湖北省黄冈中学2015-2016上学期高二期末试卷(数学理).doc

湖北省黄冈中学2015-2016上学期高二期末试卷数学（理）1、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人参加志愿活动，某男生被抽到的概率为A B C D【答案】C【解析】2已知为平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，或与相交.3已知向量，且与互相垂直，则A1 B C D【答案】D【解析】,因为与互相垂直，所以，解得 4为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中，变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s. 变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是 A直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t) B直线l1和l2有公共点(s，t) C直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行 D直线l1和l2必定重合【答案】B【解析】线性回归直线方程过点.5“若或，则”的否命题为A 若或，则 B若且，则 C若或，则 D若且，则【答案】D【解析】否命题:条件和结论都否定.6若椭圆和双曲线的共同焦点为F1,F2. P是两曲线的一个交点，则的值为 A3 B C16 D21【答案】D【解析】第7题图7在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如右：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 A B C D【答案】D【解析】,8已知、分别是椭圆的左、右焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为 A B C D【答案】C【解析】设P为中点，在正三角形中，所以所以9 某人有5把钥匙，其中2把能打开门.现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉.则恰好在第3次才能开门的概率为 A B C D【答案】B【解析】10已知双曲线的一条渐近线方程为.、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线右支交于A，B两点. 若，则的周长为 A18 B26 C28 D36【答案】C【解析】因为渐近线方程为，所以双曲线的方程为.的周长为11如图，ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD.M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心） 第11题图 A B C D【答案】A【解析】在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为,平面与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线取特殊点B，可排除选项B，故选A.12. 如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面上的射影为点.当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于 A. B. C. D. 【答案】C第12题图【解析】四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，O、B、A、C四点共面，设此平面为，BO，BO，. 过D作DH平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则RtHCD中，BO，直线BC与平面所成角为45，BCO = 45，结合HCB = 30得HCO = 75，因此，H到平面的距离等于HCsin75 = ，过D作DE于E，连结CE，则DCE就是直线CD与平面所成角，DH，且DH，DH，由此可得点D到平面的距离等于点H到平面的距离，即DE = ，RtCDE中，sinDCE = ，即直线CD与平面所成角的正弦值等于.第13题图2、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13 阅读如图所示的程序，当输入，时，输出 【答案】2468【解析】.14 在半径为的圆周上任取两点，则的概率为 【答案】【解析】如图，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径，当B点落在劣弧上时，有，则所求概率为.15 已知三棱锥的底面为以AB斜边的等腰直角三角形，设四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 【答案】【解析】如图，设AB的中点为D，连接SD.是以AB为斜边的等腰直角三角形，面ABC，且SD上任意一点到面ABC的距离都相等，从而点O在SD上.设，则，由，解得.16 已知是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，.当APF周长最小时，该三角形的面积为 【答案】3【解析】设左焦点为，右焦点为.APF周长为，当且仅当三点共线，即P位于时，三角形周长最小.此时直线的方程为，代入中，可求得.3、 解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40,50), 50,60), 80,90), 90,100. （）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值； （）从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40,50)的概率.第17题图【解析】（）.（）由频率分布直方图可知：在内的人数为（人），在内的人数为（人），设内的两人分别为；内的三人为则从的受访职工中随机抽取2人，基本事件有共10种；其中2人评分都在40,50)内的基本事件有共1种.所以所求的概率为.18（本小题满分12分）已知命题，. （）若为假命题，求实数a的取值范围； （）若是的必要不充分条件，求m的取值范围.【解析】，不满足题意；，显然成立；，即综上可知为真或；【也可以从反面考虑，即为假，为真，即，满足题意；，即综上可知为真从而，为真或】；或.（）若为真命题，则均为真命题，即为假，为真.即；则当为假命题时，或.（）“是的必要不充分条件”“是的必要不充分条件”令，即，所以或即或19（本小题满分12分）在棱长为1的正方体中，分别为和的中点.（）求二面角的余弦值；（）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且平面，求的最小值.【解析】以D为坐标原点，以分别为轴、轴、第19题图轴正方向建立空间直角坐标系. 则.（）由图可取面的一个法向量；，设面的法向量为，则，可取.所以，即二面角的余弦值为.（）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设，则.因为平面，所以，即，所以，所以，当时，.20（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M.过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，且. （）求抛物线的标准方程； （）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值.【解析】（）由题可知，焦点F，准线为l：，点M .设直线AB的方程为，联立，消去x可知，.所以解得，所以抛物线的标准方程为.（）由（）可知F，M .设P，则令（时取等号），即有最大值，此时有最小值，且. 综上：的最小值为.21（本小题满分12分）如图，在梯形中，点在平面上的射影为点，且，二面角为. （）求直线与平面所成角的大小； （）若，求三棱锥的体积.第21题图解：（）方法1：，点在平面上的射影在线段的中垂线上.设的中点为，连接，为二面角的平面角，.在等腰中，.又，.在中，得.以为原点，分别以平行于，的直线为轴、轴建立空间直角坐标系，则，.轴，故可取一个的平行向量.设平面的法向量是，则 即取.直线与平面所成角满足，直线与平面所成角为.方法2：过点作，垂足为，连接.过作，垂足为，连接平面，平面又平面，又，平面就是与平面所成角，点在平面上的射影在线段的中垂线上，设的中点为，连接，为二面角的平面角，.在等腰中，又，.在中，得，.又，在中，可得. ，直线与平面所成角为 （）设，则，连接.在中，,又由（）得， ，在中,，又，,得，即.三棱锥的体积. 22（本小题满分12分）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.（）求的方程；（）若，求直线的斜率.【解析】（）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以 . 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为， .联立得，故的方程为.（）如图，设 因与同向，且，所以，从而，即，于是 .设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根， .由得，而是这个方程的两根，.将、代入，得，即，所以，解得，即直线的斜率为.