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2014年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海 数学模拟试卷（理工农医类）考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为 第6题图2. 设的终边在第 象限3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 4. 若抛物线上一点到焦点和轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为 5. 在的二项展开式中，第四项与第六项的系数相等，则 6. 如图，函数，若输入的值为 3，则输出的的值为 7. 数列的通项公式，其前项和为，则= 8. 已知点,是曲线上任意一点，则的面积的最小值等于 第11题图9. 将双曲线绕原点逆时针旋转后可得到双曲线据此类推可求得双曲线的焦距为 10. 给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，当=_时，取得最大值 11. 如图为函数的部分图象，点为函数在轴右侧的第一个零点，点在函数图象上，它的纵坐标为1，直线的倾斜角等于 12. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 13. 如图，矩形内放置个大小相同且边长为的正方形，其中、都在矩形的边上，则第14题图第13题图14. 如图所示，圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，为母线的中点，过直线作平面面，设与圆锥侧面的交线为椭圆，则椭圆的短半轴为二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 用反证法证明命题“已知是空间中的四点，直线与是异面直线，则直线与也是异面直线”应假设 答 (A) 直线与是平行直线 (B) 直线与是平行直线 (C) 直线与是共面直线 (D) 直线与是共面直线第16题图16. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分值）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则 答 (A) (B) (C) (D) 17. 设均为正数，则函数的两个零点分别位于区间 答 (A) 内 (B) 内(C) 内 (D) 内第18题图18. 如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”已知曲线（其中是自然对数的底数），为坐标原点，则曲线的相对于点的“确界角”为 答 (A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）第1小题满分5分，第2小题满分7分第19题图如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，、是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于， 四边形是正方形(1) 求证；(2) 求四棱锥的体积20. （本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分第20题图如图所示，把一些长度均为4米（米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”与三角形的底边长和底边上的高度有关，设为，边上的高为，则，若越大，则“舒适感”越好(1) 求“舒适感”的取值范围；(2) 已知是线段的中点，在线段上，设，当人在帐蓬里的“舒适感”达到最大值时，求关于自变量的函数解析式；并求出的最大值（请详细说明理由）21. （本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分第21题图如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为求：(1) 及与的关系式；(2) 数列的通项公式，并证明：22. （本题满分16分）第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分第22题图如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”夹在之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段(1) 若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为，求椭圆段的方程；(2) 在(1)的条件下，已知为过的一条直线, 与“椭圆帽”的两个交点为，若，求直线的方程；(3) 在(1)的条件下，如图所示已知为过的一条直线, 与“椭圆帽”的两个交点为，为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足，求的取值范围23. （本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分在平面直角坐标系中，对于一条折线: ,若能再作出一条折线，使得,，（其中，都是整点），则称折线是折线的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）(1) 请分别判断图1，2中，虚折线是否是实折线的一条共轭折线；y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(1) (2)y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(2) 试判断命题“对任意的且，总存在一条折线：有共轭折线”的真假，并举例说明；O备用图(3) 如图，折线: ,其中， . 求证：折线无共轭折线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 321
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