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2005 -2006 学年第一学期一 填空题（每小题3分，共15分）12. 若阶方阵A的秩 , 则 0 3设，是5阶方阵，且3, 则基础解系中含 2 个解向量4若阶矩阵的特征值为，则 12 5设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则0二 选择题（每小题3分，共15分）1若为3阶方阵，且，则( C ) -4 4 -16 162设为阶方阵，满足等式，则必有（ ）或 或 3设元线性方程组，且，则该方程组( )有无穷多解 有唯一解 无解 不确定4设P为正交矩阵，则P的列向量（ A ） A组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量5若二次型为正定, 则对应系数矩阵A的特征值( )都大于0； 都大于等于0； 可能正也可能负 都小于0三（8分）计算行列式的值解四（8分）设，求解：（或用伴随矩阵）五（8分）求齐次线性方程组的基础解系及通解解：通解方程组，基础解系，通解为，（为任意常数）六(8分)已知向量，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示解：极大无关组，且七（10分）讨论取何值时，非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解解：法1 （） 当且时，有，方程组有惟一解； （）当时，所以无解；（）当时， ，方程组有无穷多解 法2 八（8分）用配方法将二次型化为标准形，并求可逆的线性变换（或上届题？）解：，令，即，所以，变换矩阵 标准形 九（10分）求矩阵的特征值与最大特征值所对应的特征向量 解：，特征值当时，解 得，的对应于的全体特征向量为， ）十（每小题5分，共10分）1 设向量组线性无关，讨论向量组 的线性相关性解：令即 因为线性无关，所以有， 由于方程组只有零解，故线性无关。 设为满足等式的矩阵，证明A可逆，并求 解： 所以A可逆，且2008 -2009 学年第一学期A卷得分一、填空题（共75 分每空3分）1设，则 - 6 ， ， 36 .2, .3行列式= 18 ，行列式_12_.4 两个向量的内积为： 3 ， 夹角为：; 把用施密特正交化方法得:5若向量，则用组合的表达式是.6向量组的线性相关性为： 线性相关，它的秩是 3 .7已知向量组1=(1,0,0),2=(2,5,2),3=(1,5,k)线性相关,则k =_2_.8若3阶方阵A的三个根分别是1，2，3，则 方阵A的行列式9 设矩阵A=，则矩阵A的秩为 2 ，线性方程组的基础解系的向量个数为 3 . 10给定线性方程组 ,则：当1且0 时，方程组有唯一解；当= 1 时方程组有无穷解； 当= 0 时方程组无解.11矩阵的特征值为： 2 、1，对应于特征值的特征向量为：.12 设设方阵满足,则_.13二次型的矩阵的系数矩阵为： ，该二次型为 正 定二次型.得分二、计算题（共5分）设矩阵A=, 求矩阵X, 使解 由AX = A+2E 得 2 3即 姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线得分三、计算题（共6 分）已知向量组求向量组的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解 由此可知, 为一组极大线性无关向量组, 得分四、计算题（共6 分）求非齐次线性方程组的通解解 增广矩阵 2还原成线性方程组 1可得方程组通解为,为任意常数. 2得分五、限选题（共8分）（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）(1) (理工类学生不做此小题)已知二次型，a） 出二次型所对应的矩阵b） 用配方法将二次型化为标准型，C)写出相应的可逆线性变换矩阵。解 a） 2b) 2令 即有变换 , 把二次型化为标准型 2 C) 对应变换矩阵 2(2) （理工类学生必做此小题）已知二次型的秩为2,a) 写出二次型所对应的矩阵, 并求参数b) 求出二次型所对应的矩阵的特征值c) 求正交变换，把二次型化成标准形（不写正交变换）. 解 a） 2 1b)解特征方程，得 2C） 分别解方程组， 得单位特征向量，；及正交矩阵 ， 正交变换 2把二次型变为标准型: 12008 -2009 学年第一学期B卷得分一、填空题（共66 分每空3分）1设矩阵，则行列式： - 6 ， -12 ， 1/6 ， 36 .2. 设, 则, ,3设是三阶方阵, ,则： 8 ， 0 其中为的代数余子式. 4，它的第3行第2列元素0的代数余子式= -2 的伴随矩阵 = .5. 向量与向量，则: 向量的长度=, 夹角= ，6向量，则向量组的秩等于 2 ，该组向量线性 相 关.7. 设, ,则当 2 时，线性方程组有唯一解；当 时，线性方程组的解= 为任意常数.8设，是阶矩阵， 2，则基础解系中含有3个解向量9设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则0 10设2阶实对称矩阵的两个特征值分别为，则矩阵为 负定 定矩阵， 6 ；多项式，则= 55 .得分二、选择题（共14分每空2分）1设元线性方程组，且，则该方程组( B )无解 有唯一解 有无穷多解 不确定2. 设元线性方程组，且，则该方程组的解由( A )个向量构成.有无穷多个 .1 不确定3设为阶方阵，满足等式，则必有（ B ）或 或 4设为阶方阵，满足等式，则必有（ D ） 5设P为正交矩阵，则P的列向量（ C ） A可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量6. 阶方阵的行列式,则的列向量（ A ）线性相关线性无关7阶方阵的行列式是矩阵可逆的（ C ） 充分条件必要条件充要条件无关条件 姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线得分三、计算题（共6 分）向量，请把向量组表示成向量组的线性组合.解 4由此可知 2得分四、计算题（共6 分）非齐次线性方程组当取何值时（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷解，并相应的通解解 方程组的系数矩阵的行列式 2（1） 当时，方程有唯一解； 1（2） 当时，方程组无解； 1（3） 当时，增广矩阵，可得方程组有无穷多解通解为 2得分五、计算题（共8 分）试求一个正交的相似变换矩阵, 把矩阵化为对角矩阵解 解特征方程，得特征值 3 解方程,得相应的特征向量,. 1解方程,得相应的特征向量,. 1 令， 1，正交相似变换， 22008 -2009 学年第一学期C卷得分一、填空题（共60 分每空3分）1行列式： 28 ，它的第2行第3列元素1的代数余子式= - 2 .2若为3阶方阵，且，则 - 16 ， 4 ， 1/2 .3. 设, 则, = .4设是阶方阵, ，则： 3 , 0 .5. 向量与向量，则: 夹角= ，6向量，则向量组的秩等于 2 ，该组向量线性 相 关.7. 设, ,则当 0 时，线性方程组有唯一解；当 时，线性方程组的解= （1，-1，0） 。8设，是阶矩阵，基础解系中含有1个解向量，则3 9设是对称阵的两个不同的特征值，是对应的特征向量，则0 10设3阶实对称矩阵的三个特征值分别为，则矩阵为 正 定矩阵, 的行列式6 .11二次型所对应的矩阵为, 该矩阵的最大特征值是 2 , 该特征值对应的特征向量是.得分二、选择题（共20分每空2分）1设元线性方程组，且，则该方程组( B)有唯一解有无穷多解 无解 不确定2. 设元线性方程组，且，则该方程组的基础解系由( C )个向量构成.有无穷多个 有唯一个 不确定3设矩阵，为阶方阵，满足等式，则下列错误的论述是（ B ）. 矩阵的行向量由矩阵的行向量线性表示 ；矩阵的列向量由矩阵的列向量线性表示；C ;矩阵的行向量由矩阵的行向量线性表示.4设矩阵，为阶方阵，满足等式，则下列关于矩阵秩的论述正确的是（ D） 5设P为正交矩阵，则P的列向量（ C ） A可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量6. 阶方阵的乘积的行列式,则的列向量（ B）方阵的列向量线性相关 方阵的列向量线性无关 7阶方阵的行列式是齐次线性方程组有非零解的（C ） (注:此空得分值为2分)充分条件必要条件充要条件无关条件 姓名: 学号: 系别: 年级专业: ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线得分三、计算题（共6 分）向量，请把向量表示成向量组的线性组合.解 解方程 3即 1得分四、计算题（共6 分）求非齐次线性方程组的通解解 增广矩阵 2还原成线性方程组 1可得方程组通解为,为任意常数. 2得分五、计算题（共8 分）用配方法将二次型化为标准形，并求可逆的线性变换解 2令得 即有可逆线性变换 2把二次型化为标准形 1附：试 卷 命 题 计 划课程名称线性代数考试时间课程性质必修考试班级本科理工、经管类各班级考试方式闭卷题号题型所占比例（%）与出题说明出题人1填空75% 考察向量、矩阵、方阵的行列式、线性方程组的解法与矩阵的关系等等基本概念李绍明，刘群锋2计算题5% 考察用矩阵李绍明、刘群锋3计算题6%李绍明，刘群锋4计算题6%求解简单线性方程组李绍明，刘群锋5限选题8%矩阵的特征值与特征向量、二次型的标准型等李绍明，刘群锋67教研室主任审核签名： 系主任审核签名：
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