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2016年高考数学试卷汇编一、填空题(每小题5分，共70分)1. 已知集合，则= .2. “对一切，恒成立”的否定是 .3. 已知抛物线的准线与双曲线左准线重合，则的值为 .4. 设向量满足且，则向量与的夹角为 .5. 已知等比数列的公比，则的值为 .6. 函数的最小正周期为 .7. 已知，且，则的取值范围是 .8. 已知，则= .9. 函数的零点个数为 .10. 设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则值为 .11. 已知函数设，且，则= .12. 已知且，则 最小值是 .13. 已知数列是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的是，的最大值是S，函数y=f(x)满足f(1+x)=f(5x)对任意实数x都成立，且y=f(x) 的所有零点和恰好为S，则y=f(x)的零点的个数为 .14. 已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围为 .二、解答题 (本大题共6小题，共90分)15. (本小题满分14分)已知的三个内角对应的边长分别为，向量与向量的夹角的余弦值为.求角的大小；若，求的取值范围.16. (本小题满分14分)如图，分别是直角三角形边和的中点，沿将三角形折成如图所示的锐二面角，若为线段中点求证：（1）直线平面；www.ks5u.com（2）平面平面17. （本小题满分15分）已知椭圆的两准线间距离为6，离心率.过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为.（1）求椭圆方程；（2）当点P在椭圆上运动时，求的值使得点Q的轨迹是一个定圆.18. (本小题满分15分)在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和四个侧面的长方体). 该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2). 请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.19. (本小题满分16分)各项均为正数的数列的前项和为，；求；令，；求的前项和。令（为常数，且），是否存在实数对，使得数列成等比数列？若存在，求出实数对及数列的通项公式，若不存在，请说明理由。20. (本小题满分16分)已知函数（为实常数）.(1)若，求证：函数在上是增函数； (2)求函数在上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围.阜、丰、建高三期中考试(强化班)参考答案1. 2. 3. 24. 5. 6. 7. 8. 9. 210. 311. 112. 13. 15个14. 15. 解：因为，所以.4分由得，即.7分因为，所以.所以10分又，所以. 所以12分又，所以.14分16. 证明：（1）取中点，连接，则,所以，所以四边形为平行四边形，所以，4分又因为，所以直线平面 7分（2）因为，分别和的中点，所以，所以9分 同理，, 由（1）知，所以又因为, 所以, 12分又因为所以平面平面 14分17. 解：（1） 6分 (2)设Q的坐标为，.,9分又，即12分当且仅当，即时，点Q在定圆上. 15分18. 解：(1)设切去的小正方形边长为，则焊接成的长方体的底面边长为，高为，所以，4分. 令，即，解得(舍去)，7分在内只有一个极值点，当时，取得最大值，即不符合要求.9分(2)重新设计方案如下：如图3，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图4，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图5，将图4焊成长方体容器，新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积，显然.故第二种方案符合要求.15分19. 解：（1），；当时，即，为等差数列， （2分）。 （4分）（2）， （6分）时， （8分）此时，；。 （10分）（3），令， （14分）存在，。 （16分）20. 解：（1）当时，当，故函数在上是增函数4分（2），当，若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时6分若，当时，；当时，此时是减函数； 当时，此时是增函数故若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时8分综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为10分（3）不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而（）12分令（），又，14分当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是 16分
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