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高一数学必修1 各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性(2)元素的互异性(3)元素的无序性3.集合的表示： 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1） 列举法：a,b,c2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x|x-323） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn 图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：A B有两种可能（1）A是B 的一部分，；（2）A 与B是同一集合。反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A/B 或B/A2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)如果AB, BC ,那么AC第2 页共12 页 如果AB 同时BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集 记作A B（读作A交B ），即A B=x|xA，且xB由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合， 叫做A,B 的并集记作：A B（读作A 并B），即A B =x|xA，或xB)设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）记作C A S ，即CSA=x | xS,且xA韦恩图示A B1A B2SAS第3 页共12 页性质A A=AA =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有个3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M 与N 的关系是.4.设集合A=x 1 x 2，B=x x a ，若AB，则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点（ 含边界上的点） 组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m 的值二、函数的有关概念第4 页共12 页1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21 页相关例2)2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x，y)，均在C 上.(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换第5 页共12 页4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象）”对于映射f：AB 来说，则应满足：(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1 ， x2 ， 当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是第6 页共12 页下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取x1，x2D，且x11，且n N * 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0 = 0。当n是奇数时，n a n = a ，当n是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：a n = n a m (a 0,m,n N * ,n 1) 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ar ar = ar +s(a 0,r,s R)；（2） (ar )s = ars(a 0,r ,s R)；（3）(ab)r = ar a s(a 0,r ,s R)（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y = a x (a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a 0且a 1) 值域是f (a), f (b) 或f(b),f (a)；（2）若x 0，则f (x ) 1；f (x)取遍所有正数当且仅当x R；（3）对于指数函数f (x ) = a x (a 0且a 1)，总有f (1) = a；二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果a x = N (a 0,a 1)，那么数x叫做以. a为. 底. N 的对数，记作：x N a = log （a 底数，N 真数， N a log 对数式）说明：1 注意底数的限制a 0，且a 1；2a N a N xx = log = ；3注意对数的书写格式两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数lg N ；2自然对数：以无理数e = 2.71828 为底的对数的对数ln N 指数式与对数式的互化幂值真数ab N loga N b底数指数对数（二）对数的运算性质如果a 0，且a 1，M 0，N 0，那么：1 M a log ( N) = M a log N a log ；log a M = n M a log (n R )利用换底公式推导下面的结论（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y = log x(a 0 a ，且a 1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，y = x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：(a 0，且a 1)2、对数函数的性质：（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如y = x (a R)的函数称为幂函数，其中 为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2） 0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数特别地，当 1时，幂函数的图象下凸；当0 1时，幂函数的图象上凸；第11 页共12 页（3） 0时，幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+ 时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y = f (x )(x D)，把使f (x ) = 0成立的实数x叫做函数y = f (x )(x D)的零点。2、函数零点的意义：函数y = f (x )的零点就是方程f (x ) = 0实数根，亦即函数y = f (x )的图象与x轴交点的横坐标。即：方程f (x ) = 0有实数根函数y = f (x )的图象与x轴有交点函数y = f (x )有零点3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f (x) = 0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f (x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数y = ax 2 +bx +c(a 0)（1），方程ax 2 +bx +c = 0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程ax 2 +bx +c = 0有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程ax 2 +bx +c = 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点_