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高三必过关题9 立体几何一，填空题例1将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了_解析每个小正方体的表面积是a26a2，故表面积增加了a2276a212a2.例2若圆锥的侧面展开图是圆心角为120、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是_解析设圆锥的底面半径为r，则l2r，l3r，.例3已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112.则球O的半径为 .解析 由题意将直三棱柱ABCA1B1C1还原为长方体ABDCA1B1D1C1，则球的直径即为长方体ABDCA1B1D1C1的体对角线AD1，所以球的直径AD113，则球的半径为.例4已知正的边长为,则到三个顶点的距离都为1的平面有_ 个. 答案 8个例5与空间不共面的四个点距离相等的平面有 个. 解析 有两类:一类是三个点确定一个平面,另一个点在平面的一侧,过该点作平面的垂线段,过垂线段中点作与已知平面平行的平面,即符合条件,这样的平面可作4个;另一类是两个点在平面一侧,其他两点在平面另一侧,可作3个平面,共7个. 例6对于空间中的三条直线，有以下四个条件：三条直线两两相交；三条直线两两平行；三条直线共点；两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交，其中使这三条直线共面的充分条件有 个. 答案 1个例7设为平面，为直线，以下四组条件：； ；可以作为的一个充分条件是 解析 题中线面关系既复杂又抽象，注意到其中包含大量的垂直关系，故可以在正方体内ABCDD1A1B1C1观察：记面AD1为，面AC为，则AD为，若视AB为，但在面内；若两两垂直，则可以得到，但该条件中没有，故反例只可能存在于此处，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，则AD为，但与成450角；注意到，只要、不平行，就得不到，记面AD1为，面BB1D1D为，面AC为，视AB为，但与成450角；由，得，再由得；故只有例8如图，ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有 对.解析本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD面BCD，面ABC面BCD，面ABD面ACD，所以答案3对例9正方体，分别是，的中点，P是上的动点（包括端点）过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是 解析 本题考查几何体中的线面关系， 平面 平面DEC与平面的交线CMED连结EM，易证MC=ED ，则M到达时，仍可构成四边形，即P到F，P在之间则满足要求P到仍可构成四边形，故P的轨迹为线段CF和点.例10设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若，且”为真命题的是 （填所有正确条件的代号）.x为直线，y，z为平面x，y，z为平面x，y为直线，z为平面x，y为平面，z为直线x，y，z为直线 答案 例11已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 解析 设侧棱长为a，ABC的中心为Q，联结PQ，由于侧棱与底面垂直，PQ平面ABC，即PAQ为PA与平面ABC所成的角又VABCA1B1C1a，解得a，tan PAQ，故PAQ.例12如图1所示，正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且BMC是直角，则_图1 图2解析 如图2，联结OB，设正四面体的棱长为1，则OB，MB，故OMOAAM，则1.例13一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_答案 例14如图，在四面体PABC中，PAPBPC2，APBBPCAPC30，一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到A点，问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路径是_解析 如右图，将四面体沿PA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，连接AA分别交PB，PC于E，F两点，则当蚂蚁沿着A刘E刘F刘A路径爬行时，路程最短在APA中，APA90，PAPA2，AA2，即最短路程AA的长为2.例15在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有_条解析 在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设CDQ，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交答案 无数例16如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)解析 因为PA平面MOB，不可能PA平面MOB，故错误；因为M、O分别为PB，AB的中点，所以MOPA，得MO面PAC，故正确又圆的直径可知BCAC，又PA平面ABC，所以BCPA，所以BC平面PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故错误；由可知BC平面PAC，又BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC，故正确答案 第17题例17如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积若,且恒成立,则正实数的最小值为_答案 1例18.如图所示,在直三棱柱ABC中,点M,N分别在上,且给出以下四个结论: ;ACMN;MN平面ABC;MN与AC是异面直线. 其中正确的有 . 解析 如图所示,在上取一点P, 使 则MPAB,NPCB, MP平面ABC,NP平面ABC. 平面PMN平面ABC. MN平面ABC,即正确. 又平面ABC, 平面PMN. 即正确. 当时,M,N分别是的中点,此时有ACMN, 当时,连结CN,用反证法易知MN与AC是异面直线,故结论欠严密性. 综上,四个结论中正确的有. 例19水管或煤气管的外部经常需要包扎,以便对管道起保护作用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分(不考虑管子两端的情况,如图所示),这就要精确计算带子的”缠绕角度”（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的其中AB为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为1,水管直径为2,则”缠绕角度”的余弦值为 . 解析 如图,展开绕在管子外部一周的带子,若符合条件,则AC=2r=2,且. 所以cos. 例20已知正四棱锥中，当该棱锥的体积最大时，它的高为_.解析本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.二，解答题例21. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图）求证：EG平面BB1D1D；平面BDF平面B1D1H；A1O平面BDF；平面BDF平面AA1C.解析（1）欲证EG平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO及辅助直线BO，显然BO即是.（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和OH两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1平面BDF，OH平面BDF为证A1O平面BDF，由三垂线定理，易得BDA1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线猜想A1OOF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1OOF.（4） CC1平面AC CC1BD又BDAC BD平面AA1C又BD平面BDF 平面BDF平面AA1CD例22 右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为已知，若点是的中点，证明：平面. 解析 取A1B1中点 ，连则四边形是平行四边形，因此有又平面且平面，面注：在找“线”与面内的一条直线平行时，常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理等例23如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.（1）证明PA/平面EDB； （2）证明PB平面EFD.解析本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.底面ABCD是正方形,点O是AC的中点在中,EO是中位线,PA / EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA / 平面EDB（2）PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,. 同样由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而平面PDC,. 由和推得平面PBC. 而平面PBC,又且,所以PB平面EFD.例24如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB= AD=2（1）证明：面BDD1 B1面ACD1；（2）若E是BC1的中点，P是AC的中点，F是A1C1上的点， C1F=mFA1，试求m的值，使得EFD1PEABCDA1B1C1D1FP解析本题考查面面垂直的证明，以及线线垂直的探究证明（1）：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB= AD=2，故四边形ABCD是正方形，APDP，又D1D面ABCD，AP面ABCDD1DAP ，D1DDP=DAP面BDD1B1 AP面AD1C面BDB1D1面ACD1 （2）：记A1C1与B1D1的交点为Q，连BQ，P是AC的中点，D1PBQ，要使得EFD1P，则必有EFBQ在QBC1中，E是BC1的中点， F是QC1上的点，EFBQF是QC1的中点，即3C1F=FA1，故所求m的值是 例25如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形 （1）求证：DM平面APC； （2）求证：平面ABC平面APC； （3）若BC=4，AB=20，求三棱锥DBCM的体积解析本题考查线面平行的证明，面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算证明：（1）M为AB中点，D为PB中点，MD/AP， 又MD平面ABCDM/平面APC（2）PMB为正三角形，且D为PB中点MDPB又由（1）知MD/AP， APPB又已知APPC AP平面PBC，APBC， 又ACBCBC平面APC， 平面ABC平面PAC，（3）AB=20MB=10 PB=10又BC=4，又MDVD-BCM=VM-BCD=例26如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中点（1）求证C1D 平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 平面C1DF ？并证明你的结论解析 （1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D 平面A1B（2）由（1）得C1D AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置证明：（1）如图， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90又 D 是A1B1 的中点， C1D A1B1 . AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 平面C1DF ，点F 即为所求 C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF 注：本题（1）的证明中，证得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题
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