《数学分析》中极限问题及浅析.doc

数学分析中极限问题的浅析极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。一 求数列极限（一） 利用迫敛性定理求极限首先说明迫敛性定理1求极限，这是一种简单而常用的方法。lim例1、证明 （1） (a 0)lim （2）证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。 (hn 0) 当a 1时，令 则：a = (1 + hn )n = 1 + nhn + 由迫敛性定理 故0 hn limhn = 0limlim 即： (1 + hn) = 1limlim1lim= 1当 0 a 0 （2） 设 n = (1 + hn)n = 1 + nhn +即： 0 hn lim由迫敛性定理得 hn = 0(1 + hn) = 1limlim 从而： lim 例：求极限 令 即：en 由迫敛性定理可得：lim 从而：由连续函数定义知：lim 极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式2，现叙述如下：（二）单调有界原理求极限单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。例：单调数列 收敛于a的充要条件是存在子列 使得a 证：不妨设设 是单调递增数列，必要性显然。则： 充分性：若 对任意的 ，存在k0 ，当k k0 时：1Xnk a1 = a Xnk 0, xn(n=1、2、)为由以下各式：(n =0、1、2，)x0 0, lim所确定的数列，求证 证：由假设x0 0, 又由算术平均数和几何平均数之间的关系得：（n=1、2、）（n=1、2、）lim由单调有界原理，则： 将lim从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递推关系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。（三）柯西收敛准则求极限下面举例说明柯西收敛准则4的应用。证明数列 xn 是收敛的。 证明：（n = 1、2）（n = 1、2）可归纳得到：对任意的m n ,故： xn 是柯西数列，从而它是收敛的。例：判断数列解：设 m n,这时：10m-n = 10n+1 2(N+1)由柯西收敛准则，知数列 an 发散。柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。柯西收敛准则否定形式： 有正整数mN, nN存在，尽管mN, nN N , （四） 定积分求极限由于定积分5是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。 （n等分.取右端点）。 在运用这一方法时，要巧妙转化，找出其积分原型，并发现其积分区间，（一般为0，1），恰当的转化，可使问题简化。（五） 施笃兹定理求极限 定理6，下面给出定理和它的两个难论： 定理：（stolz定理） 1)存在N0为自然数，当n N0时，yn+1 y 递增 .解：由stolz定理：从而二、求函数极限在前面，我们主要针对数列极限的求解作了详细地论述，接下来，我们来看一下函数极限与数列极限的联系。一般函数的极限可以归结为数列的极限。（一） 罗毕塔法则求极限（二） 利用两个重要极限求极限在函数极限的证明和计算中，除可以用以上各种方法外还可用其他方法。如利用两个重要极限，进行计算：（三） 求分段函数的极限对于分段函数9的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设T为正常数，若函数满足： (1) g(x+T)g(x)(2) 求极限在数学中是一重要问题和研究工具。其在几何学和生活中都有重要应用。本文在确定了论题之后，围绕着论题作了大量细致深入的调研，对极限中的数列极限和函数极限进行了深入的研究，综合的讨论了求极限问题的方法。附录1下面一个定理通常称为海因（Heine）定理7，它把函数的极限与数列的极限沟通起来。因此也叫归并原则。