEF120设AEx，DFy（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？本题是以图形为背景的二次函数的应用问题，这类问题在以前曾出现过，如下面的题1和题2：题1 如图4，在等边三角形ABC中，AB2，点D、E分别在线段BC、AC上（点D与点B、C不重合），且ADE60设BDx，CEy（1）求y与x的函数表达式；AEFBCD图5（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？BCD图4EA题2 如图5，在正方形ABCD中，AB2，点E、F分别在线段BC、CD上（点E与点B、C不重合），且AEF90设BEx，CFy（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？题1是在等边三角形中构建一个60角的问题，题2是在矩形正方形中构建一个90角的问题，例5则是在此基础上的进一步延伸和拓展，原来是在正六边形中构建一个120角的问题，后进行了图形的简化，才变成了在等腰梯形中构建一个120角的问题这些问题都只要利用两个三角形相似就可以求出y与x的函数表达式例5的得分率为0.44，主要考查二次函数的性质、运算能力和逻辑推理能力，学生解答时的主要错误有：没能正确推导出ABEDEF，因而无法求出二次函数表达式；利用配方法求最大值时不能正确配方总之，二次函数以其表达形式简单、内涵丰富而广受命题者亲睐，但命制一个题干优美、符合考查目标的二次函数试题，需要命题者从生活和数学中开发和利用试题素材资源，更多地进行探索和研究当然，命制二次函数中考题还要防止出现“解析几何”化的倾向，使其更好地符合新课程标准的理念和要求本文发表于中学数学教学参考初中版2008年第3期