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直 线 与 圆 题 型 库（1）知识精髓n 直线方程 二个概念（斜率、倾斜角） 三个距离（点点、点线、平行线间） 四组关系（相交、平行、垂直、对称） 五种形式（点斜（标准）、斜截、两点、截距、一般）n 圆方程 两种形式（标准、一般） 三种关系（点圆、线圆、圆圆）重点难点：直线间关系 难点：对称关系；直线旋转一定角度后的斜率计算，如过圆外固定点的两条切线或割线斜率计算。直线与圆间关系圆与圆间关系温馨提示：时刻不要忘记斜率不存在情况的讨论主干题型思维路径l 倾斜角范围讨论T1*已知，求直线的倾斜角范围？T2（SDM10）* ，求其倾斜角范围？T1:,T2：，因为如图：直线越靠近y轴，斜率绝对值越大，反之亦然本题中，其绝对值，直线越靠近x轴，所以倾斜角是温馨提示：倾斜角范围一般由斜率范围反演，有两种情形：两边和中间，即：；斜率逆时针增大：0,跨过y轴后，0 正切函数在上单增斜率绝对值越大，直线越靠近y轴，绝对值越小，直线越靠近x轴。l 斜率范围讨论T1*直线过点且与以为端点的线段相交，求直线的斜率范围？T1:求直线斜率范围，要重点分析动直线是否存在“垂直状态”情形，若存在，则分两类：0和0类范围，要么在0且二次项系数因此首先，然表达半径，转化为二次反比例复合函数的值域问题l 综合求圆方程T（HN10M）*根据下列条件求圆方程：（1） 过点和坐标原点，且圆心在直线上；（2） 圆心在直线相切于点P（3，-2）（3） 过三点T：（1）标准方程（2）思维1：标准方程，思维2：切线关系。（3）思维1：一般方程；思维2：两条线段中垂线交点为圆心直 线 与 圆 题 型 库（5）直线与圆关系知识精髓 两个问题：切线和弦长切线方程：圆方程，过点的切线方程为： 特殊情形：，过点的切线方程为： 以上公式推理逻辑：几何法：圆心切点连线垂直切线，切点在切线和圆上；代数法：斜截式直线斜率满足相交方程关系。当然也可以利用导数工具。注意：不要忘记斜率不存直线的讨论！弦长问题：圆截直线弦：几何法和代数法。几何法（垂径关系下的勾股定理）在圆中首选，代数法通用于所有曲线弦问题。 三种直线与圆的关系：相交、相切、相离（代数法：；几何法：圆心到直线的距离与半径关系） 四种圆与圆的关系：相交、内切、外切、相离（外离、内含）几何法：圆心和（差）与半径和（差）关系） 圆系方程：同心圆系：或 过两圆交点圆系：，（，不包括圆2）两圆公共弦直线方程：温馨提示：遇到圆的问题时，多用几何关系，辅以代数处理。主干题型思维路径l 直线与圆的关系T1（SH11）*直线与圆的位置关系是什么？T2（SDM11）*将圆沿x轴正方向平移1个单位后得圆C，若过点（3,0）的直线和圆C相切，则直线的斜率=？T3（LN09L）*圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为？T4(JX11L)*若曲线与曲线有四个不同交点，则参数取值范围？T5（SX12）*圆C：，过点（3,0），则的关系为？(先判断定点与圆C的关系：内部，因此相交)T1：遇到参数直线形式，一定要找到变中的不变，要不过定点（绕定点转动），要不斜率不变（倾斜一定平移），本题直线过定点，然后再考察定点与圆的关系，代入计算知：在圆内，因此直线与圆相交。当然也可以计算圆心到直线距离表达后与半径比较；或者计算相交二次方程的T2：几何法：画出切线直角三角形，并根据直角三角形三边长计算切线斜率。代数法：圆心（1,0）到直线的距离=半径，求出。T3：画图从几何关系入手分析。T4：曲线是由直线和【过定点（-1,0）】组成，画图后可知，两条临界直线是斜率为，旋转过程中不能与y=0重合（四个交点）。直 线 与 圆 题 型 库（6）主干题型思维路径l 弦长与中点弦问题T1*圆内一点，过点P的直线的倾斜角为，直线交圆于A、B两点，（1）当时，AB的长为？（2）当弦AB被点P平分时，求直线方程。T2（JX10）*直线与圆相交于M、N两点，若，则取值范围？（过圆外一定点的定值弦长问题）T3*直线上一点向圆引切线，则切线长最小为？T4（HB11M）*过点P（3,4）作圆的两条切线，切点为A、B，则线段AB长为？T5（JS12L）*圆C方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则的最大值是？T1：（1）垂径直角关系求之 （2）思维1：设出A、B两点坐标，列出在圆上的方程，两式相减求出斜率。思维2：挖掘几何关系：圆心与弦中点P连线后垂直弦，中点又在弦上。直线方程可求。T2：几何法：如图：过圆外一定点固定弦长定点P与圆心连线斜率，利用垂径定理可算出上下对称角的正切值上切线的斜率下切线的斜率 倾斜角的和差关系（正切和差公式）代数法：表达出，然后满足T3：遇到切线连圆心和切点，然后解切心直角三角形：动点P，圆心M，切点Q，则,因此切线长由动点与圆心连线长决定。T4：AB的一半是切心直角三角形斜边上的高，切心直角三角形三边都可算出。T5：此题中的逻辑变化有两方面：直线旋转+每条直线上不同的圆心。分析多方向变化情形时，要先固定其余变化，分析其余不变的情形下单向变化影响。如此题：先固定直线方向（斜率固定），然后圆心变化时的临界状态点是圆心到该直线的距离垂足点，此时是满足两圆有公共点的约束条件最松条件，也只有在这样的位置，才能允许直线尽可能逆时针方向旋转，即斜率变大，进而找到最大值状态：两圆外切+圆心连线垂直直线。l 圆之间的位置关系T*已知两圆和，求：（1）取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切，公切线方程是？（3）当m=45时，两圆的公共弦所在直线方程和弦长？T：先表达出两圆圆心和半径：然后根据条件建立参数方程并求解即可。
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