北师版九年级上册图形的相似教案导学案

1 34 第一章 图形的相似 第一节 成比例线段 学习目标 1 认识形状相同的图形 2 结合实例能识别出现实生活中形状相同 大小 位置不同的图形 3 了解线段的比和比例线段的概念 掌握两条线段的比的求法 4 理解并掌握比例的基本性质 能通过比例形式变形解决一些实际问题 相关知识链接 1 全等的图形 能够完全 的两个图形叫做全等图形 2 分式的基本性质 分式的分子与分母 乘 或除 以 的整式 分式的值不 变 学习引入 一 观察图片 体会相似图形 1 同学们 请观察下列几幅图片 你能发现些什么 你能对观察到的图片特点进行归纳吗 2 小组讨论 交流 得到相似图形的概念 什么是相似图形 3 思考 如图 27 1 3 是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像 它们相似吗 2 归纳总结 知识点 1 相似的图形 一般而言 形状相同 大小 位置不一定相同的图形就是相似图形 但是全等图形也是 相似图形 注意 形状相同的图形的对应线段的条数相同 对应线段长的比值相等 因此可以看做 的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个 知识点 2 两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么这两条线段的 2 34 比就是它们的长度之比 即 AB CD m n 或写成 其中 线段 AB CD 分别叫做这个nmCDAB 线段比的前项和后项 如果把 表示成比值 k 那么 或者 AB k CD nmk 注意 1 求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一 当长度单位不统一时 要先 化成同一单位长度 2 两条线段的比是一个没有单位的正实数 与所选线段的单位无关 只要选取相同 的长度单位即可 知识点 3 成比例线段 对于四条线段 a b c d 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 那么这四条线dcba 段是成比例线段 简称比例线段 注意 1 如果 那么 b 叫做 a 和 c 的比例中项 cba 2 在比例式 a b c d 中 d 叫做 a b c 的第四比例项 3 成比例线段是有顺序的 即 a b c d 是成比例线段 则是 a b c d 知识点 4 比例的性质 1 比例的基本性质 如果 那么 ad bc dcba 如果 ad bc a b c d 都不等于 0 那么 dcba 2 等比性质 如果 那么 nnmcba nm 例题解析 例 1 观察下列图形 指出 是相似图形 例 2 线段 AB 被点 M 分成 则 32 BA AMB 例 3 如果 的 值 求 xyx 54 3 34 例 4 如图所示 且EFBAD AB 10cm AD 2cm BC 7 2cm E 是 BC 的中点 求 EF BF 的长 例 5 已知 0 2 fdbfedcba且 1 求 的值 2 若 a 2c 3e 5 求 b 2d 3f 的值 f 综合练习 1 1 2 3 4 在上述各种符号中 形状相同的符号有几组 A 一组 B 二组 C 三组 D 四组 2 下面各组中的两个图形 是形状相同的图形 是形状不同的图形 3 矩形 ABCD 中 AB CD 8 AD BC 6 矩形 EFGH 中 EF GH 3 EH FG 4 这两个矩形 4 ABC 的三条边之比为 2 5 6 与其相似的另一个 A B C 最大边长为 18cm 则另两边长的和为 4 34 5 两个相似三角形的一对对应边长分别为 20cm 25cm 它们的周长差为 63cm 则这两个三 角形的周长分别是 6 ABC 与 DEF 中 A 65 B 42 D 65 F 73 AB 3 AC 5 BC 6 DE 6 DF 10 EF 12 则 DEF 与 ABC 7 下列所给的条件中 能确定相似的有 1 两个半径不相等的圆 2 所有的正方形 3 所有的等腰三角形 4 所有的等 边三角形 5 所有的等腰梯形 6 所有的正六边形 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 8 把 mn pq mn 0 写成比例式 写错的是 A B C D mqpn pnq nmp pq 8 在一张比例尺为 1 15000 的平面图上 一块多边形地区的其中一边长为 5cm 那么这块 地区实际上和这一边相对应的长度应为 A 750cm B 75000cm C 3000cm D 300cm 9 下列说法中 正确的是 A 正方形与矩形的形状一定相同 B 两个直角三角形的形状一定相同 C 形状相同的两个图形的面积一定相等 D 两个等腰直角三角形的形状一定相同 10 经历平移 旋转 轴对称变化前后的两个图形 A 形状大小都一样 B 形状一样 大小不一样 C 形状不一样 大小一样 D 形状大小都不一样 11 在平面坐标系中 一个图形各点的横坐标 纵坐标都加上或减去同一个非零数 得到一 组新的对应用点 则连接所得到点的图形与原图形形状 A 不能够互相重合 B 形状相同 大小也一定相同 C 形状不一样 D 形状相同 大小不一定相同 12 如图 四边形 ABCD 和 EFGH 相似 求角 的大小和 EH 的长度 x 13 已知四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似 且 A1B1 B1C1 C1D1 D1A1 7 8 11 14 若四边形 ABCD 的周长 为 40 求四边形 ABCD 的各边的长 5 34 第 2 节 平行线分线段成比例 学习目标 1 探索理解平行线分线段成比例定理及其推论 2 会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度 相关知识链接 1 成比例线段 2 若 3x 5y 则 x y 若 x y 7 2 则 x x y 学习引入 一 如图 任意画两条直线 l1 l2 再画三条与 l1 l2 相交的 平行线 l3 l4 l5 分别量度 l3 l4 l5 在 l1 上截得的两条线段 AB BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE EF 的长度 AB BC 与 DE EF 相 等吗 任意平移 l5 再量度 AB BC DE EF 的长度 AB BC 与 DE EF 相等吗 二 问题 AB AC DE BC AC DF 三 归纳总结 知识点 1 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截 所得到的对应线段成比例 知识点 2 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其它两边相交 截得的对应线段成比例 例题解析 例 1 如图所示 直线 l1 l 2 l 3 AB 3 DE 2 EF 4 求 BC 的 长 例 2 如图所示 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 边上 DE BC 6 34 若 AD AB 3 4 AE 6 则 AC 等于 例 3 如图所示 在 ABC 中 AD 平分 BAC 求证 ACBD 经典练习 1 如图 已知直线 a b c 直线 m n 与直线 a b c 分别交于点 A C E B D F AC 4 CE 6 BD 3 则 BF A 7 B 7 5 C 8 D 8 5 2 如图 点 F 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上一点 直线 BF 交 AD 的延长线与点 E 则下列 结论错误的是 A B C D 3 如图所示 ABC 中 DE BC AD 5 BD 10 AE 3 则 CE 的值为 A 9 B 6 C 3 D 4 4 如图所示 DE BC DF AC AD 4cm BD 8cm DE 5cm 求线段 BF 的长 5 如图 设 M N 分别是直角梯形 ABCD 两腰 AD CB 的中点 DE 上 AB 于点 E 将 ADE 沿 DE 翻折 M 与 N 恰好重合 则 AE BE 等于 A 2 1 B 1 C 3 2 D 2 3 6 如图 已知 AB CD EF 那么下列结论正确的是 A B C D 7 如图 直线 l1 l 2 l 3 另两条直线分别交 l1 l 2 l 3于点 A B C 及点 D E F 且 7 34 AB 3 DE 4 EF 2 则 A BC DE 1 2 B BC DE 2 3 C BC DE 8 D BC DE 6 8 如图 直线 AB CD EF 若 AC 3 CE 4 则 的值是 BF 9 如图 已知 ABC 中 DE BC AD 3 DB 6 AE 2 则 EC 10 如图所示 一条河的两岸有一段是平行的 在河的南岸边每隔 5 米有一棵树 在北岸边 每隔 50 米有一根电线杆 小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸 发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住 并且在这两棵树之间还有三棵树 则河宽为 米 11 如图 梯形 ABCD 中 则 EFBC32 GADF 12 如图所示 设 M 是 ABC 的重心 过 M 的直线分别交边 AB AC 于 P Q 两点 且 m n 则 PBAQCn1m 13 如图 AB CD AD CE F G 分别是 AC 和 FD 的中点 过 G 的直 线依次交 AB AD CD CE 于点 M N P Q 求证 MN PQ 2PN 14 已知 平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O 点 P 是直线 BD 上任意一点 异于 B O D 三点 过 P 点作平行于 AC 的直线 交直线 AD 于 E 交直线 AB 于 F 若点 P 在线段 BD 上 如图所示 试说明 AC PE PF 8 34 第三节 相似多边形 学习目标 1 了解相似多边形和相似比的概念 2 能根据条件判断出两个多边形是否为相似 3 掌握相似多边形的性质 能根据相似比进行简单的计算 相关知识链接 1 相似图形 相同 但是 不一定 的图形 2 多边形 由若干条 的线段 组成的封闭平面图形 学习引入 一 在相似多边形中 最简单的就是相似三角形 在 ABC 与 A B C 中 如果 A A B B C C 且 我们就说 ABC 与 A B C 相似 记作 ABC kACB A B C k 就是它们的相似比 反之如果 ABC A B C 则有 A A B B C C 且 二 问题 如果 k 1 这两个三角形有怎样的关系 9 34 三 归纳总结 知识点 1 各角分别相等 各边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比 知识点 2 相似多边形的性质 对应角相等 对应边成比例 相似多边形的判定 边数相等 对应角相等 对应边成比例 判断两个多边形相似 这三个条件缺一不可 例题解析 例 1 下列判断中正确的是 A 两个矩形一定相似 B 两个平行四边形一定相似 C 两个正方形一定相似 D 两个菱形一定相似 例 2 如图 ABC DCA AD BC B DCA 1 写出对应边的比例式 2 写出所有相等的角 3 若 AB 10 BC 12 CA 6 求 AD DC 的长 例 3 某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务 已知这种矩形钢板在图纸上 比例尺 1 400 的长和宽分别为 3cm 和 2cm 该厂所用原料是边长为 4m 的正方形钢板 那么焊制一 块这样的矩形钢板要用几块边长为 4m 的正方形钢板才行 例 4 如图所示 把一个矩形分割成四个全等的小矩形 要使小矩形与原矩形相似 则原矩 形的长和宽之比为 A 2 1 B 4 1 C D 1 21 2 经典练习 1 下列各组图形中 肯定相似的是 A 两个腰长不相等的等腰三角形 B 两个半径不相等的圆 C 两个面积不相等的平行四边形 10 34 D 两个面积不相等的菱形 2 两个相似多边形边长的比为 3 它们的周长差为 4cm 则较大多边形的周长是 2 A 8cm B 12cm C 20cm D 24cm 3 已知平行四边形 与平行四边形 相似 对应边 若平行四边ABCDDCBA 3 4 BA 形 的面积为 18 则平行四边形 的面积为 BC A B C D 2781243 4 如图 正五边形 与正五边形 是相似形 若 则下列结论正EFGHMN3 2 FG 确的是 A B C D MNDE32 MNDE23 FA 23FA 3 5 如图 在梯形 将梯形 分成两个相似梯形 和梯ABCFBCBCDED 形 若 求 的值 BF4 6 一个五边形的各边长为 另一个与它形似的五边形的最长边的长为 12 则最短边 6543 2 的长为 A 4 B 5 C 6 D 8 7 在梯形 ABCD 中 AD 平行于 BC AC BD 交于点 O S AOD S COB 1 9 则 S DOC S BOC 8 在比例尺为 的地图上 A B 两城的距离为 7 2 则 A B 两城的实际距离是10 cm km 9 四边形 ABCD 四边形 与 是对应对角线 若 则DCBA CA 2 3 BA DCBABCD 四 边 形四 边 形 DBABCS 四 边 形四 边 形 10 在平行四边形 ABCD 中 AB 6 AD 4 EF AD 若 ABCD EFDA 求 AE 的长 F G B H M N D A B C E A B C D E F 11 34 11 如图所示 已知矩形 ABCD 中 AB 1 在 BC 上取一点 E 沿 AE 将 ABE 向上折叠 使 B 点落在 AD 上的 F 点处 若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似 则 AD 第四节 相似三角形的判定 学习目标 1 理解相似三角形的定义 2 熟练掌握三角形相似的判定方法 并能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似 3 能运用三角形相似的判定方法进行有关的计算和证明 4 理解黄金分割的概念 5 能做出线段黄金分割点 并会求满足黄金分割的线段的长 体会黄金分割的美 相关知识链接 1 全等三角形的判定条件 2 相似多边形 各角 各边 的两个多边形叫做相似多边形 3 线段的比 如果选用 量的两条线段 AB CD 的长度分别的 m n 那么就说两 条线段 AB CD m n 学习过程 一 讨论 什么是相似三角形 知识点 1 相似三角形 三角分别相等 三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 如图所示 ABC 与 相似 记做 ABC CBA 其中 k 为相似比 CBA k 注意 1 对应性 两个三角形相似时通常把表示对应顶点 的字母写在对应的位置上 这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 2 顺序性 相似三角形的相似比是有顺序的 如 ABC 它们的相似 CBA 12 34 比为 k 则 如果写成 ABC 它们的相似比为 则 CAB CBA k 因此CAB k1 3 传递性 若 ABC 则 ABC 二 探索 如何判断两个三角形相似 知识点 2 相似三角形的判定方法 1 两角分别相等的两个三角形相似 即 已知 ABC 和 若 A A B B 则 ABC CBA CBA 注意 1 在两个三角形中 只需找到有两组角分别相等 就可以判定两个三角形相似 2 这种方法说明我们不用边就可以判定两个三角形相似 相似三角形常见构图方式 1 平行线型 若 DE BC 则 ABCDE 2 相交线型 若 AED B 则 ABCED 3 子母 型 若 ACD B 则 ABCD 知识点 3 相似三角形的判定方法 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 即 已知 ABC 和 若 A A 则 ABC CBA CA CBA 13 34 注意 通过此法判定三角形相似类似于判定三角形全等中的 SAS 知识点 4 相似三角形的判定方法 3 三边成比例的两个三角形相似 即 已知 ABC 和 若 则 ABC CBA CAB CBA 知识点 5 黄金分割 如图所示 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 若 那么就称线段 AB 被点 C 黄 金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金 比 记忆口诀 大 全 小 大 注意 1 由黄金分割的意义可知 BCA 2 2 黄金比 618 0 5 ACB 3 线段 AB 有两个黄金分割点 其中一个点 D 靠近 A 点 有 另一点215 B 靠近点 B 有 并且 AD BC AC BD 215 A 例题解析 例 1 依据下列条件判断三角形是否相似 若相似请给出证明 若不相似请说明理由 1 ABC 和 中 A 40 AB 8 AC 15 A 40 A B 16 A C C 30 则 ABC 和 是否相似 B 2 ABC 和 中 B 50 AB 4 AC 3 2 B 50 A B 2 A C A 1 6 则 ABC 和 是否相似 3 如图所示 已知 AC 和 BD 相交于点 E CE AE BE DE 则 ABE 与 DCE 是否相似 4 如图所示 D 是 ABC 的边 BC 上的一点 AB 2 BD 1 DC 3 ABD 与 CBA 是否相似 14 34 例 2 已知在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上一点 且 BP 3PC Q 是 CD 的中点 求证 ADQ QCP 例 3 已知 DE BC DF AC AD 4 BD 8 DE 5 求线段 BF 的长 例 4 ABC 是等边三角形 CE 是外角平分线 点 D 在 AC 上 连接 BD 并延长与 CE 交于点 E 1 求证 ABD CED 2 若 AB 6 AD 2CD 求 BE 的长 例 5 已知在 ABC 中 点 D E F 分别是边 AB AC BC 上的点 DE BC EF AB 且 AD DB 3 5 那么 CF CB 等于 例 6 ABC 为等边三角形 D E 分别是 AC BC 上的点 不与顶点重合 BDE 60 1 求 证 DEC BDA 2 若等边三角形的边长为 4 并设 DC x BE y 试求 y 与 x 之间的函数关系式 15 34 例 6 在 ABC 中 AC 8cm BC 16cm 点 P 从点 A 出发 沿着 AC 边向点 C 以 1cm s 的速度 运动 点 Q 从点 C 出发 沿着 CB 边向点 B 以 2cm s 的速度运动 如果 P 与 Q 同时出发 那 么经过几秒 PQC 与 ABC 相似 经典练习 1 如图 1 1 若 则 OAC OBD A OBA 2 若 B 则 OAC OBD 与 是对应边 3 请你再写一个条件 使 OAC OBD 2 如图 2 若 BEF CDF 则 1 2 3 3 如图 3 已知 A 3 0 B 0 6 且 ACO BAO 则点 C 的坐标为 AC 4 已知 如图 4 ABC 中 DE BC DF AC 则图中共有 对相似三角形 5 下列各组图形一定相似的是 A 有一个角相等的等腰三角形 B 有一个角相等的直角三角形 C 有一个角是 100 的等腰三角形 D 有一个角是对顶角的两个三角形 6 如图 5 AB BC CD DE B 90 则 1 2 3 等于 A 45 B 60 C 75 D 90 16 34 4 5 6 7 如图 6 若 ACD B 则 对应边的比例式为 ADC 8 如图 在 ABC 中 CD AE 是三角形的两条高 写出图中所有相似的三角形 简要说明 理由 9 如图 D E 是 AB 边上的三等分点 F G 是 AC 边上的三等分点 写出图中的相似三角 形 并求出对应的相似比 10 如图 在直角坐标系中 已知点 A 2 0 B 0 4 在坐标轴上找到点 C 1 0 和点 D 使 AOB 与 DOC 相似 求出 D 点的坐标 并说明理由 11 如图 四边形 ABCD 是平行四边形 点 F 在 BA 的延长线上 连接 CF 交 AD 于点 E 1 求证 CDE FAE 2 当 E 是 AD 的中点且 BC 2CD 时 求证 F BCF 12 如图 等腰直角三角形 ABC 中 顶点为 C MCN 45 试说明 BCM ANC 13 在 ABCD 中 M N 为对角线 BD 的三等分点 连接 AM 交 BC 于 E 连A 17 34 接 EN 并延长交 AD 于 F 1 试说明 AMD EMB 2 求 的值 FNE 14 如图 在 ABC 中 AB AC A 36 BD 平分 ABC DE BC 那么在下列三角形中 与 ABC 相似的三角形是 A DBE B ADE C ABD D BDC 15 如第 14 题图 已知等腰三角形 ABC 中 顶角 A 36 BD 平分 ABC 则 的值 ADC 为 A B 125151 22CD 16 如图 ABC 和 DEF 均为正三角形 D E 分别在 AB BC 上 请找出一个与 DBE 相似 的三角形并证明 第 5 节 利用相似三角形测高 学习目标 1 掌握几种测量旗杆高度的方法与原理 解决一些相关的生活实际问题 2 通过设计测量旗杆高度的方案 学会将实物图形抽象成几何图形的方法 体会将实际问 题转化成数学模型的转化思想 相关知识链接 1 相似三角形的定义 三角 相等 三边 的两个三角形叫做相似三角形 2 三角形相似的判定 学习引入 一 探索 问题 1 学校操场上的国旗旗杆的高度是多少 你有什么办法测量 18 34 问题 2 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家 叫什么金字塔 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔 被喻为 世界古代七大奇观之一 塔的 个斜面正对东南西北四个方向 塔基呈正方形 每边长约 230 多米 据考证 为建成大金 字塔 共动用了 10 万人花了 20 年时间 原高 146 59 米 但由于经过几千年的风吹雨打 顶端被风化吹蚀 所以高度有所降低 在古希腊 有一位伟大的科学家叫泰勒斯 一天 希腊国王阿马西斯对他说 听说你 什么都知道 那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧 这在当时条件下是个大难题 因 为是很难爬到塔顶的 你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗 二 学生讨论 三 总结归纳 知识点 1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度 让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端 然后一部分同学测量该同学的影长 另一部分同 学测量同一时刻旗杆的影长 原理 太阳是平行光线 AB CD B DCE ACB DEC 90 ACB DEC BCEADEAC 即 结论 同一时刻 参 照 物 体 影 子 的 长 度参 照 物 体 高 度被 测 物 体 影 子 长 度被 测 物 体 实 际 高 度 据史料记载 古希腊数学家 天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理 在金字塔影 子的顶部立一根木杆 借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度 如图 如果木杆 EF 长 2 m 它的影长 FD 为 3 m 测得 OA 为 201 m 求金字塔的高度 BO 分析 根据太阳光的光线是互相平行的特点 可知在同一时刻的阳光下 竖直的两个 物体的影子互相平行 从而构造相似三角形 再利用相似三角形的判定和性质 根据已知条 件 求出金字塔的高度 解 知识点 2 利用标杆测量旗杆的高度 工具 皮尺 标杆 步骤 1 测量出标杆 CD 的长度 测出观测者眼部以下高度 EF 2 让标杆竖直立于地面 调整观测者 EF 的位置 当旗杆顶部 标杆顶端 观 19 34 测者的眼睛三者在同一条直线上 测出观测者距标杆底端的距离 FD 和距旗杆底部的距离 FB 3 根据 求得 AH 的长 再加上 EF 的长即为旗杆 AB 的高度 EHGAC 依据 如图 过点 E 作 EH AB 于点 H 交 CD 于点 G CD AB ECG EAH CEG AEH ECG EAH AD EG FD EH FB CG CD GD CD EF 且 FD FB CD EF 可测 可求 AH 的长度 AB AH HB AH EF 知识点 2 利用镜子的反射杆测量旗杆的高度 工具 皮尺 镜子 步骤 1 在观测者与旗杆之间放一面镜子 在镜子上做一个标记 2 测出观测者眼睛到地面的距离 3 观测者看着镜子来回移动 直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记 重合 此时测出镜子上标记 O 到人脚底 D 的距离 OD 及镜子上的标记 O 到旗杆底部的距离 OB 4 把测得的数据代入 即可求得旗杆的高度BAC AB 依据 在 COD 与 AOB 中 COD AOB CDO ABO 90 COD AOB OBDA CD OD OB 皆可测得 AB 可求 例题解析 例 1 如图所示 从点 A 0 2 发出的一束光 经 x 轴反射 过点 B 4 3 则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 例 2 王华在晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处 测得影子 CD 的长为 1m 继续往前走 3m 到达 E 处时 测得影子 EF 的长为 2m 已知王华的身高是 1 5m 那么路灯 A 的高度 AB 等于 A B 20 34 例 3 学校的围墙外的服装厂有一旗杆 AB 甲在操场上直立 3m 高的竹竿 CD 乙从 C 处退 到 E 处恰好看到竹竿顶端 D 与旗杆顶部 B 重合 量的 CE 3m 乙的眼睛到地面距离为 1 5m 丙在 C1 处直立 3m 高的竹竿 C1D1 乙从 E 处退后 6m 到 E1 处 恰好看到竹竿顶端 D1 与旗杆顶端 B 也重合 量的 C1E1 4m 求旗杆 AB 的高度 例 4 如图 一圆柱形油桶 高 1 5 米 用一根长 2 米的木棒从桶盖小口 A 处斜插桶内另一端 的 B 处 抽出木棒后 量得上面没浸油的部分为 1 2 米 求桶内油面的高度 经典练习 1 在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是 A 成反比例 B 成正比例 C 相等 D 不成比例 2 如图 DE EB AB EB DCE ACB DE 12 m EC 15 m BC 30 m 则 AB m 3 如图 大正方形中有 2 个小正方形 如果它们的面积分别是 S1 S2 那么 S1 S2的大 小关系是 A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D S1 S2 的大小关系不确定 4 某一时刻 测得旗杆的影长为 8 m 李明测得小芳的影长为 1 m 已知小芳的身高为 1 5 m 则 旗杆的高度是 m 21 34 5 如图 铁道口的栏杆短臂长 1m 长臂长 16m 当短臂端点下降 0 5m 时 长臂端点升高 m 杆的宽度忽略不计 第 2 题 第 3 题 第 5 题 6 如图所示是用杠杆撬石头的示意图 C 是支点 当用力压杠杆的 A 端时 杠杆绕 C 点转动 另 一端 B 向上翘起 石头就会被撬动 现有一块石头 要使其滚动 杠杆的 B 端必须向上翘起 10 cm 已知杠杆的动力 臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 5 1 则要使这块石头滚动 至少要将杠杆的 A 端下压 A 100 cm B 60 cm C 50 cm D 10 cm 7 如图所示 要测量河两岸相对的两点 A B 的距离 先从 B 处出发 与 AB 成 90 角方向 向前走 80 米到 C 处立一标杆 然后方向不变 向 前 走 50 米至 D 处 在 D 处转 90 沿 DE 方向走 30 米 到 E 处 使 A 目标物 C 标杆 与 E 在同一条直线上 那么可测得 A B 间的距离 8 如图 为了测量一棵树 CD 的高度 测量者在 B 点立一高为 2 米的标杆 观测者从 E 处可以 看到杆顶 A 树顶 C 在同一条直线上 若测得 BD 23 6 米 FB 3 2 米 EF 1 6 米 求树高 9 如图 射击瞄准时 要求枪的标尺缺口上沿中央 A 准星尖 B 和瞄准点 C 在 一条直线上 这样 才能命中目标 已知某种冲锋枪基线 AB 长 38 5 cm 如果射击距离 AC 100 m 当准星尖在缺 口内偏差 BB 为 1 mm 时 弹着偏差 CC 是多少 BB CC 22 34 10 如图 AB 是斜靠在墙壁上的长梯 梯脚 B 距墙 80 cm 梯上点 D 距墙 70 cm BD 长 55 cm 求 梯子的长 11 一位同学想利用树影测量树高 AB 他在某一时刻测得小树高为 1 米 树影长 0 9 米 但当 他马上测量树影时 因树靠近建筑物 影子不全落在地上 有一部分落在 墙上 如图 他先测得 地面部分的影子长 2 7 米 又测得墙上的影高 CD 为 1 2 米 试问树有多高 12 如 图 零 件 的 外 径 为 16cm 要 求 它 的 壁 厚 x 需 要 先 求 出 内 径 AB 现 用 一 个 交 叉 钳 AD 与 BC 相 等 去 量 若 测 得 OA OD OB OC 3 1 CD 5cm 你 能 求 零 件 的 壁 厚 x 吗 13 如图 梯形 ABCD 中 AD BC E F 分别在 AB CD 上 且 EF BC EF 分别交 BD AC 于 M N 1 求证 ME NF 2 当 EF 向上平移至 各个位置时 其他条件不变 1 的结论是否还成立 请分别证明你的判断 M M NE M B C F DA NE B C F DA NE B C F DA N ME B C F DA 23 34 第 6 节 相似三角形的性质 学习目标 1 理解并熟练应用相似三角形的性质 2 类比相似三角形的周长比与面积比 猜想相似多边形的周长比与面积比 体验类比思想 相关知识链接 1 相似三角形的定义 三角 相等 三边 的两个三角形叫做相似三角形 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应角 对应边 对应角的平分线 对应边上的中线 对应边上的高 学习过程 24 34 知识点 1 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 相似三角形的对应高之比 对应角平分线之比 对应中线之比都等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的面积比等于相似比的平方 注意 1 相似三角形的面积比等于相似比的平方 在计算时平方切记不可忘 2 性质中的高 中线 角平分线必须是对应边上的 要一一对应 3 面积比是相似比的平方切记不可与等底或等高的两个三角形面积比等于高或底之 比想混淆 知识点 2 相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 相似多边形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 相似多边形对应对角线的比等于相似比 相似多边形被对角线分成的对应三角形相似 其相似比等于相似多边形的相似比 例题解析 例 1 在 ABC 中 已知 DE BC AE 3EC S ABC 48 求 ADE 及四边形 BCED 的面积 例 2 已知甲 乙两个多边形相似 其相似比为 2 5 若多边形甲的周长为 24 则多边形乙 的周长为 若两个多边形的面积之和为 174 则多边形甲的面积为 例 3 路边有两根电线杆相距 4m 分别在高为 3m 的 A 处和 6m 的 C 处用铁丝将两杆固定 求 铁丝 AD 与铁丝 BC 的交点 M 处离地面的高度 25 34 例 4 某生活小区的居民筹集资金 1600 元 计划在一块上 下两底分虽为 10m 20m 的梯形 空地上种植花木 如图所示 AD BC AC 与 BD 相交于 M 1 他们在 AMD 和 BMC 地带上种植太阳花 单价为 8 元 m 2 当 AMD 地带种满花后 共 花了 160 元 请计算种满 BMC 地带所需的费用 2 在 1 的条件下 若其余地带有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择种 单价分别为 12 元 m 2和 10 元 m 2 问应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金 例 5 如图所示 某校计划将一块形状为锐角三角形 ABC 的空地进行生态环境改造 已知 ABC 的边 BC 长 120 米 高 AD 长 80 米 学校计划将它分割成 AHG BHE GFC 和矩形 EFGH 四部分 如图 其中矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上 其中两个顶点 H G 分别在边 AB AC 上 现计划在 AHG 上种草 在 BHE GFC 上都种花 在矩形 EFGH 上兴建喷 泉 当 FG 长为多少米时 种草的面积与种花的面积相等 经典练习 1 如果两个相似三角形对应边的比为 3 5 那么它们的相似比为 周长的比为 面积的比为 2 如果两个相似三角形面积的比为 3 5 那么它们的相似比为 周长的比为 3 连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 面积比等于 4 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm 若较大三角形的周长是 42 cm 面 积是 12 cm2 则较小三角形的周长为 cm 面积为 cm 2 26 34 P A BC D 5 如图 在正方形网格上有 A 1B1C1和 A 2B2C2 这两个三角形相似吗 如果相似 求出 A1B1C1和 A 2B2C2的面积比 6 在 ABC 中 AB AC A 36 B 的平分线交 AC 于 D BCD 且 BC 7 ABC A 1B1C1 AB 4 A 1B1 12 则它们对应边上的高的比是 若 BC 边上的中线为 1 5 则 B1C1上的中线 A1D1 8 如果两个相似三角形的周长为 6cm 和 15cm 那么两个相似三角形的相似比为 9 在 ABC 中 BC 54cm CA 45cm AB 63cm 若另一个与它相似的三角形的最短边长为 15cm 则其周长为 10 在 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高 若 BD 9 DC 12 则 AD BC 11 ABC A 1B1C1 且 ABC 的周长与 A1B1C1 的周长之比为 11 13 又 A1B1 AB 1cm 则 AB cm A 1B1 cm 12 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 BD 分成的两部分面积的比是 1 2 EF 是中位线 则被 EF 分成的两部分面积的比 S 四边形 AEFD S 四边形 BCEF 13 如图 要在底边 BC 160cm 高 AD 120cm 的 ABC 铁皮余料上截取一个矩形 EFGH 使点 H 在 AB 上 点 G 在 AC 上 点 E F 在 BC 上 AD 交 HG 于点 M 此时有 AM AD HG BC 1 设矩形 EFGH 的长 HG y 宽 HE X 确定 y 与 X 的函数关系式 2 当 X 为何值时 矩形 EFGH 的面积 S 最大 A GH CB DE M F 14 如图 ABC 中 AB 6 BC 4 AC 3 点 P 在 BC 上运动 过 P 点作 DPB A PD 交 AB 于 D 设 PB x AD y 1 求 y 关于 x 的函数关系式和 x 的取值范围 2 当 x 取何值时 y 最小 最小值是多少 第 3题 27 34 15 已知 如图 ABC 中 DE BC 1 若 求 的值 求 的值 32ECA CEABCDES 若 求 ADE 的面积 5SB 2 若 过点 E 作 EF AB 交 BC 于 F 求 BFED 的面积 A 3 若 过点 E 作 EF AB 交 BC 于 F 求 BFED 的面积 kEC ABC 第七节 图形的位似 学习目标 1 熟记位似图形的概念及性质 2 知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小 3 会画一个简单图形的位似图形 掌握位似图形坐标的变化规律 相关知识链接 1 相似多边形 的两个多边形叫做相似多边形 2 相似多边形的性质 学习过程 28 34 一 观察下列几幅图片 二 问题 上图几幅图形有什么特征 学生活动 学生通过观察了解到有一类相似图形 除具备相似的所有性质外 还有其 特性 学生自己归纳出位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形 而且是每组对应点 连线相交于一点 对应边互相平行 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中 心 这时的相似比又称为相似比 位似中心可在形上 形 外 形内 每对位似对 应 点 与位似中心共线 不 经 过 位似中心的对应线段 平 行 三 归纳总结 知识点 1 位似多边形的概念 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P P 所在的直线都经过同一点 O 且有 OP k OP k 0 那么这样的两个多边形叫做位似多边形 点 O 叫做位似中心 k 就是 相似比 例如下图 知识点 2 位似多边形的性质 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上 位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上 位似多边形是特殊的相似图形 因此位似图形具有相似图形的一切性质 注意 对某一图形进行放大 或缩小 使得放大 或缩小 前后的两个图形是位似图形 知识点 3 位似多边形的画法 29 34 步骤 1 确定位似中心 2 确定原图形的关键点 通常是多边形的顶点 3 确定相似比 4 找出新图形的对应关键点 5 顺次连接各点 得到放大或缩小的图形 知识点 4 平面直角坐标系中的位似变换 1 位似多边形对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中 将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数 k k 0 所对应的图形与原图形位似 位似中心是坐标原点 它们的相似比是 注意 1 这是以原点为位似中心的位似变换中图形的变化规律 2 当位似图形在原点同侧时 其对应顶点的坐标的比为 k 当位似图形在原点两 侧时 其对应顶点的坐标的比为 k 3 当 k 1 时 图形扩大为原来的 k 倍 当 0 k 1 时 图形缩小为原来的 k 2 位似与平移 轴对称 旋转三种变换的联系与区别 位似 平移 轴对称 旋转都是图形变换的基本形式 它们的本质区别在于 平移 轴对称 旋转三种图形变换都是全等变换 而位似变换是相似 扩大 缩小或不变 变换 3 平移 轴对称 旋转 位似变换的坐标变化规律 1 平移变换 对应点的横 纵坐标加上或减去平移的单位长度 2 轴对称变换 以 x 轴为对称轴 则对应点的横坐标相等 纵坐标互为相反数 以 y 轴为对称轴 则对应点的纵坐标相等 横坐标互为相反数 3 旋转变换 一个图形绕原点旋转 180 则旋转前后两个图形对应点的横 纵 坐标都互为相反数 4 位似变换 当以原点为位似中心时 变换前后两个图形对应点的横 纵坐标之 比的绝对值等于相似比 例题解析 例 1 ABC 与 关于点 O 位似 BO 3 CBA 6 OB 1 若 AC 5 求 的长 2 若 ABC 的面积为 7 求 面积 例 2 把图 1 中的四边形 ABCD 缩小到原来的 21 分析 把原图形缩小到原来的 也就是使新图形上各顶点到位似 中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为 1 2 作法一 1 在四边形 ABCD 外任取一点 O 2 过点 O 分别作射线 OA OB OC OD 3 分别在射线 OA OB OC OD 上取点 A B C D 30 34 使得 21ODCBOA 4 顺次连接 A B B C C D D A 得到所要画的四边形 A B C D 如 图 2 问 此题目还可以如何画出图形 作法二 1 在四边形 ABCD 外任取一点 O 2 过点 O 分别作射线 OA OB OC OD 3 分别在射线 OA OB OC OD 的反向延长线上取点 A B C D 使得 21DCBA 4 顺次连接 A B B C C D D A 得到所要画的 四边形 A B C D 如图 3 作法三 1 在四边形 ABCD 内任取一点 O 2 3 4 例 3 画图 将图中的 ABC 作下列运动 画出相应的图形 1 沿 y 轴正向平移 2 个单位 2 关于 y 轴对称 3 以 B 点为位似中心 放大到 2 倍 经典练习 1 用作位似形的方法 可以将一个图形放大或缩小 位似中心 A 只能选在原图形的外部 B 只能选在原图形的内部 C 只能选在原图形的边上 D 可以选择任意位置 2 已知 E 4 2 F 1 1 以 O 为位似中心 按比例尺 1 2 把 EOF 缩小 31 34 则点 E 的对应点 E 的坐标为 A 2 1 或 2 1 B 8 4 或 8 4 C 2 1 D 8 4 3 如图 DEF 是由 ABC 经过位似变换得到的 点 O 是位似中心 D E F 分别是 OA OB OC 的中点 则 DEF 与 ABC 的面积比是 A 1 2 B 1 4 C 1 5 D 1 6 4 如图 五边形 ABCDE 与五边形 A B C D E 是位似图形 O 为位似中心 OD OD 则 A B AB 为 12 A 2 3 B 3 2 C 1 2 D 2 1 第 3 题图 第 4 题图 5 图中的两个三角形是位似图形 它们的位似中心是 A P B O C M D N 6 如图 以某点为位似中心 将 AOB 进行位似变换得到 CDE 记 AOB 与 CDE 对应边 的比为 k 则位似中心的坐标和 k 的值分别为 A 0 2 B 2 1 C 2 2 D 2 3 7 如图 ABC 中 A B 两个顶点在 x 轴的上方 点 C 的坐标是 1 0 以点 C 为位似 中心 在 x 轴的下方作 ABC 的位似图形 并把 ABC 的边长放大到原来的 2 倍 记所得的像是 A B C 设点 B 的对应点 B 的横坐标是 a 则点 B 的横坐标是 A 12a B 1 2 C 1 a D 1 3 2a 8 关于对位似图形的表述 下列 命题正 确的是 只填序号 相似图形一定是位似图形 位似图形一定是相似图形 位似图形一定有位似中心 如果两个图形是相似图形 且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点 那么 这两 个图形是位似图形 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比 9 已知 ABC 与 DEF 是以原点为位似中心的位似图形 位似比为 则 A 1 1 的对32 应点 D 的坐标为 O P M N A B C E D OB A C D E 32 34 10 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 2 2 B 4 2 C 6 4 以原点 O 为位似中心 将 ABC 缩小 使变 换后得到的 DEF 与 ABC 对应边的比为 1 2 则线段 AC 的中点 P 变换后对应的点的坐 标为 11 如图 已知 OAB 与 OA B 是相似比为 1 2 的位似图形 点 O 为位似中心 若 OAB 内一点 P x y 与 OA B 内一点 P 是一对对应点 则 P 的坐标是 12 如图 AOB 以 O 位似中心 扩大到 COD 各点坐标分别为 A 1 2 B 3 0 D 4 0 则点 C 坐标为 13 如图 已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形 每个小正方形的顶点称为格 点 若 AB 与 是位似图形 且顶点都在格点上 则位似中心的坐标是 14 已知五边形 ABCDE 和点 O 请你以 O 为位似中心画五边形 ABCDE 的位的图形 A B C D E 使得相似比 即2121 BA 15 如图 在平面直角坐标系中 ABC 的顶点坐标为 3 2 A B 1 C 1 若将 ABC 向右平移 3 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 请画出平移后的1 2 画出 1绕原点旋转 180后得到的 2 3 与 是位似图形 请写出位似中心的坐标 4 顺次连结 C 1 2 所得到的图形是轴对称图形 B A C 3 CB A 4 3 2 1 y4 21 x432 1 2 3 4 O1 33 34 y B C A O x 吗 16 如图 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 2 7 B 6 8 C 8 2 请你分别完成下面的作图并标出所有顶 点的坐标 不要求写出作法 1 以 O 为位似中心 在第三象限内作出 A 1B1C1 使 A 1B1C1与 ABC 的位似比为 1 2 2 以 O 为 旋 转 中 心 将 ABC 沿 顺 时 针 方 向 旋 转 90 得 到 A2B2C2 17 如图 方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形 我们把以格点间连线为边的三角 形称为 格点三角形 图中的 ABC 就是格点三角形 在建立平面直角坐标系后 点 B 的坐标为 1 1 把 ABC 向左平移 8 格后得到 A 1B1C1 画出 A 1B1C1的图形并写出点 B1的坐标 2 把 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 后得到 A 2B2C 画出 A 2B2C 的图形并写出点 B2的坐标 3 把 ABC 以点 A 为位似中心放大 使放大前后对应 边长的比为 2 1 画出 AB 3C3 34 34