向量培优试题.doc

高二数学培优讲义-向量专题考点一、向量的基本定理的应用例1、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则（ ） AB. C. D. 变式：1、是梯形，且，分别是和的中点，设，试用表示和。2、已知分别是的边上的中线,且,则为（ ） A. B. C. D. ACBO3、如图，已知的夹角为1200，的夹角为300，用.提高：1、已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，若，则=（A） （B） （C） （D）2、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.ABOM图13、如图1：OMAB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是AB. C. D. AOMPB图24、如图2,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 . 5、已知在中，的平分线AD交边BC于点D，且，则AD的长为（A） （B） （C）1 （D）3考点二、向量的数量积运算及其应用1、已知平面向量满足，且与的夹角为120，则的取值范围是_ .2、设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D) 3、若，恒成立，则ABC的形状一定是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形D不能确定4、已知，是两个相互垂直的单位向量，而，。则对于任意实数，的最小值是（ ）（A） 5 （B）7 （C） 12 （D）135、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A1，A2，A3，A4，A5，A6六个点则 考点三：平面向量中的新定义1、在平面斜坐标中，斜坐标定义为（其中分别为斜坐标系的x轴,y轴的单位向量），则点P的坐标为。若且动点满足,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为 2、定义域为a,b的函数图像的两个端点为A、B，M（x,y）是图象上任意一点，其中,已知向量，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”。若函数在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为ABCD考点四：与三角形“四心”相关的向量问题例题1、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心2、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心3、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心4、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( )A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点5、已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心6、已知O是ABC所在平面上的一点，若(其中P是ABC所在平面内任意一点)，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心7、ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, ABC的外接圆的圆心为O，若，求实数的值.练习：1、OAB中，=，=，=，若=，tR，则点P在（ ）A、AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上2、已知是内的一点，若，则是的 心.3、P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心4、已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 考点五、与三角形面积相关的向量问题例题：在中，设向量，求证：的面积为；如果，用表示S。1、已知点O是ABC内一点，= 0, 则：(1) AOB与AOC的面积之比为_；(2) ABC与AOC的面积之比为_；(3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_.2、已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）（1）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值考点六、判断三角形的形状1、已知a, b, c分别为ABC中A, B, C的对边，G为ABC的重心，且= 0, 则ABC为( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形2、已知O为ABC所在平面内一点，满足，则ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形3、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形4、在ABC中，若则ABC是（ ）A等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形考点七、向量在平面几何中的应用如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.例、已知试求的最小值。变式：1、已知求证：2、设为不相等的正数，求证：