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重庆市2015年中考专题训练-第26题动点问题2014年重庆（2014内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由（2014年四川巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线lx轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t0）求点M的运动时间t与APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值（2014年江苏盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F求证：PD+PE=CF小军的证明思路是：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PE=CF小俊的证明思路是：如图2，过点P作PGCF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分别为D、C，且ADCE=DEBC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dmM、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和（2014年 四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点点A的横坐标为3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PCx轴于C，交直线AB于D（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2SBPD；（3）是否存在点P，使PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（2014抚顺）已知：RtABCRtABC，ACB=ACB=90，ABC=ABC=60，RtABC可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC和AA相交于点D（1）如图1所示，当点C在AB边上时，判断线段AD和线段AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将RtABC由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将RtABC由图1的位置按顺时针方向旋转角（0120），当A、C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线段AM，连接FM.（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；（3） 连接EM，若AEM的面积为40，请直接写出AFM的周长.温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.本题满分12分）问题探究（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P,使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰APD，并求出此时BP的长； （2）如图，在ABC中，ABC=60，BC=12，AD是BC边上的高，E,F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90。求此时BQ的长； 问题解决（3）有一山庄，它的平面为的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大约为60，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知A=E=D=90。AB=270m。AE=400m，ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由。CAABDABCFEDCAABEDA （2014内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题（3）由于AB为直角边，分别以BAM=90（如图3）和ABM=90（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标解答：解：（1）如图1，A（3，0），C（0，4），OA=3，OC=4AOC=90，AC=5BCAO，AB平分CAO，CBA=BAO=CABBC=ACBC=5BCAO，BC=5，OC=4，点B的坐标为（5，4）A（3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，解得：抛物线的解析式为y=x2+x+4（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，A（3.0）、B（5，4）在直线AB上，解得：直线AB的解析式为y=x+设点P的横坐标为t（3t5），则点Q的横坐标也为tyP=t+，yQ=t2+t+4PQ=yQyP=t2+t+4（t+） =t2+t+4t=t2+ =（t22t15） =（t1）216 =（t1）2+0，315， 当t=1时，PQ取到最大值，最大值为（3）当BAM=90时，如图3所示抛物线的对称轴为x=xH=xG=xM= yG=+=GH=GHA=GAM=90，MAH=90GAH=AGMAHG=MHA=90，MAH=AGM，AHGMHA=解得：MH=11点M的坐标为（，11）当ABM=90时，如图4所示BDG=90，BD=5=，DG=4=，BG= = = 同理：AG=AGH=MGB，AHG=MBG=90， AGHMGB= = 解得：MG=MH=MG+GH =+ =9 点M的坐标为（，9）综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，11） （2014年四川巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线lx轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t0）求点M的运动时间t与APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx4与x轴交于点A（2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式；（2）由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：当0t2时，由AMPAOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；当2t3时，过点P作PMx轴于M，PFy轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可解：（1）抛物线y=ax2+bx4与x轴交于点A（2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，解得：，抛物线的解析式是：y=x2x4，（2）分两种情况：当0t2时，PMOC，AMPAOC，=，即=，PM=2t解方程x2x4=0，得x1=2，x2=4，A（2，0），B（4，0），AB=4（2）=6AH=ABBH=6t，S=PMAH=2t（6t）=t2+6t=（t3）2+9，当t=2时S的最大值为8；当2t3时，过点P作PMx轴于M，作PFy轴于点F，则COBCFP，又CO=OB，FP=FC=t2，PM=4（t2）=6t，AH=4+（t2）=t+1，S=PMAH=（6t）（t+1）=t2+4t+3=（t）2+，当t=时，S最大值为综上所述，点M的运动时间t与APQ面积S的函数关系式是S=，S的最大值为点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键（2014年江苏盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F求证：PD+PE=CF小军的证明思路是：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PE=CF小俊的证明思路是：如图2，过点P作PGCF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PGBE、PHBC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分别为D、C，且ADCE=DEBC，AB=2dm，AD=3dm，BD=dmM、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求DEM与CEN的周长之和考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质专题：压轴题；探究型分析：【问题情境】如下图，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题【变式探究】如下图，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQBF，垂足为Q，如下图，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可【迁移拓展】由条件ADCE=DEBC联想到三角形相似，从而得到A=ABC，进而补全等腰三角形，DEM与CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题解答：解：【问题情境】证明：（方法1）连接AP，如图PDAB，PEAC，CFAB，且SABC=SABP+SACP，ABCF=ABPD+ACPEAB=AC，CF=PD+PE（方法2）过点P作PGCF，垂足为G，如图PDAB，CFAB，PGFC，CFD=FDG=FGP=90四边形PDFG是矩形DP=FG，DPG=90CGP=90PEAC，CEP=90PGC=CEPBDP=DPG=90PGABGPC=BAB=AC，B=ACBGPC=ECP在PGC和CEP中，PGCCEPCG=PECF=CG+FG=PE+PD【变式探究】证明：（方法1）连接AP，如图PDAB，PEAC，CFAB，且SABC=SABPSACP，ABCF=ABPDACPEAB=AC，CF=PDPE（方法2）过点C作CGDP，垂足为G，如图PDAB，CFAB，CGDP，CFD=FDG=DGC=90四边形CFDG是矩形CF=GD，DGC=90CGP=90PEAC，CEP=90CGP=CEPCGDP，ABPD，CGP=BDP=90CGABGCP=BAB=AC，B=ACBACB=PCE，GCP=ECP在CGP和CEP中，CGPCEPPG=PECF=DG=DPPG=DPPE【结论运用】过点E作EQBC，垂足为Q，如图，四边形ABCD是矩形，AD=BC，C=ADC=90AD=8，CF=3，BF=BCCF=ADCF=5由折叠可得：DF=BF，BEF=DEFDF=5C=90，DC=4EQBC，C=ADC=90，EQC=90=C=ADC四边形EQCD是矩形EQ=DC=4ADBC，DEF=EFBBEF=DEF，BEF=EFBBE=BF由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQPG+PH=4PG+PH的值为4【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BHAF，垂足为H，如图ADCE=DEBC，=EDAD，ECCB，ADE=BCE=90ADEBCEA=CBEFA=FB由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH设DH=xdm，则AH=AD+DH=（3+x）dmBHAF，BHA=90BH2=BD2DH2=AB2AH2AB=2，AD=3，BD=，（）2x2=（2）2（3+x）2解得：x=1BH2=BD2DH2=371=36BH=6ED+EC=6ADE=BCE=90，且M、N分别为AE、BE的中点，DM=EM=AE，CN=EN=BEDEM与CEN的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=6+2DEM与CEN的周长之和为（6+2）dm点评：本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题（2014年 四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点点A的横坐标为3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PCx轴于C，交直线AB于D（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2SBPD；（3）是否存在点P，使PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由分析（1）由x=0时带入y=x1求出y的值求出B的坐标，当x=3时，代入y=x1求出y的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2SBPD建立方程求出其解即可（3）如图2，当APD=90时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由APDFCD就可与求出结论，如图3，当PAD=90时，作AEx轴于E，就有，可以表示出AD，再由PADFEA由相似三角形的性质就可以求出结论解：（1）y=x1，x=0时，y=1，B（0，1）当x=3时，y=4，A（3，4）y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点，抛物线的解析式为：y=x2+4x1；（2）P点横坐标是m（m0），P（m，m2+4m1），D（m，m1）如图1，作BEPC于E，BE=mCD=1m，OB=1，OC=m，CP=14mm2，PD=14mm21+m=3mm2，解得：m1=0（舍去），m2=2，m3=；如图1，作BEPC于E，BE=mPD=14mm2+1m=24mm2，解得：m=0（舍去）或m=3，m=，2或3时S四边形OBDC=2SBPD；（3）如图2，当APD=90时，设P（a，a2+4a1），则D（a，a1），AP=m+4，CD=1m，OC=m，CP=14mm2，DP=14mm21+m=3mm2在y=x1中，当y=0时，x=1，（1，0），OF=1，CF=1mAF=4PCx轴，PCF=90，PCF=APD，CFAP，APDFCD，解得：m=1舍去或m=2，P（2，5）如图3，当PAD=90时，作AEx轴于E，AEF=90CE=3m，EF=4，AF=4，PD=1m（14mm2）=3m+m2PCx轴，DCF=90，DCF=AEF，AECD，AD=（3m）PADFEA，m=2或m=3P（2，5）或（3，4）与点A重合，舍去，P（2，5）点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点（2014抚顺）已知：RtABCRtABC，ACB=ACB=90，ABC=ABC=60，RtABC可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC和AA相交于点D（1）如图1所示，当点C在AB边上时，判断线段AD和线段AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将RtABC由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将RtABC由图1的位置按顺时针方向旋转角（0120），当A、C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数考点：几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质.专题：综合题分析：（1）易证BCC和BAA都是等边三角形，从而可以求出ACD=BAD=60，DCA=DAC=30，进而可以证到AD=DC=AD（2）易证BCC=BAA，从而证到BOCDOA，进而证到BODCOA，由相似三角形的性质可得ADO=CBO，BDO=CAO，由ACB=90就可证到ADB=90，由BA=BA就可得到AD=AD（3）当A、C、A三点在一条直线上时，有ACB=90，易证RtACBRtACB （HL），从而可以求出旋转角的度数解答：答：（1）AD=AD证明：如图1，RtABCRtABC，BC=BC，BA=BAABC=ABC=60，BCC和BAA都是等边三角形BAA=BCC=60ACB=90，DCA=30ACD=BCC=60，ADC=60DAC=30DAC=DCA，DCA=DACAD=DC，DC=DAAD=AD（2）AD=AD证明：连接BD，如图2，由旋转可得：BC=BC，BA=BA，CBC=ABA=BCCBAABCC=BAABOC=DOA，BOCDOAADO=OBC，=BOD=COA，BODCOABDO=CAOACB=90，CAB+ABC=90BDO+ADO=90，即ADB=90BA=BA，ADB=90，AD=AD（3）当A、C、A三点在一条直线上时，如图3，则有ACB=180ACB=90在RtACB和RtACB中，RtACBRtACB （HL）ABC=ABC=60当A、C、A三点在一条直线上时，旋转角的度数为60点评：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60得到线段AM，连接FM.（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=AM；（3） 连接EM，若AEM的面积为40，请直接写出AFM的周长.温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.（2014年陕西）本题满分12分）问题探究（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P,使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰APD，并求出此时BP的长； （2）如图，在ABC中，ABC=60，BC=12，AD是BC边上的高，E,F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90。求此时BQ的长； 问题解决（3）有一山庄，它的平面为的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大约为60，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知A=E=D=90。AB=270m。AE=400m，ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由。CAABDABCFEDCAABEDA (1)根据题意；得 解之，得y=-x2-2x+3(2)x=-=-1y=4M(-1,4)(3)由题意，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是MN，=MN MNMN* NN=16，NN=41)当以M、N、M、N为顶点的平行四边形是 M、N、M、N时，将抛物线C先向左或右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得到符合条件的抛物线C。上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C。25、（1）BP=2; (2)符合条件的点Q只有一个，BQ= ;(3)、在CD上存在符合条件的点M.DM=-30279.63m27
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