《数学史教案》word版.doc

数学史概论导言一、为什么要开设数学史选修课？数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。庞加莱（法，18541912年）：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。萨顿（美，18841956年）：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。萨顿号称“科学史之父”是当之无愧的。二、数学史要学习什么？数学史的分期：一是数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；二是初等数学时期（公元前6公元16世纪）；三是近代数学时期（1718世纪）；四是现代数学时期（1820年至今）。文明背景（古代埃及、古代巴比伦、古印度、中国简史、古希腊简史），帝国兴衰（罗马帝国、阿拉伯帝国、神圣罗马帝国、波旁王朝、哈布斯堡王朝、普鲁士王国、奥匈帝国），宗教特色（印度教、都度犹太教、基督教、天主教、伊斯兰教、佛教），革命文化运动（欧洲翻译运动、文艺复兴运动、哥白尼革命、英国产业革命、法国启蒙运动、法国大革命、欧洲1848年革命）。处于数学中心区发展的主要成就，介绍100多位著名数学家的工作及重要著作，各个历史时期中国数学的状况，传统的几何、代数、三角的基础上发展起来的近代数学的主要成就：解析几何与微积分学，及近现代数学分支，如射影几何、非欧几何、微分几何、复变函数论、微分方程、动力系统、变分法、实变函数论、泛函分析、数论、布尔代数、逻辑代数、数理逻辑、抽象代数、集合论、图论、拓扑学、概率论等。促进数学发展的相关学科，如力学、物理学、天文学的发展。三、教学工作安排第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中世纪的东西方数学I；第四讲：中世纪的东西方数学II；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立；第七讲：分析时代：18世纪的数学；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何；第十讲：19世纪的分析；第十一讲：20世纪数学概观I；第十二讲：20世纪数学概观II；第十三讲：20世纪数学概观III；选 讲：数学论文写作初步。作业：每一讲写600字左右的读书笔记，30%记入学期总成绩。考查：每位同学选取一名数学家，以这数学家为主题写一篇数学史讲稿（约 2000字），并把讲稿内容制作成PowerPoint文档（约15分钟，58张文档），70%记入学期总成绩。要求：讲稿用A4纸单面打印，连同PowerPoint文档上交。四、主要参考书1、克莱因古今数学思想牛津大学出版社，1972（中译本：北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，19791981，4卷本）；2、张奠宙20世纪数学经纬上海：华东师范大学出版社，2002；3、吴文俊主编世界著名数学家传记（上、下册）北京：科学出版社，1995；4、程民德主编中国现代数学家传（5卷本）南京：江苏教育出版社，19942002；5、中国大百科全书编辑委员会中国大百科全书（数学卷）北京：中国大百科全书出版社，1988；6、王元、严士健、石钟慈、谈德颜编译数学百科全书（5卷本）北京：科学出版社，19942000；7、郭金彬、孔国平中国传统数学思想史北京：科学出版社，2004；8、徐品方、张红数学符号史北京：科学出版社，2006。第一讲 数学的起源与早期发展1、数与形概念的产生从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅等。世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。2、河谷文明与早期数学2.1 古代埃及的数学背景：古代埃及简况。埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，如莱茵德纸草书、莫斯科纸草书。数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。2.2 古代巴比伦的数学背景：古代巴比伦简况。两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约50万块泥版出土。现在泥版文书中大约有300多块是数学文献。泥版楔形文、普林顿322。2.3 古代印度的数学背景：古印度简况。古代和中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下，所以古代印度文化不可避免地呈现出多元复杂的背景，最显著的特色是其宗教性。吠陀时期（公元前10前3世纪）。吠陀成书于公元前15前5世纪，印度婆罗门教的经典。残留的吠陀中有绳法经（前8前2世纪），这是印度最早的数学文献。阿育王石柱记录了现在阿拉伯数字的最早形态。公元前2公元3世纪的印度数学，可参考的资料主要是“巴克沙利手稿”，出现了完整的十进制数码，其中有“”（点）表示0，有公元876年的“瓜廖尔石碑”为证。2.4 西汉以前的中国数学史记夏本纪大禹治水（公元前21世纪） 中提到“左规矩，右准绳”，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。西安半坡村遗址、殷墟商代甲骨文、算筹、龙山里耶秦简。公元34世纪成书的孙子算经记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。我国是世界上首先发现和认识负数的国家。第二讲古代希腊数学恩格斯（德，18201895年）指出：“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础，就没有现代的欧洲。”背景：古希腊的变迁。1、古典时期的希腊数学公元前600前300年。1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯（公元前625前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。哲学：水生万物，万物复归于水。数学：创数学命题逻辑证明之先河，希腊几何学的鼻祖，最早留名于世的数学家，测量过金字塔的高度，预报了公元前585年的一次日食。1.2 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560前480年），在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。哲学：万物皆为数。数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。1.3 伊利亚学派芝诺（约公元前490前430年）悖论：运动不存在、阿基里斯、飞矢不动。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。1.4 诡辩学派（智人学派）活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人物均以雄辩著称，故亦称智人学派。安蒂丰（约公元前480前411年）的 “穷竭法”。古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。1.5 柏拉图学派柏拉图（约公元前427前347年）对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响。柏拉图说：“不懂几何者免进”，认为打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形，发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387公元529），讲授哲学与数学。1.6 亚里士多德学派（吕园学派）亚里士多德（公元前384前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。2、亚历山大学派时期希腊化时期的数学（公元前300公元600年）。公元前300前30年。托勒密（托勒密索特尔，约公元前367前283年）定都于亚历山大城。希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。2.1 欧几里得（公元前325前265年）公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。原本13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。2.2阿基米德（公元前287前212年）数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。最为杰出的数学贡献是圆的度量，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。墓碑：球及其外切圆柱。2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262前190年）贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是圆锥曲线，希腊演绎几何的最高成就。圆锥曲线全书共8卷，含487个命题。克莱因（美，19081992年）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。3、希腊数学的衰落背景：罗马帝国简史。罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。从公元前30公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。3.1 托勒密（埃及，90165年）最重要的著作是天文学大成13卷，总结了在他之前的古代三角学知识，其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表。三角学的贡献是亚历山大后期几何学最富创造性的成就。3.2 丢番图（公元200284年）希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的算术，这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作，创用了一套缩写符号，一种“简写代数”。丢番图的墓志铭。古希腊数学的落幕。亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370415年）被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。柏拉图学园被封闭。亚历山大图书馆三劫，希腊古代数学至此落下帷幕。背景：埃及阳历、儒略历、格里历、公历。第三讲：中世纪的东西方数学I 从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成秦汉时期形成中国传统数学体系。算数书：中国现存最早的数学专著。周髀算经：编纂于西汉末年，天文学著作。两项重要数学成就：勾股定理的普遍形式，数学在天文测量中的应用。九章算术：中国传统数学最重要的著作，全书246个问题，分成九章。它完整地叙述了当时已有的数学成就，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。九章算术标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。数学上以注释周髀算经、九章算术的形式出现。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。九章算术注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。2.1 刘徽（公元3世纪）公元263年撰九章算术注，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”，求出圆周率为3927/1250（=31416），主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=314）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，享有国际声誉。2.2 祖冲之（429500年）著作缀术取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之算出圆周率在31415926与31415927之间，并以355/113（=31415929）为密率，22/7（=31428）为约率。缀术的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理。唐代主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。唐初李淳风（604672年）等人注释并校订了算经十书（约656年），十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书。3、中算发展的第三次高峰：数学全盛时期宋元时期（9601368年）重新统一了的中国社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。这一时期涌现许多杰出的数学家和先进的数学计算技术，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。3.1 贾宪三角贾宪（约公元11世纪）约1050年完成黄帝九章算术细草，发明了“增乘开方法”，创造了“开方作法本源图”。3.2 隙积术沈括（10301094年）梦溪笔谈（1093年）影响极大，被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学的主要成就有“会圆术”与“隙积术”。3.3天元术李冶（11921279年）1248年撰成代数名著测圆海镜，该书是首部系统论述“天元术”的著作，是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。3.4 大衍术秦九韶（约12021261年）1247年完成数学名著数书九章，其中两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。一是创立了“大衍求一术”（中国剩余定理），二是提出了“正负开方术”（秦九韶法）。3.5 垛积术杨辉（公元13世纪）1261年完成详解九章算法，其中主要的数学贡献是“垛积术”，另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾宪的工作。3.6 四元术朱世杰（约12601320年）1303年在扬州刊刻了他的代表作四元玉鉴，它是中国宋元数学高峰的又一个标志，主要贡献有四元术。美国著名科学史家萨顿（18841956年）说：朱世杰是汉民族，他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。3.7 内插法郭守敬（12311316年）1280年完成了中国古代最精密的历法授时历。郭守敬建造的河南登封观星台（1276）留存至今。古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式，与中国传统数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映，交替影响世界数学的发展。4、中算的衰落朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰，而四元玉鉴可以说是宋元（9601368年）数学的绝唱。明清两朝（13681911年）共543年，不仅未能产生出与数书九章、四元玉鉴相媲美的数学杰作，而且在18世纪中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前，像“四元术”这样一些宋元数学的精粹长期失传、无人通晓。第四讲：中世纪的东西方数学II1、印度数学（公元512世纪）公元前10前3世纪称为印度的吠陀时期。 印度数学的繁荣鼎盛时期称为“悉檀多”时期（公元512世纪），是以计算为中心的实用数学的时代，数学贡献主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家。1.1阿耶波多（公元476约550年）在印度科学史上有重要影响的人物，最早的印度数学家，499年天文学著作阿耶波多历数书传世，最突出之处在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。1.2婆罗摩笈多（598约665年）628年发表21章的天文学著作婆罗摩修正体系，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程nx2+1=y2求解的“瓦格布拉蒂”法。1.3婆什迦罗（11141188年）印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家，1150年古印度数学最高成就天文系统之冠，其中有两部重要数学著作算法本源、莉拉沃蒂。由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。2、阿拉伯数学（公元815世纪）背景：阿拉伯简况。915世纪阿拉伯科学繁荣了600年，创立了文化中心巴格达。在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。2.1 早期阿拉伯数学（8世纪中叶9世纪）阿尔花拉子米（783850年）智慧宫的领头学者，820年出版还原与对消概要，被奉为“代数教科书的鼻祖”，使得花拉子米成为中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家。花拉子米的另一本书印度计算法。阿尔巴塔尼（858929年）最重要的著作历数书，发现地球轨道是一个经常变动的椭圆，创立了系统的三角学术语，对中世纪欧洲影响最大的天文学家。2.2 中期阿拉伯数学（1012世纪）奥马海雅姆（10481131年）编制了中世纪最精密的历法“哲拉里历”，在代数学方面的成就集中反映于还原与对消问题的论证（1070），最杰出的贡献是研究三次方程根的几何作图法，提出的用圆锥曲线图求根的理论。阿尔比鲁尼（9731048年）三角学理论的贡献是制定了正弦、正切函数表，证明了一些三角公式，提出太阳是宇宙中心的思想等。2.3 后期阿拉伯数学（1315世纪）纳西尔丁图西（12011274年）最重要的数学著作论完全四边形，使得三角学成为数学的一个独立分支，对15世纪欧洲三角学的发展起重要的作用。阿尔卡西（13801429年）百科全书算术之鈅（1427），在数学上取得了两项世界领先的成就，一是1424年给出的17位精确值，二是给出sin1的精确值。3、中世纪的欧洲数学（514世纪）公元511世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，教会成为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来世，淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。3.1 教会统治背景：犹太教、基督教、天主教。中世纪整个社会以宗教和神学为核心，数学领域毫无成就，圣经是最根本的知识。因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的初级算术与几何教材。罗马人博埃齐（约480524年）选编了几何学、算术入门等教科书，成为中世纪早期欧洲人了解希腊科学的唯一来源。法国人热尔拜尔（9381003年）999年当选为罗马教皇，提倡学习数学，翻译了一些阿拉伯科学著作，把印度阿拉伯数码带入欧洲。3.2 科学复苏贸易的发展，欧洲人开始与阿拉伯人、拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大学。十字军东征促进了东西方文化的交流。科学开始复苏。12世纪是欧洲数学的大翻译时期。希腊人的著作被阿拉伯文译成拉丁文后，欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础。欧洲黑暗时期过后第一位有影响的数学家是斐波那契（意，约11701250年），编著了代表作算盘书（1202，1228），是欧洲数学在经历了漫长黑夜之后走向复苏的号角。1314世纪，整个拉丁世界数学无大进展。第五讲：文艺复兴时期的数学1、文明背景1.1 文艺复兴文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起，15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。在这历时约200年的历史中，揭开了现代欧洲历史的序幕，被认为是中古时代和近代的分界，数学活动也以空前的规模和深度蓬勃兴起，。1.2 技术进步欧洲文艺复兴时期的主要成就之一，是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。四大发明相继传入欧洲。1450年，德意志人古腾堡发明了金属活字印刷术，欧几里得的原本1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。1.3 航海探险1488年，迪亚士（葡，14501500年）进入印度洋，发现好望角。1498年，达伽马（葡，14691524年）到达印度海岸，找到了通向东方的新航路。1492年，哥伦布（西，14511506年）到达美洲。15191522年，麦哲伦（葡，14801521年）船队完成了首次环球航行。1.4 天文学的革命哥白尼（波，14731543年）提出“日心说”，1543年出版天体运行论。布鲁诺（意，15481600年）1584年在论无限、宇宙及世界提出了宇宙无限的思想。2、文艺复兴时期的欧洲数学近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。2.1 代数学欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。帕西奥里（意，14451517年），1494年出版算术集成是一部数学百科全书，其中采用了优越的记号及大量的数学符号，推进了代数学的发展。塔塔利亚（意，14991557年）发表了论数字与度量（15561560），16世纪最好的数学著作之一，发现了三次方程的代数解法。卡尔丹（意，15011576年）最重要的数学著作是1545年出版的大术，内有三次、四次方程的解法。邦贝利（意，15261573），意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，1572年出版代数，引进了虚数，正式给出了负数的明确定义。施蒂费尔（德，14871567年），16世纪德国最大的数学家，1544年综合数学中指出：符号使用是代数学的一大进步。韦达（法，15401603年），16世纪法国最大、最有影响的数学家，被西方称为“代数学之父”，1591年出版分析引论是最早的符号代数专著。2.2 三角学在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。雷格蒙塔努斯（德，14361476年），1464年完成论各种三角形（1533年出版），是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述。韦达（法，15401603年），1579年应用于三角形的数学定律系统讲述了各钟三角函数，1615年截角术系统化了球面三角和平面三角学。2.3 射影几何文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，诞生了射影几何学。阿尔贝蒂（意，14041472年），1435年发表论绘画，阐述了最早的数学透视法思想，是射影几何发展的起点。德沙格（法，15911661年）主要著作是1639年试论锥面截一平面所得结果的初稿，射影几何早期发展的代表作。帕斯卡（法，16231662年）1640年圆锥曲线论（1779年发现），内有帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。2.4 对数1585年史蒂文（荷，15481620年）著作十进算术，系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数。纳皮尔（苏格兰，15501617年）至少花了20年的时间，于1590年左右开始写关于对数的著作，1614年发表奇妙对数规则的说明。到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。3、1517世纪的中国数学 3.1 珠算珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的南村辍（chu）耕录（1366年）。程大位（明，15331606年）1592年编著了直指算法统宗。从它流传的长久和广泛方面来讲，那是中国古代数学史上任何著作也不能与之相比。3.2 西方数学的传入西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得原本的首次翻译。最早来中国从事传教活动的是明万历年间（1582年）来华的意大利传教士利玛窦（15521610年），被中国人尊称为“西学东渐第一师”。徐光启（明，15621633年），中国近代科学的启蒙大师。1607年，徐光启与利玛窦合作翻译的欧几里得原本前6卷出版。几何原本是中国近代翻译西方数学书籍的开始，相继出现了许多欧洲数学著作。3.3 明末的中国科技李时珍（15181593年）本草纲目，徐光启（15621633年）农政全书，徐霞客（15861641年）徐霞客游记，宋应星（1587 ？）天工开物。第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立韦斯特福尔（美，19241996年）近代科学的建构：从17世纪起科学就开始将原来以基督教为中心的文化变革成为现在这样以科学为中心的文化。1、近代科学的兴起科学思想与方法论：培根（英，15611626年）1620年出版新工具，伽利略（意，15641642年）创立了科学的实验方法。天文学的革命：开普勒（德，15711630年）公布了行星运动三定律，伽利略1632年出版了关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话。经典力学体系的诞生：1586年斯蒂文（荷，15481620年）发表了静力学原理，伽利略1638年出版了关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明。化学确立为科学：波义耳（英，16271691年）建立了朴素的元素概念，施塔尔（德，16601734年）提出了燃素说，拉瓦锡（法，17431794年）建立了科学的氧化理论，被誉为“化学之父”。生物学的孕育：维萨里（比，15141564年）1543年出版人体的构造，塞尔维特（西，15111553年）1553年阐述了血液心肺循环过程，哈维（英，15781657年）1616年出版的动物的心血运动及解剖学研究阐述了血液循环过程，被誉为“生理学之父”。2、解析几何的诞生16世纪对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。奥雷斯姆（法，13231382年）提出了形态幅度原理，启发了笛卡儿创立解析几何，给伽利略力学研究提供线索。笛卡儿（法，15961650年），欧洲近代哲学的奠基人之一，堪称17世纪欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。1637年更好地指导推理和寻求科学真理的方法论中有三个附录，其中几何学给出了解析几何思想。笛卡儿提出了坐标系和曲线方程的思想，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合，把古典几何处于代数学支配之下。费马（法，16011665年），17世纪法国最伟大的数学家，关于解析几何的工作始于竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作论平面曲线而引起的，1629年平面和立体轨迹引论也阐述了解析几何的原理。3、微积分的创立3.1 孕育（1617世纪）（1）伽利略（意，15641642年）1638年关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明；（2）开普勒（德，15711630年）1615年测量酒桶的新立体几何；（3）卡瓦列里（意，15981647年）1635年用新方法促进的连续不可分量的几何学；（4）托里切利（意，16081647年）1641年论自由坠落物体的运动；（5）笛卡儿（法，15961650年）1637年几何学；（6）费马（法，16011665年）的极大极小方法（1629）；（7）巴罗（英，16301677年）1664年几何讲义；（8）沃利斯（英，16161703年）1655年无穷算术。3.2 牛顿（英，16421727年）英国诗人波普的诗：自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说：让牛顿出世吧！于是一切都豁然明朗。牛顿1661年进入剑桥大学三一学院，1665年夏至1667年春成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，1669年担任卢卡斯讲座的教授至1701年，1699年伦敦造币局局长，1703年皇家学会会长，1705年封爵。第一个创造性成果：二项定理（1665）及无穷级数（1666），第一篇微积分文献：流数简论（1666），1687年出版自然哲学的数学原理。牛顿墓碑上的拉丁铭文。3.3 莱布尼茨（德，16461716年）1661年进入莱比锡大学学习法律，1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，16721676年留居巴黎，1677年抵达汉诺威，在布伦兹维克公爵府中任职，此后汉诺威成了他的永久居住地。莱布尼茨的博学多才在科学史上罕有所比，他的研究领域及其成果遍及数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、神学、历史和外交等等。第一篇发表的微分学论文：1684年一种求极大与极小值和求切线的新方法。第一篇发表的积分学论文：深奥的几何与不可分量及无限的分析（1686）。3.4 微积分优先权之争1713年，英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人”，莱布尼茨发表了微积分的历史和起源。英国与欧洲大陆数学家分道扬镳，科学史上最不幸的一章。第七讲：分析时代：18世纪的数学18世纪是数学中的分析时代，近代数学向现代数学过渡的重要时期。1、微积分的发展1.1 泰勒（英，16851731年）1714年获法学博士，1712年被选为英国皇家学会会员，17141718年英国皇家学会秘书，1715年出版正和反的增量法，陈述了泰勒公式。1.2 麦克劳林（英，16981746年）英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响的数学家之一，1742年撰写的流数论，内有著名的麦克劳林级数，为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。1.3 斯特林（英，16921770年）英国皇家学会会员，1730年在微分法兼论无穷级数的求和与插值中就得到了麦克劳林定理、近似积分公式辛普森公式、斯特林公式。1.4 棣莫弗（法，16671754年）英国皇家学会会员，1730年分析杂论中首先给出了斯特林公式，建立欧拉棣莫弗定理，1718年出版的机会的学说成为概率论的奠基人。由于牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论，英国数学家的工作逐渐淡出人们的视野。1.5 雅格布伯努利（瑞士，16541705年）16871705年巴塞尔大学数学教授，17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，1694年出版微分学方法，论反切线法。1.6 约翰伯努利（瑞士，16671748年）17051748年任巴塞尔大学数学教授，18世纪初分析学的重要奠基者之一，1742年的积分学教程，成为当时数学界最有影响的人物之一。1.7 丹尼尔伯努利（瑞，17001782年）在圣彼得堡工作8年（17251733年），1733年回到巴塞尔大学，1738年出版流体动力学，第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人。1.8 欧拉（瑞士，17071783年）18世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，发表著作与论文有560余种，留下大量的手稿。13岁进入巴塞尔大学，工作于圣彼得堡科学院（17271741年，17661783年）和柏林科学院（17411766年）。1748年无穷小分析引论，1755年微分学原理，17681770年积分学原理（3卷）成为分析的百年传世经典之作。背景：法国启蒙运动与“百科全书派”。1.9 达朗贝尔（法，17171783年）1741年进入巴黎科学院，1754年为终身院士，1772年被选为终身秘书。数学分析的重要开拓者之一，在百科全书中的撰写大量条目。1.10 拉格朗日（法，17361813年）分析学中仅次于欧位的最大开拓者。都灵时期：17541766年；柏林时期：17661787年，分析力学；巴黎时期：17871813年，解析函数论。背景：法国大革命。1.11 伯克莱（爱尔兰，16851753年）1734年分析学家，或致一位不信神的数学家，对微积分学说的攻击揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力。2、数学新分支的形成一系列新的数学分支在18世纪成长起来。在此介绍与微积分密切相关的常微分方程、偏微分方程、变分法三个分支的形成。2.1 常微分方程1690年雅格布伯努利（瑞，16541705年）提出悬链线问题。莱布尼茨、惠更斯（荷，16291695年）、约翰伯努利给出问题的解。常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的结果。2.2 偏微分方程达朗贝尔（法，17171783年）1747年发表的张紧的弦振动时形成的曲线的研究看作为偏微分方程论的发端。偏微分方程研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求解方法，及其应用。一阶偏微分方程的解法。2.3 变分法起源于1696年约翰伯努利（瑞，16671748年）提出最速降线问题。牛顿、莱布尼茨、洛比达、约翰伯努利、雅各布伯努利等解决。早期变分法三大问题：最速降线问题、等周问题、测地线问题。1744年欧拉发表寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法标志着变分学的诞生。3、18世纪的中国数学背景：彼得大帝（16721725年）、路易十四（16381715年）、康熙帝（16541722年）。“康乾盛世”（16611795年）。3.1 梅文鼎（清，16331721年）清初“历算第一名家” 和“开山之祖”梅氏历算丛书辑要62卷，内容包含代数、几何、三角，在数学方面最突出的成就属“三角学”的研究。3.2 梅彀成（16811763年）1712年任蒙养斋汇编官。康熙“御定”、梅彀成等编纂律历渊源（100卷）（1721），其中数理精蕴（53卷）（16901721年）。3.3 明安图（16921765年）年青时被选入钦天监学习天文、历象和数学，1760年升任钦天监监正，与陈际新写成割圆密率捷法（1763，1774）。“乾嘉学派”与四库全书（17731781年）。4、19世纪的数学展望18世纪末数学家们的主导意见：数学的资源已经枯竭。18世纪末的数学问题，导致数学在19世纪跨入了一个前所未有、突飞猛进的历史时期。第八讲：19世纪的代数19世纪的代数称之“代数学的新生“。1、代数方程根式解高斯（德，17771855年），11岁发现了二项式定理，1795年进入哥廷根大学学习，1796年发现了正17边形的尺规作图法，1799年证明了代数基本定理。高斯，“数学王子”，1819世纪之交的中坚人物，欧拉以后最重要的数学家，数学研究几乎遍及所有领域，发表论文155篇。1770年拉格朗日（法，17361813年）发表关于代数方程解的思考，认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。1799年鲁菲尼（意，17651822年）明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。1824年阿贝尔（挪，18021829年）出版论代数方程，证明一般五次方程的不可解性，证明了阿贝尔定理。阿贝尔简介及数学奖：阿贝尔奖（2003）。18291831年，伽罗瓦（法，18111832年）建立了判别方程根式解的充分必要条件，宣告了方程根式解难题的彻底解决。伽罗瓦简介。伽罗瓦的工作可以看成是近世代数的发端，现代数学酝酿的标志之一。2、数系扩张1873年埃尔米特（法，18221901年）和1882年林德曼（德，18521939年）分别证明了e和是超越数。虚数（即复数）的出现，承认与反承认一直在欧洲徘徊。19世纪复数在数学中起着举足轻重的作用。1811年高斯（德，17771855年）讨论了复数几何表示。对复数推广的重要贡献是哈密顿（爱尔兰，18051865年），1843年定义了四元数。哈密顿简介。1844年格拉斯曼（德，18091877年）在线性扩张性引进了n个分量的超复数，1847年凯莱（英，18211895年）定义了八元数。3、行列式与矩阵关于线性方程组解的发展，形成了行列式和矩阵的理论。1683年关孝和（日，16421708年）完成解伏题之法，提出行列式理论和代数方程变换理论，尤其在行列式方面的研究是世界领先的。1750年克莱姆（瑞士，17041752年）法则，1772年范德蒙（法，17351796年）、拉普拉斯（法，17491827年）行列式展开定理。1841年凯莱（英，18211895年）行列式记号，1852年西尔维斯特（英，18141897年）惯性定理，1854年埃尔米特（法，18221901年）使用了正交矩阵，1858年凯莱证明了凯莱哈密顿定理，1870年若尔当（法，18381921年）建立了若尔当标准形，1879年弗罗贝尼斯（德，18491917年）引入矩阵的秩。4、布尔代数来源于对数学和逻辑基础的探讨。德摩根（英，18061871年），1847年形式逻辑，突破古典的主谓词逻辑的局限，影响到数理逻辑的发展。布尔（英，18151864年），1847年逻辑的数学分析，论演绎推理的演算法和1854年思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础为数理逻辑的发展铺平了道路。施罗德（德，18411902年）逻辑代数讲义（3卷，18901905年）把布尔的逻辑代数推向顶峰。5、数论费马（法，16011665年），“业余数学家之王”，独骋17世纪数论天地，17世纪法国最伟大的数学家，数学论集（1670）。18世纪的数论受到费马思想的主宰。有影响的数学家是欧拉（瑞，17011783年），拉格朗日（法，17361813年），哥德巴赫（德，16901764年）和华林（英，17341798年）。高斯（德， 17771855年）的数论研究总结在1801年的算术研究中，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。代数数论是研究代数数域的数论性质。整数最基本的性质是唯一因子分解定理。18441847年库默尔（德，18101893年）创立了理想数理论，1871年戴德金（德，18311916年）创立了代数数理论，1897年希尔伯特（德，18621943年）“代数数域理论”。梅森素数。梅森素数是确定大素数的一种途径。1644年梅森（法，15881648年）物理数学随感。在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数，近10年来通过GIMPS项目找到了10个（35至44个）梅森素数。第九讲：19世纪的几何1、几何学的变革几何学的基础：现实空间与思维空间。1.1 微分几何平面曲线理论17世纪基本完成。1696年洛比塔（法，16611704年）的无穷小分析完成并传播了平面曲线理论。1760年欧拉（瑞，17071783年）关于曲面上曲线的研究，建立了曲面理论，1795年蒙日（法，17461818年）关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族深入研究。蒙日简介。1.2 非欧氏几何从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。萨凯里（意，16671733年）1733年欧几里得无懈可击提出“萨凯里四边形”。1763年克吕格尔（德，17391812年）对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑。1766年兰伯特（法，17281777年）平行线理论指出通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。1813年高斯（德，17771855年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担心世俗的攻击而未发表。1826年罗巴切夫斯基（俄，17921856年）简要论述平行线定理的一个严格证明，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。1832年J鲍约（匈，18021860年）绝对空间的科学，所谓“绝对几何”就是非欧几何。黎曼（德，18261866年）1854年关于几何基础的假设建立了黎曼几何。在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。黎曼简介。1868年贝尔特拉米（意，18351899年）论非欧几何学的解释，在“伪球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。1871年克莱因（德，18491925年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何，1882年庞加莱（法，18541912年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因庞加莱圆。1.3 射影几何将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。综合方法。1822年庞斯列（法，17881867年）的论图形的射影性质，探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。代数方法。1827年默比乌斯（德，17901868年）的重心计算中的齐次坐标，1829年普吕克（德，18011868年）的三线坐标。1847年施陶特（德，17981867年）的位置几何学不借助长度概念就得以建立射影几何。凯莱（英，18211895年）和克莱因（德，18491925年）在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。1.4 统一的几何学1872年克莱因（德，18491925年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲关于近代几何研究的比较考察，阐述了几何学统一的思想。克莱因简介。1.5 几何学的公理化19世纪的数学家重新审视原本时发现它有许多弱点。1899年希尔伯特几何基础，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则：相容性、独立性、完备性。希尔伯特简介。2、19世纪的中国数学西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始。李善兰、华蘅芳等为中国近代科学事业的先行者。2.1 李善兰（清，18111882年）李善兰：1850年完成著作垛积比类，翻译了几何原本（1857）、代微积拾级（1859）和代数学（1859）。2.2 华蘅芳（清，18331902年）华蘅芳：1868年到江南制造总局翻译馆，翻译了代数术（1872）、微积溯源（1874）和决疑数学（1880）。西方数学在中国的早期传播对中国现代数学的形成功效并不显著。自19世纪末开始，一批中国留学生到日本、欧美学习数学，回国后创办数学系，1919年“五四”运动前后，中国现代数学稍具雏形。第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，17891857年）和魏尔斯特拉斯（德，18151897），前者著有分析教程（1821）、无穷小分析教程概论（1823）和微分学教程（1829），后者创造了语言，是“现代分析之父”。1837年狄里克雷（德，18051859年）的函数定义。魏尔斯特拉斯简介。1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。1.3 集合论康托（德，18451918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。康托简介。2、分析的拓展2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，17891857年）、黎曼（德，18261866年）和魏尔斯特拉斯（德，18151897年）。柯西建立了复变函数的微分和积分理论。1814年、1825年的论文关于积分限为虚数的定积分的报告建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。柯西简介。背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。1851年博士论文单复变函数一般理论基础，建立了柯西黎曼条件、黎曼映射定理。魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。魏尔斯特拉斯的方法与柯西黎曼的观点相互统一。2.2 解析数论1737年欧拉（瑞，17071783年）在数论的研究中引进了分析方法：解析数论。1837年狄里克雷（德，18051859年）用分析方法证明了欧拉勒让德提出的素数问题，1863年出版数论讲义，是解析数论的经典文献。1859年黎曼论不超过一个给定值的素数个数，开创了解析数论的新时期，提出了著名的黎曼猜想，使复分析成为这一领域的重要工具。1896年阿达玛（法，18651963年）和瓦莱普桑（比利时，18661962年）证明了素数定理。2.3 偏微分方程19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。弦振动方程。1747年达朗贝尔（法，17171783年）发表弦振动研究和1749年欧拉导出了弦振动方程并求出解，是偏微分方程研究的开端。位势方程。1752年欧拉提出，拉普拉斯（法，17491827年）1785年用球调和函数求解，称为拉普拉斯方程。格林（英，17931841年），1828年完成成名之作（1850年发表）关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文提出位势方程的求解方法。拉普拉斯简介。格林简介。热传导方程。傅里叶（法，17681830年）1807年就写成关于热传导的基本论文，1822年出版了热的解析理论，对19 世纪的理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶简介。背景：巴黎科学院。2.4 常微分方程以海王星的发现说明微分方程的作用。解的存在性。