概率论与数理统计习题解答.doc

第一章 随机事件及其概率 1 写出下列随机试验的样本空间 1 同时掷两颗骰子 记录两颗骰子的点数之和 2 在单位圆内任意一点 记录它的坐标 3 10 件产品中有三件是次品 每次从其中取一件 取后不放回 直到三件次品 都取出为止 记录抽取的次数 4 测量一汽车通过给定点的速度 解 所求的样本空间如下 1 S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 S x y x 2 y20 2 设 A B C 为三个事件 用 A B C 的运算关系表示下列事件 1 A 发生 B 和 C 不发生 2 A 与 B 都发生 而 C 不发生 3 A B C 都发生 4 A B C 都不发生 5 A B C 不都发生 6 A B C 至少有一个发生 7 A B C 不多于一个发生 8 A B C 至少有两个发生 解 所求的事件表示如下 1 2 3 4 567 8 ABCAB 3 在某小学的学生中任选一名 若事件 A 表示被选学生是男生 事件 B 表示该生 是三年级学生 事件 C 表示该学生是运动员 则 1 事件 AB 表示什么 2 在什么条件下 ABC C 成立 3 在什么条件下关系式 是正确的 B 4 在什么条件下 成立 A 解 所求的事件表示如下 1 事件 AB 表示该生是三年级男生 但不是运动员 2 当全校运动员都是三年级男生时 ABC C 成立 3 当全校运动员都是三年级学生时 关系式 是正确的 B 4 当全校女生都在三年级 并且三年级学生都是女生时 成立 A 4 设 P A 0 7 P A B 0 3 试求 PA 解 由于 A B A AB P A 0 7 所以 P A B P A AB P A P AB 0 3 所以 P AB 0 4 故 1 0 4 0 6 5 对事件 A B 和 C 已知 P A P B P C P AB P CB 0 P AC 1418 求 A B C 中至少有一个发生的概率 解 由于 故 P ABC 0 0 则 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 11548 6 设盒中有 只红球和 b 只白球 现从中随机地取出两只球 试求下列事件的概 率 A 两球颜色相同 B 两球颜色不同 解 由题意 基本事件总数为 有利于 A 的事件数为 有利于 B 的2ab 2abA 事件数为 111abaA 则 212 babPPB 7 若 10 件产品中有 7 件正品 3 件次品 1 不放回地每次从中任取一件 共取三次 求取到三件次品的概率 2 每次从中任取一件 有放回地取三次 求取到三次次品的概率 解 1 设 A 取得三件次品 则 3 310 106 272或 者 CAPAP 2 设 B 取到三个次品 则 37 8 某旅行社 100 名导游中有 43 人会讲英语 35 人会讲日语 32 人会讲日语和英 语 9 人会讲法语 英语和日语 且每人至少会讲英 日 法三种语言中的一 种 求 1 此人会讲英语和日语 但不会讲法语的概率 2 此人只会讲法语的概率 解 设 A 此人会讲英语 B 此人会讲日语 C 此人会讲法语 根据题意 可得 1 3293 100 PABCPABC 2 01 1 435241010 9 罐中有 12 颗围棋子 其中 8 颗白子 4 颗黑子 若从中任取 3 颗 求 1 取到的都是白子的概率 2 取到两颗白子 一颗黑子的概率 3 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率 4 取到三颗棋子颜色相同的概率 解 1 设 A 取到的都是白子 则 38124 05 CPA 2 设 B 取到两颗白子 一颗黑子 84312 9B 3 设 C 取三颗子中至少的一颗黑子 075 PCA 4 设 D 取到三颗子颜色相同 38412 D 10 1 500 人中 至少有一个的生日是 7 月 1 日的概率是多少 1 年按 365 日计算 2 6 个人中 恰好有 4 个人的生日在同一个月的概率是多少 解 1 设 A 至少有一个人生日在 7 月 1 日 则 5036 1 P 2 设所求的概率为 P B 4261 7 CB 11 将 C C E E I N S 7 个字母随意排成一行 试求恰好排成 SCIENCE 的 概率 p 解 由于两个 C 两个 E 共有 种排法 而基本事件总数为 因此有2A7A 270 94Ap 12 从 5 副不同的手套中任取款 4 只 求这 4 只都不配对的概率 解 要 4 只都不配对 我们先取出 4 双 再从每一双中任取一只 共有 中 452C 取法 设 A 4 只手套都不配对 则有 451028 CPA 13 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件 第 i 只零件是不合格的概 率为 i 1 2 3 若以 x 表示零件中合格品的个数 则 P x 2 为 1ipi 多少 解 设 Ai 第 i 个零件不合格 i 1 2 3 则 1 iiPAp 所以 1iiPp 23123123 xA 由于零件制造相互独立 有 123123 PP 123123 APA 234234x 所 以 14 假设目标出现在射程之内的概率为 0 7 这时射击命中目标的概率为 0 6 试 求两次独立射击至少有一次命中目标的概率 p 解 设 A 目标出现在射程内 B 射击击中目标 B i 第 i 次击中目标 i 1 2 则 P A 0 7 P Bi A 0 6 另外 B B1 B2 由全概率公式12 PBAPBA 另外 由于两次射击是独立的 故 P B1B2 A P B1 A P B2 A 0 36 由加法公式 P B1 B2 A P B1 A P B2 A P B 1B2 A 0 6 0 6 0 36 0 84 因此 P B P A P B1 B2 A 0 7 0 84 0 588 15 设某种产品 50 件为一批 如果每批产品中没有次品的概率为 0 35 有 1 2 3 4 件次品的概率分别为 0 25 0 2 0 18 0 02 今从某批产品中抽取 10 件 检查出一件次品 求该批产品中次品不超过两件的概率 解 设 Ai 一批产品中有 i 件次品 i 0 1 2 3 4 B 任取 10 件检查出一件次 品 C 产品中次品不超两件 由题意 01945281093475160 2 PBACPBAC 由于 A0 A1 A2 A3 A4 构成了一个完备的事件组 由全概率公式 0 196 iiiPB 由 Bayes 公式 0111222 5 3 PBAP 故 0 58 iiCB 16 由以往记录的数据分析 某船只运输某种物品损坏 2 10 和 90 的概率分 别为 0 8 0 15 0 05 现在从中随机地取三件 发现三件全是好的 试分析 这批物品的损坏率是多少 这里设物品件数很多 取出一件后不影响下一件 的概率 解 设 B 三件都是好的 A 1 损坏 2 A2 损坏 10 A3 损坏 90 则 A1 A2 A3 是两两互斥 且 A1 A2 A3 P A 1 0 8 P A2 0 15 P A2 0 05 因此有 P B A1 0 983 P B A2 0 903 P B A3 0 13 由全概率公式 31333 0 89 509 501 8624 iiiPB 由 Bayes 公式 这批货物的损坏率为 2 10 90 的概率分别为 1 323 8 7624 0159 018 8 iiiiiiAPBP 由于 P A1 B 远大于 P A3 B P A2 B 因此可以认为这批货物的损坏率为 0 2 17 验收成箱包装的玻璃器皿 每箱 24 只装 统计资料表明 每箱最多有两只残 次品 且含 0 1 和 2 件残次品的箱各占 80 15 和 5 现在随意抽取一 箱 随意检查其中 4 只 若未发现残次品 则通过验收 否则要逐一检验并 更换残次品 试求 1 一次通过验收的概率 2 通过验收的箱中确定无残次品的概率 解 设 Hi 箱中实际有的次品数 A 通过验收 012 i 则 P H0 0 8 P H1 0 15 P H2 0 05 那么有 423142 5 69 8PAC 1 由全概率公式 0 0 96 iiiPAHPA 2 由 Bayes 公式 得 0 81 3 i 18 一建筑物内装有 5 台同类型的空调设备 调查表明 在任一时刻 每台设备 被 使用的概率为 0 1 问在同一时刻 1 恰有两台设备被使用的概率是多少 2 至少有三台设备被使用的概率是多少 解 设 5 台设备在同一时刻是否工作是相互独立的 因此本题可以看作是 5 重伯努 利试验 由题意 有 p 0 1 q 1 p 0 9 故 1 23155 0 1 9 072 PC 2 234P 2415055 9 856C 19 甲 乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛 如果每一局甲胜的概率为 0 6 乙胜的概率为 0 4 比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制 问在哪一 种比赛制度下甲获胜的可能性较大 解 在三局两胜时 甲队获胜的概率为 32130 0 64 6 4 8 APC 在五局三胜的情况下 甲队获胜的概率为 55324150 6 4 82 BPC 因此 采用五局三胜制的情况下 甲获胜的可能性较大 20 4 次重复独立试验中事件 A 至少出现一次的概率为 求在一次试验中 A 出8 现的概率 解 设在一次独立试验中 A 出现一次的概率为 p 则由题意 0444 65 1 1 PCpq 解得 p 1 3 21 87 2 分 三个箱子 第一个箱子中有 4 只黑球 1 只白球 第二个箱子中有 3 只黑球 3 只白球 第三个箱子有 3 只黑球 5 只白球 现随机地取一个箱子 再从这 个箱子中取出一个球 这个球为白球的概率等于 已知取出的球是白球 此 球属于第二个箱子的概率为 解 设 取出白球 球取自第 个箱子 是一 B iAi 3 21 i321 A 个完全事件组 3 21 Pi 5 ABP BP 应用全概率公式与贝叶斯公式8 5 3A 1203 85 3 31 i iiAB 222BPAP 22 89 2 分 已知随机事件 的概率 随机事件 B 的概率A5 0 及条件概率 则和事件 的概率 6 0 BP8 BPA P 解 70 APA 23 90 2 分 设随机事件 及其和事件 的概率分别是 和AB4 3 若 表示 的对立事件 那么积事件 的概率 60B 解 与 互不相容 且 于是A B 30 PAP 24 92 3 分 已知 41 C B 则事件 全不发生的概率为 16 BCAP 解 从 可知 00 ABP ABCPACP 851641 25 93 3 分 一批产品共有 10 件正品和两件次品 任意抽取两次 每次抽一件 抽出后不再放回 则第二次抽出的是次品的概率为 解 设事件 第 次抽出次品 则 iBi 2 1 i 12 BP12 0 应用全概率公式 1 122PP 12112B 60 26 94 3 分 已知 两个事件满足条件 且 A BAPp 则 BP 解 因 故有 1 ABPBA BAP 1 pP 27 06 4 分 设 为随机事件 且 则必有 0 A APB B C D BPA 解 选 C 28 05 4 分 从数 1 2 3 4 中任取一个数 记为 再从 1 2 中XX 任取一个数 记为 则 Y 解 填 813 29 96 3 分 设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 和 现从由AB 12 和 的产品分别占 和 的一批产品中随机抽取一件 发现是次品 则AB 604 该产品属 生产的概率是 解 设事件 抽取的产品是次品 事件 抽取的产品是 A 生产的 则 C D 表示 抽取的产品是工厂 生产的 依题意有DB 02 01 40 60 CPCPDP 应用贝叶斯可以求得条件概率 73 4 6 C 30 97 3 分 袋中有 50 只乒乓球 其中 20 只是黄球 30 只是白球 今有两人 依次随机地从袋中各取一球 取后不放回 则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件 第 个人取得黄球 根据题设条件可知 iAi 2 1 i 4920 49 503 502 1211 APAPP 应用全概率公式 5350 1211212 A 31 87 2 分 设在一次试验中 事件 发生的概率为 现进行 次独立试验 pn 则 至少发生一次的概率为 而事件 至多发生一次的概率为 AA 解 由于每次试验中事件 A 发生的概率都是 并且 次试验相互独立 这是 重 伯努利试验概型 若 次试验中事件 A 发生 次 则 iBnk 210 1 nqpCPnkk 事件 A 至少发生一次的概率为 0npB 事件 A 至多发生一次的概率为 1 10 nnP 32 88 2 分 设三次独立实验中 事件 出现的概率相等 若已知 至少出现一AA 次的概率等于 则事件 在一次试验中出现的概率为 719 解 设事件 在一次试验中出现的概率为 这是一个 3 重伯努利试验概型 因此Ap 在三次独立试验中 事件 至少出现一次的概率为 依题意 有 1 p 279 1 3 解之得 3 1 p 33 89 2 分 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 0 5 现已知目标被命中 则它是甲射中的概率为 解 设事件 甲射中 乙射中 依题意 与 A BABPA 5 0 6 相互独立 因此B 30 P 8 0 PA 75 BABA 34 98 3 分 设 是两个随机事件 且 1 0 P0 则必有 ABP A B C BP D A 解 应用条件概率定义 从 可得 ABP 即 1 ABPABP 化简得 应选 C ABP 35 99 3 分 设两两相互独立的三事件 和 满足条件 C 且已知 则 21 169 BAP AP 解 由于 两两独立 且 所以ABC 22APCBPA ABCPCBAP 3 3 依题意 有 169 2 AP0163 2 AP 解之 得 舍去 4 3 4 1 36 00 3 分 设两个相互独立的事件 和 都不发生的概率为 发生 不B9B 发生的概率与 发生 不发生的概率相等 则 BA AP 解 依题意 故 即 P AP PA 又因 与 独立 故 与 独立 BA 9 1 2 APB 解得 3 2 3 1 P 37 07 4 分 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率为 p 则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为 0 p A 2 1 3 B 6 C 22 p D 1 解 选 C 38 88 2 分 在区间 中随机取两个数 则事件 两数之和小于 的概 1 0 56 率为 解 这是一个几何概型的计算问题 设 分别表示在区间 中随机地取两yx 1 0 个数 则试验的样本空间 为第一象限中的单位正方形区域 即 设事件 两个数之和小于 则 10 yxy A56 由于点落在 内的任何区域的概率与 56 A 区域的面积成正比 故 2517 4 SAP 其中 与 分别表示集合 与集合 的面积 AS 39 91 3 分 随机地向半圆 为正常数 内掷一点 点落20 xay 在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比 则原点与该点的连线与 轴的夹x 角小于 的概率为 4 解 设事件 掷的点和原点连线与 轴夹角小于 这是一个几何概型的计 Ax4 算问题 由几何概率公式 SAPD 其中 21 41224 1 aaScirleABCD 故 214 22 aAP 40 07 4 分 在区间 中随机地取两个数 则这两个数之差的绝对值小于 0 的概率为 21 解 参考 38 题解得这两个数之差的绝对值小于 的概率为21 43 第二章 随机变量及其分布 1 有 10 件产品 其中正品 8 件 次品两件 现从中任取两件 求取得次品数 X 的分律 解 X 的分布率如下表所示 X 0 1 2 p 28 45 16 45 1 45 2 进行某种试验 设试验成功的概率为 失败的概率为 以 X 表示试验首次成功所3414 需试验的次数 试写出 X 的分布律 并计算 X 取偶数的概率 解 X 的分布律为 13 24kP X 取偶数的概率 213 4163651kkPX k k为 偶 数 3 从 5 个数 1 2 3 4 5 中任取三个为数 求 23 x X max 的分布律及 P X 4 x Y min 的分布律及 P Y 3 123 解 基本事件总数为 510C 1 X 的分布律为 P X 4 P 3 P 4 0 4 2 Y 的分布律为 P X 3 0 4 C 应取何值 函数 f k k 1 2 0 成为分布律 C 解 由题意 即1 kfx X 3 4 5p 0 1 0 3 0 6Y 1 2 3p 0 6 0 3 0 1 0110 1 kkkkCCCe 解得 e 5 已知 X 的分布律 X 1 1 2 P 6236 求 1 X 的分布函数 2 3 312PX 解 1 X 的分布函数为 kxFxXp 0 11 6 2 2xx 2 1 6PX 3 31 02P 6 设某运动员投篮投中的概率为 P 0 6 求一次投篮时投中次数 X 的分布函数 并作出 其图形 解 X 的分布函数 0 61xFx 7 对同一目标作三次独立射击 设每次射击命中的概率为 p 求 1 三次射击中恰好命中两次的概率 2 目标被击中两弹或两弹以上被击毁 目标被击毁的概率是多少 解 设 A 三次射击中恰好命中两次 B 目标被击毁 则 1 P A 23233 1 1 PCpp 2 P B 3323Cp 8 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布 求 1 每分钟恰有 6 次呼唤的概率 2 每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率 解 F x 0 x 1 0 6 1 1 P X 6 或者 640 1 ke P X 6 0 21487 0 11067 0 1042 k 467 kke 2 P X 10 0 99716 10410 28kke 9 设随机变量 X 服从泊松分布 且 P X 1 P X 2 求 P X 4 解 由已知可得 12 e 解得 2 0 不合题意 0 0942 P 因 此 10 商店订购 1000 瓶鲜橙汁 在运输途中瓶子被打碎的概率为 0 003 求商店收到的玻璃 瓶 1 恰有两只 2 小于两只 3 多于两只 4 至少有一只的概率 解 设 X 1000 瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数 则 X 服从参数为 n 1000 p 0 003 的二项分布 即 X B 1000 0 003 由于 n 比较大 p 比较小 np 3 因此可以用泊 松分布来近似 即 X 3 因此 1 P X 2 230 4 e 2 32 1 10 8 92 kPXe 3 32576k 4 1 9 ke 11 设连续型随机变量 X 的分布函数为20 1 xFxk 求 1 系数 k 2 P 0 25 X 0 75 3 X 的密度函数 4 四次独立试验中 有三次恰好在区间 0 25 0 75 内取值的概率 解 1 由于当 0 x 1 时 有 F x P X x P X 0 P 0 X x kx2 又 F 1 1 所以 k 12 1 因此 k 1 2 P 0 25 X 0 75 F 0 75 F 0 25 0 752 0 252 0 5 3 X 的密度函数为 2 01 xfxFOther 4 由 2 知 P 0 25 X80 100 P Z 0 8 120 8 0 7xd 如果供电量只有 90 万千瓦 供电量不够用的概率为 P Z 90 100 P Z 0 9 120 9 3 14 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件 其寿命 单位 小时 都服从同一指数分布 分布密度为 601 xeF 试求在仪器使用的最初 200 小时以内 至少有一只电子元件损坏的概率 解 设 X 表示该型号电子元件的寿命 则 X 服从指数分布 设 A X 200 则 P A 1206031xed 设 Y 三只电子元件在 200 小时内损坏的数量 则所求的概率为 103033 PYCPAe 15 设 X 为正态随机变量 且 X N 2 又 P 2 X 4 0 3 求 P X 0 2 解 由题意知 24 24 0 3 即 0 35 8 故 2 1 2XP 16 设随机变量 X 服从正态分布 N 10 4 求 a 使 P X 10 0 时 2221 yyyYXXfffyee 当 y 0 时 0 y 因此有 2 0yYef 22 若随机变量 X 的密度函数为 2X 4 0 4 6 p 1 7 1 7 3 7 2 7 X2 0 4 9 p 1 7 4 7 2 7 23 01 xf 其 他 求 Y 的分布函数和密度函数 1x 解 y 在 0 1 上严格单调 且反函数为 h y y 1 h y 1y21y 22413 3YXXfyfhyfy 因此有 4 3 0Yfother Y 的分布函数为 43311 1 0 yYydyFother 23 设随机变量 X 的密度函数为 2 0 1 0 xfx 试求 Y lnX 的密度函数 解 由于 严格单调 其反函数为 则lnyx yyhehe 且2 1 yYXXyyffhfeey 24 设随机变量 X 服从 N 分布 求 Y 的分布密度 2 xe 解 由于 严格单调 其反函数为 y 0 则xye 1 ln hyy 且 221 ln 1 l 0YXXyfyfhfye 当 时 0Yfy 因此 221 ln 0 0 yYef 25 假设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布 证明 Y 在区间 0 1 上服从均匀21xe 分布 解 由于 在 0 上单调增函数 其反函数为 21xye ln 0 2h 并且 则当 1y01y 12 ln 2 1 YXyffhye 当 y 0 或 y 1 时 0 Yf 因此 Y 在区间 0 1 上服从均匀分布 26 把一枚硬币连掷三次 以 X 表示在三次中正面出现的次数 Y 表示三次中出现正面的 次数与出现反面的次数之差的绝对值 试求 X Y 的联合概率分布 解 根据题意可知 X Y 可能出现的情况有 3 次正面 2 次正面 1 次反面 1 次正面 2 次反面 3 次反面 对应的 X Y 的取值及概率分别为 P X 3 Y 3 P X 2 Y 1 18 2338C P X 1 Y 1 P X 0 Y 3 311328C 1 于是 X Y 的联合分布表如下 X Y 0 1 2 3 1 0 3 8 3 8 0 3 1 8 0 0 1 8 27 在 10 件产品中有 2 件一级品 7 件二级品和 1 件次品 从 10 件产品中无放回抽取 3 件 用 X 表示其中一级品件数 Y 表示其中二级品件数 求 1 X 与 Y 的联合概率分布 2 X Y 的边缘概率分布 3 X 与 Y 相互独立吗 解 根据题意 X 只能取 0 1 2 Y 可取的值有 0 1 2 3 由古典概型公式得 1 其中 713 ijkij CpPij 0 ijki 123j 可以计算出联合分布表如下 k Y X 0 1 2 3 ip 0 0 0 21 120 35 120 56 120 1 0 14 120 42 120 0 56 120 2 1 120 7 120 0 0 8 120jp 1 120 21 120 63 120 35 120 2 X Y 的边缘分布如上表 3 由于 P X 0 Y 0 0 而 P X 0 P Y 0 0 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 因此 X Y 不相互独立 28 袋中有 9 张纸牌 其中两张 2 三张 3 四张 4 任取一张 不放回 再任取 一张 前后所取纸牌上的数分别为 X 和 Y 求二维随机变量 X Y 的联合分布律 以及 概率 P X Y 6 解 1 X Y 可取的值都为 2 3 4 则 X Y 的联合概率分布为 Y X 2 3 4 ip 2 9 1 36A 129 A 129 A 2 9 3 1233346C1 3 4 49 1249 629 4 9jp 2 9 1 3 4 9 2 P X Y 6 P X 3 Y 4 P X 4 Y 3 P X 4 Y 4 1 6 1 6 1 6 1 2 29 设二维连续型随机变量 X Y 的联合分布函数为 arctnarctn23xyFxyABC 求 1 系数 A B 及 C 2 X Y 的联合概率密度 3 X Y 的边缘分布函 数及边缘概率密度 4 随机变量 X 与 Y 是否独立 解 1 由 X Y 的性质 F x 0 F y 0 F 0 F 1 可 以得到如下方程组 arctn02ta312xABCyABC 解得 1 2 2 2 2 6 4 9Fxyfxyxy 3 X 与 Y 的边缘分布函数为 211 arctnarctn2x rta3Y yyFyy X 与 Y 的边缘概率密度为 2 4 Xfxx 39YyFy 4 由 2 3 可知 所以 X Y 相互独立 XYff 30 设二维随机变量 X Y 的联合概率密度为 x y e 0 xf 其 他 1 求分布函数 F x y 2 求 X Y 落在由 x 0 y 0 x y 1 所围成的三角形区域 G 内的概率 解 1 当 x 0 y 0 时 0 1 xuvxyFede 否则 F x y 0 2 由题意 所求的概率为 1 10 20 64GxyPxyfdee 31 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 3x 4y A 0 xyfxy 其 他 求 1 常数 A 2 X Y 的边缘概率密度 3 01 2 PXY 解 1 由联合概率密度的性质 可得 34 0 1 2xyfxydAedA 解得 A 12 2 X Y 的边缘概率密度分别为 34 3012 0 xyxX edefxfydothr 34 40 xyyYfyfxter 3 01 2Pxy 2 34 8 ed 32 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 2 01 2 30 xyxyfxy 其 他 求 P X Y 1 解 由题意 所求的概率就是 X Y 落入由直线 x 0 x 1 y 0 y 2 x y 1 围的区域 G 中 则 1203 45672GxPxyfydd 33 设二维随机变量 X Y 在图 2 20 所示的区域 G 上服从均匀分布 试求 X Y 的联合概率 密度及边缘概率密度 解 由于 X Y 服从均匀分布 则 G 的面积 A 为 2112001 6xGAfxyddyxd X Y 的联合概率密度为 6 0fxyother X Y 的边缘概率密度为 226 01 0 xX dyxfxfyother yY yfyfxtr 34 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 X 在 0 0 2 上服从均匀分布 Y 的概率密度是5 0 yyef 求 1 X 和 Y 和联合概率密度 2 P Y X 解 由于 X 在 0 0 2 上服从均匀分布 所以 1 25Xfx 1 由于 X Y 相互独立 因此 X Y 的联合密度函数为 52 0 yYefxyf other 2 由题意 所求的概率是由直线 x 0 x 0 2 y 0 y x 所围的区域 如右图所示 因此 0 250 251 1xyGxPYXfydede 35 设 X Y 的联合概率密度为 1 0 2 2xyfxy 其 他 y x 0 0 2 x y 求 X 与 Y 中至少有一个小于 的概率 12 解 所求的概率为 0 512 1 2 58PXYfxyd 36 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 X 1 1 3 Y 3 1 P P 25104 求二维随机变量 X Y 的联合分布律 解 由独立性 计算如下表 X Y 1 1 3 jp 3 1 8 1 20 3 40 1 4 1 3 8 3 20 9 40 3 4ip 1 2 1 5 6 20 37 设二维随机变量 X Y 的联合分布律为 X 1 2 3 Y 1 61918 2 a b c 1 求常数 a b c 应满足的条件 2 设随机变量 X 与 Y 相互独立 求常数 a b c 解 由联合分布律的性质 有 即 a b c 11698c 123 又 X Y 相互独立 可得 698 从而可以得到 2 3ac 38 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 232 0 11 xyyF 其 他 求边缘分布函数 与 并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立 xy 解 由题意 边缘分布函数 22lim 0 10 yX xFx 下面计算 FY y 232 0 lim 11 Yxxyyyy 可以看出 F x y F x x FY y 因此 X Y 相互独立 39 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 132 1 0yexfx 其 他 求边缘概率密度 与 并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立 XfYfy 解 先计算 当 x 1 时 X 当 x 1 时 1133322 yyXfedxx 再计算 当 y 1 时 Y 0Yf 当 y 1 时 11132 yyyfeex 可见 所以随机变量 X Y 相互独立XYxf 40 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 0 xyxf 其 他 求边缘概率密度 与 并判断随机变量 X 与 Y 是否相互独立 XfxYy 解 先计算 当 x1 时 f Xf 当 1 x 0 时 1210 0Xdyx 再计算 当 y1 时 Yf Yf 当 1 y 0 时 120 Yfxxy 由于 所以随机变量 X Y 不独立1 XYfxyfy 41 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 2 0 0 xyefy 其 他 求随机变量 Z X 2Y 的分布密度 解 先求 Z 的分布函数 F z 2 2 DXYzFzPfxyd 当 z0 y 0 x 2y z 求得 220 zyyded 241zyzz 当 z 0 时 积分区域为 D x y x 0 y 0 x 2y z 20 zyxyFded 2401yzze 由此 随机变量 Z 的分布函数为 1 02 zzeF 因此 得 Z 的密度函数为 0 z x y z x y x y y x 2y z x 2y z z x y x y 0 z x y D y y D y 1 02 zef 42 设随机变量 X 和 Y 独立 X Y 服从 b b b 0 上的均匀分布 求2 N 随机变量 Z X Y 的分布密度 解 解法一 由题意 2 11 zyabXYFzfzyfdedb 令 则 att 211 2zba zbazbaed 解法二 2 1 1 2112XYzbFzfxzx 0 时有非零值 仅当 z x 0 即 z x 时有非零值 所以当 Xfx z0 时 有 0 z x 因此 1132 0 zzxxZFed 163320zzxe 44 设 X Y 的联合分布律为 X 0 1 2 3 Y 0 0 0 05 0 08 0 12 1 0 01 0 09 0 12 0 15 2 0 02 0 11 0 13 0 12 求 1 Z X Y 的分布律 2 U max X Y 的分布律 3 V min X Y 的分布律 解 1 X Y 的可能取值为 0 1 2 3 4 5 且有 P Z 0 P X 0 Y 0 0 P Z 1 P X 1 Y 0 P X 0 Y 1 0 06 P Z 2 P X 2 Y 0 P X 0 Y 2 P X 1 Y 1 0 19 P Z 3 P X 3 Y 0 P X 1 Y 2 P X 2 Y 1 0 35 P Z 4 P X 2 Y 2 P X 3 Y 1 0 28 P Z 5 P X 3 Y 2 0 12 Z X Y 的分布如下 Z 0 1 2 3 4 5 p 0 0 06 0 19 0 35 0 28 0 12 同理 U max X Y 的分布如下 U 0 1 2 3 U 0 1 2 3 p 0 0 15 0 46 0 39 同理 V min X Y 的分布分别如下 V 0 1 2 45 90 2 分 已知随机变量 的概率密度函数X 21 xexfx 则 的概率分布函数 XF 解 当 时 0 x V 0 1 2 p 0 28 0 47 0 25 21 xxtx edtfF 当 时 0 x 0000 xxttx edtftfx 因此 的概率分布函数为X 0 21 xexFx 46 97 7 分 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗 假设在各个交通岗遇到红灯 的事件是相互独立的 并且概率都是 设 为遇到红灯的次数 求随机变量 的分布5XX 律 解 可以看出随机变量 服从二项分布 其概率分布为X 2 3 B3 210 5 kCkPk 于是随机变量 的分布律为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 47 02 3 分 设 和 是任意两个相互独立的连续型随机变量 它们的概率密度分别12 为 和 分布函数分别为 和 则 1xf2f 1xF2 A 必为某一随机变量的概率密度 B 必为某一随机变量的概率密度1xf2 C 必为某一随机变量的分布函数 F D 必为某一随机变量的分布函数1x2 解 首先可以否定选项 A 和 C 因为 12 21 dxfxf F 对于选项 B 若 则对任何 otherwisxxf 0 1 otherwisxxf 0 2 x 因此也否定 C 故选 D 0 21 xf 10 21 dxf 事实上 是随机变量 的分布函数 F ma 21X 48 88 2 分 设随机变量服从均值为 10 均方差为 0 02 的正态分布 已知 则 落在区间 内的概率为 xdue21 938 0 5 05 1 9 解 依题意 因此 于是 2NX 0 2 1NX 98760152 0519 PP 49 89 2 分 若随机变量 在 上服从均匀分布 则方程 有实根的 6 2 x 概率是 解 设事件 方程有实根 而方程有实根的充要条件是根的判别式 A 042 即 因此 4 2 80 2 PP 50 91 3 分 若随机变量 服从均值为 2 方差为 的正态分布 且X2 则 0 42 xP 0 解 依题意 2 4 2 P 805 30 X 于是 2 1 2 0 51 08 4 分 设随机变量 和 独立同分布 且 的分布密度函数为 则XYX xF 的分布函数为 max YXZ A 2F B yFx C 21 D yx 解 选 A 52 08 11 分 设随机变量 与 相互独立 的概率分布为 XYX31 iXP 的概率密度为1 0 iY 0 1 otherwisyyfY 记 求 XZ 1 0 2 P 2 的概率密度 zfZ 解 1 21 0 21 0 21 0 2 YPXPXZPP 2 zYzZzF 1 1 3 1 0 1 1 zFzFYPYP XPzYXzXzY otherwiszffff YYZY 0213 53 04 4 分 设随机变量 服从正态分布 对给定的 数X 1 N 满足 若 则 等于 u uP xP A 2 B 21 u C 21 D 解 由于 故对于任何正数 有 1 0 NX 21 XPXP 若 则因 必有 且 xP1 0 x 21 1 2 x 由此可见 应选 C 21 ux 54 06 4 分 设随机变量 与 相互独立 且均服从区间 上的均匀分布 则XY 3 0 1 max YXP 解 填 9 55 88 6 分 设随机变量 的概率密度为 求随机变量X 1 2xf 的概率密度函数 31XY yfY 解 先求出随机变量 的分布函数 再求 yfY 1 11 3 233 yY dxXPPyF 用变下限积分求导可得 1 62ydyFfYY 56 93 3 分 设随机变量 服从 上均匀分布 则随机变量 在 内X 2 0 2XY 4 0 概率分布密度 yfY 解 方法一 先求随机变量 的分布函数 再求 yfY 当 时 当 时 当 时 0 y 0 yFY4 1 yFY40 y 2 2 yFXPPX 于是 otherwisyyFfY 0441 方法二 应用单调公式法 由于 在 内单调 反函数 在 内可导 且导数2xy 4 0 yx 2 0 恒不为零 因此随机变量 的概率分布密度h1 Y otherwisyfyhfXY 04 terisy 41 57 95 6 分 设随机变量 的概率密度为 求随机变量X 0 xxfX 的概率密度 XeY yfY 解 方法一 先求随机变量 的分布函数 再求 yfY 当 时 当 时 1 y 0 yFY1 1 ln ln0ydxeyXPyePyx 于是 1 0 2yyFfY 方法二 应用单调公式法 由于 在 内单调 其反函数 在 内可导且其导数xey 0 xln 因此 01 yx 1 01 0 2lnyyeyfY 58 98 3 分 设平面区域 由曲线 及直线 所围成 二维随Dxx2e 机变量 在区域 上服从均匀分布 则 关于 的边缘概率密度在 处的 YX YXx 值为 解 首先求 的联合概率密度 设区域 的面积为 则依题意有 yxfDDS 2 ln121 eeDdS 0 yxyxf 其中 10 1 2exyD 其次 求关于 的边缘概率密度 当 或 时 当 时 X x2e 0 xfX21ex 故 关于 的边缘概率密度在 处的值 2 10dyyxff xX YX 为 412 59 99 8 分 设随机变量 和 相互独立 下表列出二维随机变量 联合分布律XY YX 及关于 和关于 的边缘分布律中的部分数值 试将其余数值填入表中空白处 XY1y2y3y ijPx 1x8128jjPyY 61 1 解 首先根据边缘分布公式 求出 然后再依次求出其他值 见下表 21ip241 YX1y2y3y ijPxX 1x2481124128343jjPyY 61213 1 60 01 7 分 设某班车起点站上客人数 服从参数为 的泊松分布 每位乘客X0 在中途下车的概率为 且中途下车与否相互独立 以 表示在中途下车的人p10 Y 数 求 1 在发车时有 个乘客的条件下 中途有 人下车的概率 nm 2 二维随机变量 的概率分布 YX 解 1 1 nmnpCP n 10 2 2 1 mnmnpCeXYPn 10 n 10 61 03 4 分 二维随机变量 的概率分布为 YX 016 otherwisyxyxf 则 1 YXP 解 416 1012 xyx dydyf 62 87 6 分 设随机变量 相互独立 其概率密度函数分别为XY 0 1 otherwisxyf yfY 求随机变量 的概率密度 XZ 2 解 由于 相互独立 因此它们的联合概率密度为XY otherwisyxeyfxyf yYX 00 1 随机变量 的分布函数为Z zyxdfYXPzF2 2 2 0 2012 zdyexzxz 2 1 02 2 zdxezz 2 1 20 zezz 随机变量 的概率密度为Z 2 1 20 zezFf zZ 63 89 6 分 设随机变量 与 独立 且 服从均值为 1 标准差 均方差 为 的XY 2 正态分布 而 服从标准正态分布 试求随机变量 的概率密度函数 Y 32 YXZ 解 由于独立的正态随机变量 与 的线性组合仍服从正态分布 于是随机变量 的概率密度函数为32 XZ 231 182 5 zezfZ 64 91 6 分 设二维随机变量 的概率密度为 YX 002 otherwisyxeyxfyx 求随机变量 的概率密度 YXZ2 解 zyxdxyfPzzF2 当 时 当 时 0 0 1 00 2 2 zzzzxzyx edededz 所以 随机变量 的概率密度函数为YXZ zezf 65 92 6 分 设随机变量 与 独立 且 服从正态分布 而 服从XY 2 NY 上的均匀分布 试求 的概率密度函数 计算结果用标准正态分布函数 Z 表示 其中 xdtex21 解 解法一 先求分布函数 zFZ dyzdxedy xyfzYXPzz zyYXZ 2121 2 因此 的概率密度函数为 yzzFfZ 其中 是标准正态分布的密度函数 由于 是偶函数 因此有 x zyz 于是 21 12 zzdyzfZ 解法二 直接应用独立随机变量之和密度的卷积公式 21 2 2 zzdyedyefzfzf zy xYXZ 66 94 3 分 设相互独立随机变量 具有同一分布律 且 的分布律为XYX 0 1P212 则随机变量 的分布律为 max YXZ 解 易见 只取 0 与 1 两个可能值 且 41 0 0 0 YPXYXPP 43 Z 67 96 6 分 设 是相互独立且服从同一分布律的两个随机变量 已知 的分布律为 又设 321 iiP max X in Y 1 写出二维随机变量 的分布律 Y 2 求随机变量 的数学期望 E 解 1 易见 的可能取值为 二维 X 1 2 1 3 2 3 随机变量 的分布律见下表Y 1 2 3 1 90 0 2 2910 3 291 2 先将表中各行相加 求得 的分布率为X X 1 2 3 P 1 9 3 9 5 9 于是 935291 E 68 99 3 分 设两个相互独立的随机变量 和 分别服从正态分布 和XY 1 0 N 则 1 N A 210 YXP B C D 21 YXP 解 因为随机变量 和 相互独立 它们又服从正态分布 所以 与 也都服YX 从正态分布 且 由于 N 2 1 NYX 0 P 故选 B 69 05 4 分 设二维随机变量 的概率分布 YX 0 1 0 1 0 4ba 0 1 已知随机事件 与 相互独立 则 X Y A 3 0 2 ba B 14 C D 0ba 解 选 B 70 05 9 分 设二维随机变量 的概率密度为 YX 020 1 otherwisxyxyxf 求 1 的边缘概率密度 和 YX fXfY 2 的概率密度 Z zZ 解 1 当 时 当 或 时 10 x 2 0 xdyxff xX 0 1 x 即 xfX otherwisxxfX 012 当 时 当 或 时 20 y 12ydyfyf yY 0 y 即 fY otherwisyyfY 02 1 2 解法一 当 时 当 时 0 z zFZz 4 2 22zdxyfYXPzyxZ 当 时 所以 2 z 1 zF 0 1 otherwiszzfZ 解法二 2 dxzfzfZ 其中 otherwisxxzxfZ 00 1 2 当 或 时 当 时 即0 z fZ2z 21 2zdxzfzZ 0 1otherisf 71 06 9 分 设随机变量 的概率密度为X 0 21 42otherwisxxf 令 为二维随机变量 的分布函数 求2XY yxF YX 1 的概率密度 fY 2 4 1 F 解 1 的分布函数为 当 时 Y 2yXPyYFY 0 0 yFY 当 时 0 yf1 y 4312 0 yyXPyPY 当 时 83 yfY 1 412 0 yyXPPyFY 当 时 故 的概率密度 81 yfY Y 0 fY 0418 3 otherwisyyfY 2 4 21 4 21 XPYF 41 21 XP 72 07 4 分 设随机变量 服从二维正态分布 且 与 不相关 YXY xfX 分别表示 的概率密度 则在 的条件下 的条件概率密度 yfYXYyY X 为 xX A f B yY C xfX D yfY 解 选 A 73 07 11 分 设二维随机变量 的概率密度为 YX 0102 otherwisyxyyxf 求 1 2 的概率密度 YXP YZ zfZ 解 1 247 85 2 10012 dxdyxdxyfyx 2 zfzfZ 其中 otherwisxzxxzxfZ 010 2 tiz 1 当 或 时 当 时 当0 z2 0 zfZ 2 0zdxzzfZ 时 即1 2 1zdxz 021 2otherwiszfZ 第三章 随机变量的数字特征 1 随机变量 X 的分布列为 X 1 0 1 212 P 36214 求 E X E X 1 E X 2 解 111136243 0E 1123626243 0 或者 123EX2222 35111136624 X 2 一批零件中有 9 件合格品与三件废品 安装机器时从这批零件中任取一件 如果取出 的废品不再放回 求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为 X X 的取值为 0 1 2 3 Ak 表示取出废品数为 k 的事件 则有 13920 236 0 kkCPAEXPA 3 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 1 0 1 E X 0 1 E X 2 0 9 求 P X 1 P X 0 P X 1 解 根据题意得 2222 1 0 1109EPPXX 可以解得 P X 1 0 4 P X 1 0 5 P X 0 1 P X 1 P X 1 1 0 4 0 5 0 1 4 设随机变量 X 的密度函数为 2 xf 其 他 求 E X 解 由题意 101 2 3EXxfdxd 5 设随机变量 X 的密度函数为 0 xef 求 E 2X E 2xe 解 0 2xEXfded 0 02 2xxxe 2300 1 Xxxfede 6 对球的直径作近似测量 其值均匀分布在区间 a b 上 求球的体积的数学期望 解 由题意 球的直接 D U a b 球的体积 V 342D 因此 341 baxEVfxdda 420 2 b 7 设随机变量 X Y 的密度函数分别为 2 0 xXef 4 yYf 求 E X Y E 2X 3Y 2 解 EXYE 2400 134XYxyfdfdee 2222400 3 3 3518XYxyEXYEfdfdee 8 设随机函数 X 和 Y 相互独立 其密度函数为 2 1 Xxf 其 他5 yYef 求 E XY 解 由于 XY 相互独立 因此有 12 5 05 5 5 32025 1 6 433XYyyyyEXYxfdfyxdee 9 设随机函数 X 的密度为 21 fxx 求 E X D X 解 12 0 xEXxfdd 211222012 2001 arcsin 42xf dxxd 221 DXEX 10 设随机函数 X 服从瑞利 Rayleigh 分布 其密度函数为 2 0 xefx 其中 0 是常数 求 E X D X 解 2 200 x xEXxfdede 2222 0 xxuuxed 222222 32002220 0 x xx x xxuuuEXfedeedde 22 2 DXEX 11 抛掷 12 颗骰子 求出现的点数之和的数学期望与方差 解 掷 1 颗骰子 点数的期望和方差分别为 E X 1 2 3 4 5 6 6 7 2 E X2 12 22 32 42 52 62 6 91 6 因此 D X E X2 E X 2 35 12 掷 12 颗骰子 每一颗骰子都是相互独立的 因此有 E X1 X2 X12 12E X 42 D X1 X2 X12 D X1 D X2 D X12 12D X 35 12 将 n 只球 1 n 号 随机地放进 n 只盒子 1 n 号 中去 一只盒子装一只球 将一 只球装入与球同号码的盒子中 称为一个配对 记 X 为配对的个数 求 E X D X 解 1 直接求 X 的分布律有些困难 我们引进新的随机变量 Xk 则有 0kk 第 只 球 装 入 第 号 盒 子第 只 球 没 装 入 第 号 盒 子 X k 服 0 1 分布1 nk 因此 11 0 kPpPXpnn 11 1 kknnkkEDXEn 2 服从 0 1 分布 则有kj 11 jkj kjnnPX 1nkDX 1222 1 11 1n kjkkjkjkjkkjkj nCovXEEXnCn 故 E X D X 1 我们知道 泊松分布具有期望与方差相等的性质 可以认定 X 服从参数为 1 的泊松 分布 13 在长为 l 的线段上任意选取两点 求两点间距离的数学期望及方差 解 设所取的两点为 X Y 则 X Y 为独立同分布的随机变量 其密度函数为 11 00 XYxxffyllotherother 2 0 Y yfxyfltr 依题意有 EXxyfdxy 220011lxlxydll 2220011l lxxdd 3 32206lll 6 22 EXYxyfdxy 201lxydl 2232010ll ylxydx 23322