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2010高考数学萃取精华30套（10）1. 南通、扬州、泰州三市一模17（本小题满分15分）设等比数列的首项为a1，公比为q，且q0，q1.（1）若a1=qm，mZ，且m1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项；（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且m1，使得a1=qm.证明：（1）设为等比数列中不同的两项，由，得2分又，且，所以所以是数列的第项 6分（2）等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，令，由，得，令整数，则9分下证整数若设整数，则令，由题设，取，使 ，即，所以，即12分所以q0，q1，与矛盾!所以15分18（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知M经过点F1（0，c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c0（1）求M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由18解：（1）设M的方程为，则由题设，得解得 3分M的方程为，M的标准方程为 5分（2）M与轴的两个交点，又，由题设 即 所以7分解得，即 所以椭圆离心率的取值范围为10分（3）由（1），得由题设，得 ，直线MF1的方程为， 直线DF2的方程为 13分由，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上15分19（本小题满分16分）如图所示的自动通风设施该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a）米上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；CABMNDEmmABCDEMN（第19题）（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积19解：（1）（一）时，由平面几何知识，得， 3分（二） 时，5分（2） （一）时，当时，当时，7分（二）时， ，等号成立 时，10分A时，时当，时，当，12分B时，当时，14分综上，时，当时，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米时，当时， 即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米16分20（本小题满分16分）设函数f（x）x4bx2cxd，当xt1时，f（x）有极小值（1）若b6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间m2，m2上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2（t1，t11），使f （t2）0，证明：函数g（x）f（x）x2t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点20解：（1）因为 f（x）x4bx2cxd，所以h（x）f （x）x312xc2分由题设，方程h（x）0有三个互异的实根考察函数h（x）x312xc，则h （x）0，得x2x（，2）2（2，2）2（2，）h （x）00h（x）增c16 （极大值）减c16（ 极小值）增所以 故16c16，即（x2）2（x4）0（*）在区间m2，m2上恒成立 7分所以m2，m2是不等式（*）解集的子集所以或m22，即2m4 9分（3）由题设，可得存在，R，使f （x）x3+2bxc（xt1）（x2x），且x2x0恒成立 11分又f（t2）0，且在xt2两侧同号，所以f（x） （xt1）（xt2）2 13分另一方面，g （x）x3（2b1）xt1cx32bxc（xt1）（xt1）（xt2）21因为 t1 x t2，且 t2t11，所以1 t1t2 xt2 0所以 0（xt2）21，所以（xt2）210，所以g （x）0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点16分2. 江西师大附中二模20（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20. （1）解：，令，得 若，则，在区间上单调递增. 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减. 6分（2）解：， 由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当， 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而，即方程无实数解 故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直12分21（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值 21. （1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系 若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为； 若，即，动点所在的曲线方程为. 4分(2)当时，其曲线方程为椭圆 由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组得， 同理可求得， 面积= 8分令则令 所以，即 当时，可求得,故， 故的最小值为，最大值为1. 12分（2）另解：令，则解得所以，而因此，即最大值是1，最小值是.22（本小题满分12分）函数的反函数为，数列和满足：，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为. （1）求数列的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）令函数,.数列满足:,且，(其中).证明:.22. 解:(1)令 解得 由 解得 函数的反函数则 得 是以2为首项，1为公差的等差数列，故4分(2) 在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值， 的取值范围为8分(3) 所以 又因 则 显然10分 12分 .14分
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