珠海市2012届高三二模数学试题(理科).doc

珠海市 2011 2012 学年度第二学期高三质量监测 理科数学 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请在答题卡相应位置填涂答案 已知全集 UR 集合 则 等于 1 Ax ACU A B C D 0 2 0 2 02 等比数列 中 又 则公比 na11423a q A B C 2 D 23 在复平面内 复数 6 5i 2 3i 对应的点分别为 A B 若 C 为线段 AB 的中点 则点 C 对应 的复数是 A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i 已知 a b 是实数 则 a 1 b 2 是 a b 3 且 ab 2 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分且必要条件 D 既不充分也不必要条 5 中 角 所对的边 若 则B AC abc 3a A 5cosB b A B C D 852545125 6 已知函数 满足 当 x 1 时 当 x 1 时 则 f fx fx2 7 log2f A B C D 168472 7 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查 数据如下表 认为作业多 认为作业不多 总数 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总数 26 24 50 根据表中数据得到 参考下表 250195027346k P K2 k 0 050 0 025 0 010 0 001 k 3 841 5 024 6 635 10 828 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为 A 97 5 B 95 C 90 D 99 9 8 起点到终点的最短距离为 A 16 B 17 C 18 D 19 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 满分 30 分 其中 14 15 题是选做题 考生只能 选做一题 两题全答的 只计算前一题得分 答案请填在答题卡上 9 某校高中部有三个年级 其中高三有学生 人 现采用分层抽样法抽取一个容量为 的10 185 样本 已知在高一年级抽取了 人 高二年级抽取了 人 则高中部共有学生 人 6 10 已知单位向量 其夹角为 则 ab3 ba 11 已知随机变量 2 N 1 4P 5 P 12 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据可得该 几何体的表面积是 13 甲乙两艘船都要在某个泊位停靠 若分别停靠 4 小 时 8 小时 假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到 达 则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 14 坐标系与参数方程选做题 如图 PA 是圆的切线 A 为切点 PBC 是圆的割线 且 则 BCP12 15 坐标系与参数方程选做题 曲线 对称的曲线的极坐标方程为 4cos4 关 于 直 线 PBAC 0v1v2vv6v3v4v起 点 8终 点42657 O 19图图 181716151413 图 图图图图 0 060 08 0 16 0 32 0 38 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 中 以 轴为始边做两个锐角 它们的终边都在第一象限内 xoyx 并且分别与单位圆相交于 A B 两点 已知 A 点的纵坐标为 B 点的纵坐标10 为 1 求 的值 2 求 的值 02tant 和 2 17 本小题满分 12 分 某学校 900 名学生在一次百米测试中 成绩全部介于 秒与 秒之间 抽取其中 50 个样138 本 将测试结果按如下方式分成五组 第一组 4 第二组 4 5 第五组 17 8 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 1 若成绩小于 14 秒认为优秀 求该样本在这次百 米测试中成绩优秀的人数 2 请估计本年级 900 名学生中 成绩属于第三组 的人数 3 若样本第一组中只有一个女生 其他都是男生 第五组则只有一个男生 其他都是女生 现从第一 五组中各抽 2 个同学组成一个实验组 设其中男同学 的数量为 求 的分布列和期望 18 本小题满分 14 分 如图 长方体 中 1ABCD 14C 3AB 1 若 分别是 中点 EF 1 求证 EF 平面 2 求二面角 的正弦值 1ABCD 19 本小题满分 14 分 已知圆 C 方程 x 1 2 y 2 9 垂直于 x 轴的直线 L 与圆 C 相切于 N 点 N 在圆心 C 的右侧 平面上有一动点 P 若 PQ L 垂足为 Q 且 2 PQ 1 求点 P 的轨迹方程 2 已知 D 为点 P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点 O 为 原点 A B 分别为点 P 的轨迹曲线与 轴的正半轴的交点 xy 求四边形 OADB 的最大面积及 D 点坐标 20 本小题满分 14 分 已知函数 321fxaxb R 若曲线 经过点 曲线 在点 处的切线与直线C yf1P CP 平行 求 的值 230 xy a b 在 的条件下 试求函数 为实常数 2713gxmfx m 的极大值与极小值之差 1m 若 在区间 内存在两个不同的极值点 求证 fx 12 02ab 21 本小题满分 14 分 已知函数 数列 满足 cosfx 2gx nx15 6 12 nngxfN 1 当 时 求 的值并写出数列 的通项公式 不要求证明 2 23 x nx 2 求证 当 时 0 f 3 求证 1231 2nN 珠海市 2011 2012 学年度第二学期高三质量监测 理科数学答案与评分标准 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请在答题卡相应位置填涂答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A C C A B 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 满分 30 分 其中 14 15 题是选做题 考生只能 选做一题 两题全答的 只计算前一题得分 答案请填在答题卡上 9 3700 10 11 12 13 14 15 31412 723134sin 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 解 本小题考查三角函数的定义 两角和的正切 二倍角的正切公式 1 由条件得 2 分1sin0 1sin52 为锐角 故 且 同理可得 4 分co 3c107cos52 因此 6 分1tan3 ta7 2 n 7 分 1tat3tan127 8 分 1tant 32ta2tan 1 在 上单调递增 0 xyt 2 0 且 10 分4an1t 4 同理 11 分40 4320 从而 12 分2 17 解 1 由频率分布直方图知 成绩在第一组的为优秀 频率为 0 06 人数为 50 0 06 3 所以该样本中成绩优秀的人数为 3 3 分 2 由频率分布直方图知 成绩在第三组的频率 0 38 以此估计本年级 900 名学生成绩属 于第三组的概率为 0 38 人数为 900 0 38 342 所以估计本年级 900 名学生中 成绩属于第三组的人数为 342 7 分 3 的可能取值为 1 2 3 8 分3 1 24023 Cp 9 分21 431231240123 C 10 分6 24132301 Cp 的分布列为 P 1 2 3 1 3 1 2 1 6 11 分 12 分651 3 2 1 pppE 18 证明 连接 则长方体 中 DBC 1ABDC 1BC 11F 分别是 和 的中点 EF 分1DA 4 分1C平 面 解 理 连接 设交 于 连接BO1AC 正方形 中 又 平面 ABCD 1ABCD 平面 5 分 1 过 作 于 作 于 连接 1HO1GGHF1ABD 平面 6 分1C 1H 平面B 1AG 8 分1C 就是二面角 10 分H 1BCD 3AB 4 115132A 1 分114CHO 11345BFACG 二面角 的正弦值是 14 分10sinAG 1D 0 19 解 1 设 点坐标为 1 分P xy 则 2 分4Q 3 分2 1 Cxy 因为 所以 4 分 P2 1 4xy 化简得 5 分 243xy 所以点 的轨迹方程是 6 分 2143xy 2 依题意得 点坐标为 点坐标为 7A 0 B 0 分 设 点坐标为 8 分D 2cos 3in 0 2 则四边形 的面积 9OAB OADBBSS 四 边 形 分 10 分1123sin32cos ico 11 分6sn4 又因为 所以 12 分02 3 4 所以 即sin 1 6sin 64 所以四边形 的最大面积为 13 分OADB 当四边形 的面积取最大时 即 42 4 此时 点坐标为 14 分6 2 20 解 1 分 321fxaxb 2fxab 直线 的斜率为 2 曲线 在点 处的切线的斜率为 20y CP2 2 分 1fab 曲线 经过点 C yfx 1P 3 分 123fab 由 得 7 3b 4 分 由 知 3217fxx 2321mgxx 由 或 5 分 24gxm 0g 4 当 即 或 时 变化如下表210m 1 m x g xx 043 43 g 0 0 x 极大值 极小值 由表可知 7 分 403gxg 大 2231188m 当 即 时 变化如下表 21m 1x g xx 0 403 43 g 0 0 x 极小值 极大值 由表可知 8 分 403gxg 大 223310188m 综上可知 当 或 时 1m xg大 2 当 时 9 分1 gx 大 2318 因为 在区间 内存在两个极值点 所以 0fx f12 即 20 xab 在 内有两个不等的实根 2 1 4 2 3 0 4fab 11 分 由 1 3 得 12 分 由 4 得 2a 由 3 得 21a 221 4a 2ab 13 分 故 14 分0b 21 1 解 2 分23 2nxx 2 证明 设 则 siFfx cos10Fx 在 上为减函数 即 即 4 分 x 0 0 f 设 则 sinHfx csHx 在 上为增函数 即 即 5 分 x fx 当 时 6 分0 fx 3 由 1 知 当 时 同理可证 当 时 即对 恒有 7 分x fxxR fx 由 得 12 nngfN 1cos2nn 8 分1cosi nnnnxxx A N 122nn A12nn 21x 从而 10 分 nx 11 分1231112 23 2nxxn A 211n A 13 分1 32nn 32 A5 6 成立 14 分 1231 2nxxxN