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学科：数学教学内容：直线与平面【考点梳理】一、考试内容1.平面。平面的基本性质。平面图形直观图的画法。2.两条直线的位置关系。平行于同一条直线的两条直线互相平行。对应边分别平行的角。异面直线所成的角。两条异面直线互相垂直的概念。异面直线的公垂线及距离。3.直线和平面的位置关系。直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定与性质。点到平面的距离。斜线在平面上的射影。直线和平面所成的角。三垂线定理及其逆定理。4.两个平面的位置关系。平面平行的判定与性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定与性质。二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角相交直线所成的角；异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；直线与平面所成的角斜线与斜线在平面内射影所成的角；二面角用二面角的平面角来度量。（2）距离两点之间的距离连接两点的线段长；点线距离点到垂足的距离；点面距离点到垂足的距离；平行线间的距离平行线上一点到另一直线的距离；异面直线间的距离公垂线在两条异面直线间的线段长；线面距离平行线上一点到平面的距离；面面距离平面上一点到另一平面的距离；球面上两点距离球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。四、思想方法1.用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。3.注意下面的转化关系：4.在直接证明有困难时，可考虑间接证法，如同一法和反证法。5.求角与距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。（3）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角，构造一个含的三角形，解三角形即可。方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角。（4）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（5）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根据定义作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面上的图形面积为S，它在另一个平面上的投影面积为S，这两个平面的夹角为，则S=Scos。求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。【例题解析】例1 如图7-1，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点。（1）求证：EFGF；（2）求证：MN平面EFGH；（3）若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。解 （1）如图7-2，作GQB1C1于Q，连接FQ，则GQ平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EFFQ，由三垂线定理得EFGF。（2）连DG和EG。N为CL的中点，由正方形的对称性，N也为DG的中点。在DEG中，由三角形中位线性质得MNEG，又EG平面EFGH，MN平面EFGH，MN平面EFGH。（3）图7-3为图7-2的顶视图。连NH和NE。设N到平面EFGH的距离为h，VENGH=VNHEGAA1SNHG=hSHEG2=hEHHG又EH=,HG= =hh=例2 如图7-4，已知ABC中， ACB=90，CDAB，且AD=1，BD=2，ACD绕CD旋转至ACD，使点A与点B之间的距离AB=。（1）求证：BA平面ACD；（2）求二面角ACDB的大小；（3）求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。解 （1）CDAB，CDAD，CDDB，CD平面ABD，CDBA。又在ADB中，AD=1，DB=2，AB=，BAD=90，即BAAD，BA平面ACD。（2）CDDB，CDAD，BDA是二面角ACDB的平面角。又RtABD中，AD=1，BD=2，ADB=60，即 二面角ACDB为60。（3）过A作AEBD，在平面ABD中作DEAE于E，连CE，则CAE为AC与BD所成角。CD平面ABD，DEAE，AECE。EAAB，ADB=60，DAE=60，又AD=1，DEA=90，AE=又在RtACB中，AC=AC=AC=RtCEA中，cosCAE=,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为。例3 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC。（1）求三棱锥PABC的体积V；（2）作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；（3）求二面角APCB的大小。解 （1）PA平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4。PA平面ABC，PAAC。在RtPAC中，可求出PC=5。则PB=BC=5。取BC中点D，连AD。在等腰ABC中，求出底边上的高AD=。V=53=。 （2）连PD，则PDBC，又ADBC，BC平面PAD。又BC平面PBC，平面PAD平面PBC。作AEPD于E，则AE平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段。在RtPAD中，由PAAD=AEPD，得3=AE，求出AE=。（3）作AFPC于F，连EF，由三垂线定理逆定理，得EFPC，AFE为二面角APCB的平面角。在RtPAC中，由PAAC=PCAF，即34=5AF，求出AF=，sinAFE=，则AFE=arcsin。例4 如图7-7，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB，AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F。（1）求证：平面A1EF平面B1BCC1；（2）求点A到平面B1BCC1的距离；（3）当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等？解 （1）已知A1EB1B于E，A1FC1C于F，且B1BC1C， B1BA1F。又A1EA1F=A1，B1B平面A1EF。平面A1EF平面B1BCC1。（2）因为A1B1B=A1AB=A1AC=A1C1C=45，A1B1=A1C1，A1EB1=A1FC1=90，A1B1=2，RtA1B1ERtA1C1F， A1E=A1F=，B1EC1F，EF=B1C1=2，A1E2+A1F2=EF2，A1EF为等腰直角三角形，取EF的中点N，连A1N，则A1NEF，A1N平面B1BCC1，A1N为点A1到平面B1BCC1的距离。又有A1N=EF=1，所以点A1到平面B1BCC1的距离为1。（3）如图7-8，设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连AD，DD1和A1D1，则NDD1。DD1BB1AA1，A，A1，D，D1四点共面，ADA1D1，A1ADD1为平行四边形。B1C1A1D1，A1N平面BCC1B1，B1C1D1D，又B1C1A1N，B1C1平面ADD1A1，BC平面ADD1A1，平面A1ADD1平面ABC。作A1M平面ABC于M，则点M在AD上。若A1M=A1N，又A1AD=A1D1D，A1MA=A1ND1=90,则有RtA1MARtA1ND1，于是A1A=A1D1=。即当A1A=时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等。例5 如图7-9，已知：PD平面ABCD，ADDC，ADBC，PDDCBC=11。（1）求PB与平面PDC所成角的大小；（2）求二面角DPBC的正切值；（3）若AD=BC，求证平面PAB平面PBC。解 （1）由PD平面ABCD，BC平面ABCD，得PDBC。由ADDC，ADBC，得BCDC。又PDDC=D，则BC平面PDC。所以BPC为直线PB与平面PDC所成的角。令PD=1，则DC=1，BC=，可求出PC=。由BC平面PDC，PC平面PDC，得BCPC。在RtPBC中，由PC=BC得BPC=45，即直线PB与平面PDC所成的角为45。（2）法一：如图7-10，取PC中点E，连DE， 则DEPC。由BC平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC平面PBC。则DE平面PBC。作EFPB于F，连DF，由三垂线定理，得DFPB。则DFE为二面角DPBC的平面角。在RtPDC中，求得DE=。在RtPFE中，求得EF=。在RtDEF中，tanDFE=。即二面角DPBC的正切值为。 法二：由PD平面ABCD，PD平面PDB，得平面PDB平面ABCD。如图7-11，作CHBD于H，则CH平面PDB。作HFPB于F，连CF，由三垂线定理得CFPB。则CFH为二面角DPBC的平面角。在等腰RtPBC中，求出斜边上的中线CF=1。在RtDBC中，求出DB=，可进一步求出斜边上的高CH=。在RtFHC中，求出HF=，tanHFC=，即二面角DPBC的正切值是。（3）如图7-12，取PB中点G，连AG和EG。由三角形中位线定理得GEBC，GE=BC。由已知，ADBC，AD=BC。AD=GE，ADGE。则四边形AGED为平行四边形，AGDE。由（2）的解法（一），已证出DE平面PBC，AG平面PBC。又AG平面PAB，平面PAB平面PBC。例6 如图7-13，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；（2）求证：MN平面PCD；（3）当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围。解 （1）PA平面ABCD，CDAD，PDCD。故PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角。在RtPAD中，PAAD，PA=AD，PDA=45。（2）如图7-14，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，ENCDAB AMNE是平行四边形MNAE。在等腰RtPAD中，AE是斜边的中线。AEPD。又CDAD，CDPD CD平面PAD，CDAE，又PDCD=D，AE平面PCD。MN平面PCD。（3）ADBC，所以PCB为异面直线PC，AD所成的角。由三垂线定理知PBBC，设AB=x(x0)。tanPCB=。又（0，），tanPCB（1，+）。又PCB为锐角，PCB（，），即异面直线PC，AD所成的角的范围为（，）。例7 如图7-15，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都等于a,D、E分别是AC1、BB1的中点，（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角EAC1C的大小；（3）求点C1到平面AEC的距离。解 （1）过D在面AC1内作FGA1C1分别交AA1、CC1于F、G，则面EFG面ABC面A1B1C1，EFG为正三角形，D为FG的中点，EDFG。连AE， D、E分别为的中点， 。又面EFGBB1，EDBB1，故DE为AC1和BB1的公垂线，计算得DE=a。（2）AC=CC1，D为AC1的中点，CDAC1，又由（1）可知，EDAC1，CDE为二面角EAC1C的平面角，计算得CDE=90。或由（1）可得DE平面AC1，平面AEC1平面AC1，二面角EAC1C为90。（3）用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。例8 如图7-16，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都是2，侧棱与底面成60的角，且侧面ABB1A1底面ABC，（1）求证：B1CC1A；（2）求二面角C1ABC的大小；（3）求三棱锥B1ABC1的体积。解 （1）作B1DAB于D，侧面ABB1A1底面ABC，又B1D面ABB1A1，B1D底面ABC。B1BA=60。故ABB1是正角形。D是AB的中点。连CD，又ABC是正三角形，CDAB。又CD是B1C在平面ABC上的射影，B1CAB。又BB1C1C是菱形，B1CBC1。又ABBC1=B，B1C面ABC1。又AC1面ABC1，B1CC1A。（2）2ACC1A1是菱形，C1AA1C。又B1CA1C=C，且由（1）知，C1A面A1B1C。C1AA1B1。又ABA1B1。C1AAB。连DE，则DEC1A，DEAB。又CDAB，CDE是二面角C1ABC的平面角。在CDB1中，CD=B1D=，CDB1是直角，且DE平分CDB1，CDE=45。（3）由（1）已证B1C面ABC1，B1E是三棱锥B1ABC1的高，且B1E=，又DE=B1E=，SABC=ABAC1=ABDE=2=，V=SABCB1E=1。例9 如图7-17，已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC的中点。（1）证明AB1DBC1；（2）假设AB1BC1，BC=2。求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。解 （1）如图7-18，A1B1C1ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形。连结B1C，交BC1于E，则BE=EC。连结DE。在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1。（2）作AFBC，垂足为F。因为面ABC面B1BCC1，AF平面B1BCC1。连结B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影。BC1AB1，BC1B1F。四边形B1BCC1是矩形，B1BF=BCC1=90，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1，则=。又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BFBC=12=2。于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=，即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。例10 如图7-19（a），已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=BCD=60。（1）证明：C1CBD；（2）假定CD=2，C1C=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。（2000年全国高考题）。 解 如图7-19(b),(1)连结A1C1、AC，设AC和BD交于O，连 C1O。四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD。又BCC1=DCC1，C1C=C1C，C1BCC1DC，C1B=C1D，DO=OB，C1OBD，又ACBD，ACC1O=O，BD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD。（2）由（1）知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角。在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22+（）2 22cos60=。OCB=30，OB=BC=1，C1O2=C1B2-OB2=-1=，C1O=，即C1O=C1C。作C1HOC，垂足为H，则点H是OC的中点，且OH=，所以cosC1OC=。（3）当=1时，能使A1C平面C1BD。证明一：=1，BC=CD=C1C，又BCD=C1CB=C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D。三棱锥CC1BD是正三棱锥。 设A1C与C1O相交于G。A1C1AC，且A1C1OC=21，C1GGO=21。又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，点G是正三角形C1BD的中心，CG平面C1BD，即A1C平面C1BD。证明二：由（1）知，BD平面AC1，又A1C平面A1C1，BDA1C。当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BDA1C的证法可得BC1A1C。又BDBC1=B，A1C平面C1BD。
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