反函数·例题解析

2 4 反函数 例题解析 例 1 求下列函数的反函数 y x 23 0 512 3 0 4yx 1 2 解 yy 2y3 x5x x 由 得 所 求 反 函 数 为 51323y 解 2 y x 1 2 2 x 0 其值域为 y 2 由 得 即 反 函 数 为 1 0 11f x2 y 2解 3 yx 0yf x 0 x1 1 它 的 值 域 为 由 得 反 函 数 为 2y 解 4 y0f x1 12由 得 值 域 反 函 数 由 得 值 域 反 函 数 故 所 求 反 函 数 为 yf x 1x0 0 122 例 2 求出下列函数的反函数 并画出原函数和其反函数的图像 1 y1 2 y3x2 0 x 解 1 已知函数的定义域是 x 1 值域为 y 1 由 得 反 函 数 函 数 与 它 的 反 函 数 的 图 像 如 图 所 示 2412 解 2 由 y 3x 2 2 x 0 得值域 y 2 反 函 数 f x x 1 3 它们的图像如图 2 4 2 所示 例 3 已 知 函 数 f x a 3113 1 求它的反函数 2 求使 f 1 x f x 的实数 a 的值 解 1 yxxa3 1ay3设 这 里 若 则 这 与 已 知 矛 盾 即 反 函 数 xf x 1313 y 2 f x1若 即 对 定 义 域 内 一 切 的 值 恒 成 立 3a 令 x 0 a 3 或解 由 f x f 1 x 那么函数 f x 与 f 1 x 的定义域和值域相同 定义 域是 x x a x R 值域 y y y 3 y R a 3 即 a 3 例 4 已 知 函 数 中 均 不 为 零 f x bcdcd 试求 a b c d 满足什么条件时 它的反函数仍是自身 解 f x ca0f x x1 常 数 函 数 没 有 反 函 数 又 要 使 对 定 义 域 内 一 切 值 恒 成 立 adbcadbx 令 x 0 得 a d 即 a d 0 事实上 当 a d 0 时 必有 f 1 x f x 因此所求的条件是 bc ad 0 且 a d 0 例 5 设点 M 1 2 既在函数 f x ax 2 b x 0 的图像上 又在它的 反函数图像上 1 求 f 1 x 2 证明 f 1 x 在其定义域内是减函数 解证 1 2ab 4a f x x0 yx 0 f 22 1由 得 由 得 反 函 数 137373设 即 故 在 上 是 减 函 数 x73xf f f 121211732 例 6 解 法 一 若 函 数 求 的 值 先 求 函 数 的 反 函 数 于 是 f x f 2 f xf2532 11211 解法 二 由函数 y f x 与其反函数 y f 1 x 之间的一一对应关系 求 的 值 就 是 求 时 对 应 的 的 值 令 得 即 f 2 x 2x2x53f5311 x1 例 7 已 知 且 设 函 数 且 证 明 的 图 像 关 于 直 线 对 称 a0a1f x yf x yxRRa 1证 ya01 a 1a1ya1由 得 如 果 则 得 这 与 已 知 矛 盾 x 故 即 证 得 的 反 函 数 就 是 它 本 身 ay10f x f x ay 因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线 y x 对称 函数 y f x 的图像关于直线 y x 对称