小五组合图形的面积教师辅导讲义.doc

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：小五 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课类型T(组合图形的面积）C（等量代换求面积）T（割补法求面积）授课日期及时段教学内容 组合图形的面积 一、同步知识梳理在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：1.两个三角形等底、等高，其面积相等；2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。4.在求组合图形的面积时，通过把它转化成基本图形来计算。把组合图形转化成基本图形的方法有：分割法和添补法、割补法。 组合图形面积 分割法 添补法 组合图形 转化 基本图形二、同步题型分析题型1：用分割法求组合图形的面积例1：求图中阴影部分的面积（单位：cm）（1）（下图每小格为1平方厘米） 分析：我们用正方形的个数加上三角形的个数除以2就是图形的面积解答：（1）A图面积：3+42=5（平方厘米）；B图面积：4+42=6（平方厘米）；点评：本题考查了梯形与三角形的面积公式及正方形块的计算，考查了学生灵活解决问题的能力例2、如图是一个组合图形，请用两种方法计算出这个图形的面积（单位：米）分析：（1）如图所示，图形的面积=梯形的面积+正方形的面积，代入数据即可求解；（2）如图所示，图形的面积=三角形的面积+长方形的面积，代入数据即可求解解析：解：（1）（2+6）（62）2+22，=842+4，=322+4，=20（平方米）；（2）（62）（62）2+62，=442+12，=8+12，=20（平方米）；答：这个图形的面积是20平方米点评：解答此题的关键是：将图形分割成容易求面积的图形例3、一条长方形毛巾，长60厘米，宽25厘米，把它的4个角折向同一面（如图），所得的每个三角形的面积都是32平方厘米，求图中阴影部分面积分析：由题意可知：4个角的小三角形的面积已知，则4个角所在的小正方形的面积就可以求出，于是用长方形的面积4个小正方形的面积=阴影部分的面积，将数据代入此关系式，问题即可得解解答：60253224，=1500256，=1244（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是1244平方厘米点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积=长方形的面积4个小正方形的面积题型2：添补法求组合图形的面积例1：求图中阴影部分的面积（单位：cm）（1） 分析：我们运用图形的面积减去三角形的面积就是要求出的面积解答：（60+80）30260202，=2100600，=1500（平方厘米）点评：本题考查了梯形与三角形的面积公式及正方形块的计算，考查了学生灵活解决问题的能力题型3：通过基本图形的关系求面积例1：已知图中阴影部分的面积是8.2平方厘米，求梯形的面积分析：阴影部分的面积已知，则可以利用三角形的面积公式求出它的底，也就等于知道了梯形的上底，从而可以利用梯形的面积公式求解解答：8.224，=16.44，=4.1（厘米），（4.1+9）42，=13.142，=52.42，=26.2（平方厘米）；答：梯形的面积是26.2平方厘米点评：此题主要考查三角形和梯形的面积的计算方法，关键是先求出三角形的底，也就是梯形的上底例2：求图中阴影部分的面积（单位：厘米）分析：根据长方形的面积公式：s=ab，三角形的面积公式：s=ah2，用长方形的面积减去三个空白三角形的面积即可解答：161016（102）210（162）2（102）（162）2，=160404020，=60（平方厘米）；答：阴影部分的面积是60平方厘米点评：此题考查的目的是掌握组合图形的面积计算方法，一般采用“求空求差”法，根据长方形、三角形的面积公式解答例3：已知如图大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分的面积分析：要求阴影部分的面积，只要求出梯形CDFE和BCD面积和，然后减去BEF的面积，即可求得阴影部分的面积解答：（5+3）32+5523（3+5）2，=832+552382，=12+12.512，=12.5（平方厘米）答：阴影部分的面积是12.5平方厘米点评：在求组合图形的面积时，一般要转化成规则图形的面积，再通过图形之间的关系进行计算例4：求如图平行四边形中阴影部分的面积（单位：厘米）分析：如图所示，S阴影=SABCSADE，将题目所给数据分别代入三角形面积公式即可求出阴影部分的面积解答：6（3+1）2212，=6421，=2421，=121，=11（平方厘米）；答：阴影部分的面积是11平方厘米点评：解答此题的关键是明白：S阴影=SABCSADE，于是问题可轻松得解例5：正方形面积是25平方厘米，ADE的面积比ACE的面积大1.5平方厘米，求DE的长和梯形ABCE的面积分析：我们运用正方形的面积求出正方形的边长，再根据三角形的面积公式求出DE的长度，再用正方形面积的一半加上AEC的面积，就是梯形ABCE的面积解答：因为正方形面积是25平方厘米，所以25平方厘米=55，即正方形的边长是5厘米，ADC=252=12.5（平方厘米）；（12.51.5）2+1.5，=112+1.5，=5.5+1.5，=7（平方厘米）；DE的长度是：725，=145，=2.8（厘米）；梯形ABCE的面积是：12.5+（12.57），=12.5+5.5，=18（平方厘米）；答：DE的长度是2.8厘米，梯形的面积是18平方厘米点评：本题运用三角形的面积公式及正方形的面积公式进行解答即可三、课堂达标检测1求出如图中涂色部分的面积分析：图中涂色部分的面积等于上底60cm，下底80cm，高30cm的梯形面积减去底60cm，高20cm的三角形面积解析：（60+80）30260202=14030212002=2100600=1500（cm2）答：涂色部分的面积为1500cm2点评：考查了求组合图形的面积，注意寻找计算阴影部分的面积的简便方法解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系2已知梯形的面积是75平方厘米，求图中阴影部分的面积分析：我们用梯形的面积乘以2除以上下底的和就是梯形的高，然后运用三角形的面积公式求出阴影部分的面积解答：8.5752（8.5+6.5）2，=8.5102，=42.5（平方厘米）；答：阴影部分的面积是42.5平方厘米点评：本题运用梯形的面积公式及三角形的面积公式进行解答即可3、下面的组合图形你一定很熟悉吧，那就请你动起手来，试一试吧如图阴影部分是梯形，左面长方形长4厘米，宽3厘米，A为宽中点求阴影部分的面积？分析：由题意可知：阴影部分的面积=平行四边形的面积三角形的面积，平行四边形的底为3厘米，高为4厘米；三角形的底为3厘米，高为（42）厘米，代入即可求解解答：343（42）2，=12322，=123，=9（平方厘米）；答：阴影部分的面积是9平方厘米点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积=平行四边形的面积三角形的面积，求出计算面积所需要的线段的长度，即可求出阴影部分的面积4、甲、乙为正方形，计算阴影部分面积（单位：厘米）分析：如图所示，阴影部分的面积=梯形ABDE的面积+三角形BCD的面积三角形ACE的面积，将数据代入梯形和三角形的面积公式即可求解解答：（4+5）52+442（4+5）52，=22.5+822.5，=8（平方厘米）；答：阴影部分的面积是8平方厘米点评：解答此题的关键是：弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求出5、计算阴影部分面积（单位：厘米）分析：如图所示，阴影部分的面积=平行四边形的面积三角形的面积，平行四边形的底和高分别为10厘米和15厘米，三角形的底和高分别为10厘米和（157）厘米，利用平行四边形和三角形的面积公式即可求解解答：解：101510（157）2，=15040，=110（平方厘米）；答：阴影部分的面积是110平方厘米点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积不能直接求出，可以用平行四边形和三角形的面积差求出用等量代换求组合图形面积一、专题精讲 题型1.下图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按图标数字，阴影部分面积是多少？（单位：厘米）分析：由图意知：阴影部分是一个梯形，又因为两个重叠的直角三角形一样，所以梯形ABDA1的面积等于梯形B1C1CD的面积，所以求出梯形B1C1CD的面积即可；因为BC=B1C1=12厘米，所以CD=124=8（厘米），DB1和B1C1已知，根据梯形面积公式计算即可解答：解：因为三角形ABC的面积=三角形A1B1C1的面积，所以三角形ABC的面积三角形A1CD面积=三角形A1B1C1的面积三角形A1CD面积，即梯形ABDA1的面积=梯形B1C1CD的面积，CD=124=8（厘米），梯形B1C1CD的面积为：（8+12）32，=2032，=30（平方厘米）即阴影部分梯形ABDA1的面积是30平方厘米答：阴影部分面积是30平方厘米点评：解决本题的关键是得出梯形ABDA1的面积等于梯形B1C1CD的面积题型2在如图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积分析：由“阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2”可知：平行四边形的面积比直角三角形的面积大10平方厘米，于是利用三角形的面积公式即可求出三角形BCE的面积，进而即可得出平行四边形的面积解答：解：1082+10，=40+10，=50（平方厘米）；答：平行四边形ABCD的面积是50平方厘米点评：解答此题明白：平行四边形的面积比直角三角形的面积大10平方厘米，求出直角三角形的面积，问题即可得解题型3.如图是由大小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积分析：如图所示，三角形ABD和三角形ADC等底等高，则二者的面积相等，分别去掉公共部分（三角形AFD），剩余的部分面积也相等，即三角形ABF和三角形FDC的面积相等，因此三角形ABC的面积就等于小正方形的面积的一半，据此即可得解解答：解：据分析可知：442=8（平方厘米）；答：三角形ABC的面积是8平方厘米点评：由题意得出三角形ABC的面积就等于小正方形的面积的一半，是解答本题的关键 题型4.下页上图中，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解答：解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延长BC交GF于H（见下页左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。 二、专题过关1、如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积（单位：厘米）分析：由图意可知：两个三角形都去掉公共部分（三角形DOC），则剩余部分的面积仍然相等，即阴影部分的面积=梯形OEFC的面积，先求出梯形的上底，进而利用梯形的面积公式即可求解解答：解：（93+9）22=15（平方厘米）；答：阴影部分的面积是15平方厘米点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积=梯形OEFC的面积2、如图所示，两个相同的直角三角形部分叠在一起求阴影部分的面积（单位：厘米）分析：由图意可知：阴影部分的面积就等于梯形ABCD的面积，梯形的下底和高已知，上底可以求出，从而利用梯形面积公式即可求解解答：（83）+852，=（5+8）52，=1352，=652，=32.5（平方厘米）；答：阴影部分的面积是32.5平方厘米点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于梯形ABCD的面积，利用梯形面积公式即可求解3、如图，在梯形ABCD中，BC=2AD，E是CD的中点，F是BE的中点，梯形面积为60cm2，求阴影部分面积分析：取BC中点G，连接DG，则ABD的面积、BDG的面积与DGC的面积都等于梯形面积的三分之一，BDC的面积是BDG面积的2倍，BDF面积是BDC面积的一半，而BDF又是BDE面积的一半，据此逐步解决问题解答：解：如图：取BC中点G，连接DG，SABD=SBDG=SDGC=603=20（平方厘米），SBDC=202=40（平方厘米），SBDE=402=20（平方厘米），SBDF=202=10（平方厘米）；答：阴影部分面积是10平方厘米点评：此题解答关键是取BC的中点G并连接GD，这样就把梯形三等分，然后利用三角形面积之间的关系解答即可4、如图，ABCD是长方形，AD长10厘米，AB长6厘米，CDEF是平行四边形，BH长4厘米，求图中阴影部分的面积分析：由图意可知：长方形ABCD与平行四边形CDEF等底等高，则平行四边形的面积可求，阴影部分的面积=平行四边形的面积空白三角形HCD的面积，代入数据即可求解解答：解：平行四边形的面积为：610=60（平方厘米），三角形HCD的面积为：6（104）2，=662，=362，=18（平方厘米）；阴影部分的面积为：6018=42（平方厘米）；答：阴影部分的面积是42平方厘米点评：解答此题的关键是明白：长方形ABCD与平行四边形CDEF等底等高，从而容易求平行四边形的面积，进而求出阴影部分的面积三、学法提炼 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 用割补法求面积一、能力培养综合题1 计算图中阴影部分面积（单位：分米）分析：观察图将阴影部分的面积进行平移、重组，即为边长是2分米的正方形的面积的一半，由此根据正方形的面积公式S=aa，列式解答即可解答：解：222=2（平方分米），答：阴影部分的面积是2平方分米点评：关键是将阴影部分的面积进行重组，从而化难为易，利用正方形的面积公式解决问题综合题2 按照下页图的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已知甲三角形两条直角边分别为4厘米和8厘米，乙三角形两条直角边分别为6厘米和12厘米求阴影部分的面积分析：如下图，将甲、乙分别平移到如图位置，则平行四边形的面积就是图中画红线的长方形的面积，即两个长方形面积之和，由此再根据三角形的面积公式S=ah2，求出甲、乙的面积，进而求出阴影部分的面积解答：解：将甲、乙分别平移到如图位置，则平行四边形的面积就是两个长方形的面积之和，86+4128421262，=48+481636，=9652，=44（平方厘米）；答：阴影部分的面积是44平方厘米点评：解答本题的关键是将甲、乙分别平移，求出平行四边形的面积，再利用三角形的面积公式S=ah2解决问题综合题3 在如图中，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F分别是边AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积分析：分别找出AD、DC的中点H、I，并连接BH、AI，如图所示：利用割补法，把三角形ABH移到三角形BSC下面，同理，原图变成5个大小相等的正方形，要求的四边形的面积就是下图中正方形1的面积；由此即可解决问题解答：解：根据题干分析可得：四边形BEGF的面积就是图中正方形1的面积：445=3.2（平方厘米），答：四边形BFGE的面积是3.2平方厘米点评：此题是利用割补位移的方法解答，关键是要弄明白怎样把图形转化成5个相等的正方形二、能力点评 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法 学法升华1、 知识收获我们已经学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形等基本图形的面积计算，在实际问题中，我们遇到的往往不是基本图形，而是由基本图形组合、拼凑成的组合图形，它们的面积不能直接用公式计算。要求掌握两种方法解决组合图形面积：一是拼合组合，二是重叠组合2、 方法总结1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单三、技巧提炼在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：1.两个三角形等底、等高，其面积相等；2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。课后作业作业1：求阴影部分面积（1）图1中，梯形的面积是450cm2，求阴影部分面积（单位：厘米）（2）图2中，三角形ABC和DEF是两个完全一样的三角形，AB=10cm，BE=8cm，DH=6cm，求阴影部分面积分析：（1）先根据梯形的面积和已知的上底与下底，求出这个梯形的高，即阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算即可解答；（2）如图，因为两个三角形完全相同，所以阴影部分的面积就等于红色部分梯形的面积，下底AB=10厘米，上底HE=106=4厘米，高BE=8厘米，据此再利用梯形的面积公式计算即可解答解答：解：（1）4502（5+25）252，=9003252，=300252，=3750（平方厘米），答：阴影部分的面积是3750平方厘米（2）106=4（厘米），（4+10）82，=1482，=56（平方厘米），答：阴影部分的面积是56平方厘米点评：此题主要考查组合图形的面积的计算方法，一般都是把不规则图形的面积转化到规则图形中，利用面积公式进行计算作业2：图形：已知图中空白部分的面积为10，求阴影部分的面积分析：因为空白部分的面积已知，利用三角形的面积公式即可求出空白部分的高，也就等于知道了阴影部分的高，阴影部分的下底可以求出，进而利用梯形的面积公式即可求解解答：解：1022=10，（3+3+2）102，=8102，=40；答：阴影部分的面积是40点评：求出空白部分的高，是解答本题的关键作业3：如图是由两个平行四边形组成的求阴影部分的面积（单位：厘米）：分析：由图意可知：阴影部分的面积=平行四边形的面积的一半，又因两个平行四边形等底等高，则两个平行四边形的面积相等，依据题目条件，很容易就能求出平行四边形的面积，进而就可以求出阴影部分的面积解答：解：2.21.22，=2.642，=1.32（平方厘米）；答：阴影部分的面积是1.32平方厘米点评：解答此题的主要依据是：三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半作业4：如图，A、B、E、F四点在一条直线上，ABCD是长方形，AD=8cm，AB=6cm；CDEF是平行四边形，线段BC、DE交于点H，如果BH=5cm，那么图中阴影部分的面积是多少？分析：由题意可知：平行四边形的面积=底高，其底为CD=6cm，高为AD=8cm，将数据代入公式即可求解解答：解：68=48（平方厘米）；答：阴影部分的面积是48平方厘米点评：此题主要考查平行四边形的面积的计算方法作业5：ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积是多少？分析：根据梯形面积公式和三角形面积公式可得：梯形GFDA的面积=三角形GBF的面积，都减去公共部分AHFG的面积，可得图中阴影部分的面积=三角形ABH的面积解答：解：梯形GFDA的面积=（GF+AD）AG2，三角形GBF的面积=（AG+AB）GF2，因为ABCD与AEFG均为正方形，所以（GF+AD）AG2=（AG+AB）GF2，则梯形GFDA的面积=三角形GBF的面积，则阴影部分的面积=三角形ABH的面积=6平方厘米答：图中阴影部分的面积是6平方厘米点评：本题的关键是根据正方形的边长相等，由梯形面积公式和三角形面积公式得到：梯形GFDA的面积=三角形GBF的面积作业6 如图大三角形面积为18cm2，边上的点E和F为中点，求阴影部分面积分析：因为边上的点E和F为中点，所以ABF的面积是ABC面积的一半，BEF的面积又是ABF面积的一半，据此解答解答：解；1822，=92，=4.5（平方厘米）； 答：阴影部分面积是4.5平方厘米点评：此题主要根据把三角形的底等分，高不变，面积也等分，利用小三角形与大三角形面积之间的关系解答作业题7 如图ABCG和CDEF分别为两个正方形，大正方形的边长为8厘米，小正方形的边长为6厘米分析：把正方形ABCG与正方形CDEF的面积加在一起，用它们的面积的和分别减去BDE、FGE、ABG的面积，得到的差就是阴影部分BEG的面积解答：解：88+668（8+6）2（86）82662，=64+3656818，=100（56+8+18），=10082，=18（平方厘米）；答：阴影部分的面积是18平方厘米点评：本题考查了三角形的面积公式的掌握与运用，同时考查了学生的计算能力及解决问题的能力作业题8 如果你完成上述题目觉得正确无误后，可考虑解决以下问题，注意：本题不计入总分两个正方形如图放置，其中D、C、G在同一条直线上，小正方形ECGF的边长为6，连AE、EG、AG，求图中阴影部分的面积分析：如图所示，连接AC，三角形AEC与三角形ACG等底等高，则它们的面积相等，于是它们都减去公共部分三角形AHC，则剩余的部分仍然相等，即三角形AEH与三角形HCG的面积相等，由此可以得出：阴影部分的面积=小正方形的面积，小正方形的边长，从而问题得解解答：解：连接AC，则SAEC=SACG，SAECSAHC=SACGSAHC，即SAEH=SHCG，所以阴影部分的面积=66，=36，=18；答：图中阴影部分的面积是18点评：解答此题的关键是作出合适的辅助线，将阴影部分转化到小正方形中，从而问题得解作业题9 求如图阴影部分面积（cm2）分析：先依据三角形的面积公式计算出空白三角形的斜边上的高，也就等于知道了阴影部分的高，从而利用三角形的面积公式即可求解解答：解：34225，=345，=2.4（厘米），82.42=9.6（平方厘米）；答：阴影部分的面积是9.6平方厘米点评：求出空白三角形的斜边上的高，是解答本题的关键作业题10 求图中阴影部分的面积分析：只要把该图形的上边、右边和下边、左边都连接会发现，拼成的图形是一个长方形，该阴影图形的面积是长方形面积的一半，根据“长方形的面积=长宽”代入数值，即可得出结论解答：解：962=27（平方厘米）；答：图中阴影部分的面积是27平方厘米点评：此题解题的关键是对长方形和三角形的面积的计算公式的灵活运用情况，解答时应根据公式进行分析、解答即可得出结论作业题11 如图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起求阴影部分的面积分析：由题意可知：阴影部分的面积就等于空白的较大一点的梯形的面积，这个梯形的下底和高已知，上底可以求出，从而可以求其面积，也就求得了阴影部分的面积解答：解：（205+20）82，=（15+20）82，=3582，=2802，=140（平方厘米）；答：阴影部分的面积是140平方厘米点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于空白的较大一点的梯形的面积