直线与圆锥曲线.doc

直线与圆1.（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：的圆心C。（1）求椭圆的方程；（2）设直线过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线的方程。3.已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足（1）求动点的轨迹方程；（2）若点是动点的轨迹上的一点，是轴上的一动点，试讨论直线与圆的位置关系中点问题5过点，斜率为的直线与抛物线交于两点A、B，如果弦的长度为。求的值；求证：（O为原点）。6已知双曲线（1，1）能否作一条直线A，B两点，且P为线段AB 的中点？7. 已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。（1）求点的坐标；（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值；求斜率8 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角9已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为2.()求动点M的轨迹方程;()若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.10 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率（）求椭圆方程；（）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且组段MN中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 11 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 12.已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 13. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 14.已知圆的弦长为时，则a=（ ）A BC D数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系15、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围16、设、分别是椭圆的左右焦点是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由17 已知抛物线与直线求证：抛物线与直线相交；求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值范围问题（本质是函数问题）18在抛物线y=x2上求一点P,使得点P到直线x-y-3=0的距离最短。19已知若动点P满足 （1）求动点P的轨迹方C的方程； （2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.20已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的范围。21已知直线经过椭圆 21世纪教育网 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； 22：已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。23.设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。面积问题24.已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。25如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。（）求在，的条件下，的最大值；（）当时，求直线AB的方程。求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.26.在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点（）写出C的方程；（）若，求k的值；（）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|27已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.28 已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。29.已知动圆过定点，且与定直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若是轨迹C的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:.30.设、分别是椭圆：的左右焦点。（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为，试探究的值是否与点及直线有关，不必证明你的结论。31.在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程； （）的最小值。32.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。33设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 21世纪教育网 定点定直线问题34已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点（）求椭圆的方程；（）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上应用题35某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长 对称问题36 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围直线与圆1.（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程.解：（1）AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5），半径r=|PA|=.所求的圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.（2）设A关于直线x+2y=0的对称点为A，由已知AA为圆的弦.AA对称轴x+2y=0过圆心，设圆心P（-2a，a），半径为R，则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2，又弦长，d=,R2=2+，4(a+1)2+(a-3)2=2+.a=-7或a=-3，当a=-7时，R=；当a=-3时，R=.所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：的圆心C。（1）求椭圆的方程；（2）设直线过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线的方程。解：（1）圆C方程化为：，圆心C1分设椭圆的方程为，则.2分所以所求的椭圆的方程是： .6分（2）由（1）得到椭圆的左右焦点分别是，在C内，故过没有圆C的切线.8分设的方程为.9分 点C到直线的距离为d,由.11分化简得：解得：13分故的方程为14分3.已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足（1）求动点的轨迹方程；（2）若点是动点的轨迹上的一点，是轴上的一动点，试讨论直线与圆的位置关系解：（1）设，则，由，得，化简得所以动点的轨迹方程为（2）由在轨迹上，则，解得，即当时，直线的方程为，此时直线与圆相离当时，直线的方程为，即圆的圆心到直线的距离，令，解得；令，解得；令，解得综上所述，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离中点问题5过点，斜率为的直线与抛物线交于两点A、B，如果弦的长度为。求的值；求证：（O为原点）。解直线AB的方程为，联立方程,消去y得,.设A(),B(),得 解得6已知双曲线（1，1）能否作一条直线A，B两点，且P为线段AB 的中点？解：设能作直线满足条件，设（），B（）则化为（1，1） （）即把直线代入双曲线方程为 即直线与双曲线无公共点 不存在直线满足条件。7. 已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。（1）求点的坐标；（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值；（1）设， ， （2）设由 得， ， 求斜率8 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角分析一：由弦长公式易解解答为： 抛物线方程为x2=-4y， 焦点为(0，-1)设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0x1+x2=-4，x1+x2=-4k由|AB|=8得: 又有得:或.9已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为2.()求动点M的轨迹方程;()若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.解: ()设1分因为,所以.3分化简得:. .4分() 设 当直线x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意6分设直线的方程为 将代入得(1) (2) .8分(1)-(2)整理得: 11分直线的方程为即所求直线的方程为12.分解法二: 当直线x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,将其代入化简得由韦达定理得,又由已知N为线段CD的中点,得,解得,将代入(1)式中可知满足条件.此时直线的方程为,即所求直线的方程为10 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率（）求椭圆方程；（）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且组段MN中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围分析：由焦点坐标可知, 由离心率可求解：（）设椭圆方程为由已知，由解得a=3，为所求（）解法一：设直线l的方程为y=kx+b(k0)解方程组将代入并化简，得将代入化简后，得解得中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 11 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。 又， 代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。12.已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。13. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（ ） A. B. C. D. 14.已知圆的弦长为时，则a=（ ）A B C D数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系15、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。16、设、分别是椭圆的左右焦点是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由分析：由得，点C、D关于过的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在的内部，可以设直线l的方程为：，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点M和点F1的坐标，得斜率为，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l的方程为：，C、D，CD的中点M。由得：，又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则，即。由韦达定理得：，则，M(，)。又点，则直线的斜率为，根据得：，即，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件的直线。老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。17 已知抛物线与直线求证：抛物线与直线相交；求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值分析：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题解：（1）由直线与抛物线总相交（2）其顶点为，且顶点在直线 的下方，即设直线与抛物线的交点为， 当点评：直线与圆锥曲线相交的问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解的问题 运用“设而不求”求弦长范围问题（本质是函数问题）18在抛物线y=x2上求一点P,使得点P到直线x-y-3=0的距离最短。解一：设抛物线y=x2上点P(x0,y0)到直线x-y-3=0的距离最短。则d= 因为P(x0,y0)在y=x2上，所以y0=x02, 代入距离公式得：d= 当x0=0.5时，d有最小值。此时，y0=0.25 所以点P() 解二：将直线x-y-3=0往上平移，与抛物线在点P(x0,y0)处相切。此时，点P到直线x-y-3=0的距离最短。 依题意：切线的斜率为1。 根据导数的几何意义， 而 所以2x0=1 x0=, 解三：将直线x-y-3=0往上平移，与抛物线在点P(x0,y0)处相切。此时，点P到直线x-y-3=0的距离最短。 依题意切线的斜率为1，可设切线方程为：y=x+b 建立方程组得： 相切，则，即1+4b=0, 代入得， 19已知若动点P满足 （1）求动点P的轨迹方C的方程； （2）设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线的距离的最小值.解：（1）设动点P（x，y），则由已知得点P的轨迹方程是椭圆C：（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l和l的距离等于Q与l的距离的最小值。设代入椭圆方程消去x化简得：解二：由集合意义知，椭圆C与平行的切线其中一条l和l的距离等于Q与l的距离的最小值。设切点为解得解三：由椭圆参数方程设）则Q与l距离20已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求的范围。解：（1）设双曲线的方程为 （1分）则，再由得， （3分）故的方程为 （4分）（2）将代入得 （5分）由直线与双曲线C2交于不同的两点得： （7分）且 （8分）设，则 （10分）又，得 即，解得： （12分）由、得：故k的取值范围为。 （14分）21已知直线经过椭圆 21世纪教育网 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。 （I）求椭圆的方程； （）求线段MN的长度的最小值； 解法一：（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 21世纪教育网 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立21世纪教育网 时，线段的长度取最小值22：已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到的关系式，再根据“过点”得到的第2个关系式，解方程组，就可以解出的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。解：（）离心率，即（1）；又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，椭圆方程为。（）设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，即（1）由韦达定理得：，则，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。23.设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或面积问题24.已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。25如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。（）求在，的条件下，的最大值；（）当时，求直线AB的方程。本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。解：（）解：设点A的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最在值1，（）解：由得 设到的距离为，则又因为所以代入式并整理，得解得，代入式检验，。故直线的方程是。求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.26.在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点（）写出C的方程；（）若，求k的值；（）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分12分解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为3分（）设，其坐标满足消去y并整理得，故5分若，即而，于是，化简得，所以8分27已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 2分即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动点的轨迹方程为 5分（2）由题可设直线的方程为，由得 ， 7分设，则，9分 由，即 ，于是，11分即， ，解得或（舍去），13分又， 直线存在，其方程为 14分28 已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。解：（1）设，依题意，则点的坐标为 1分 2分又 4分 在上，故 5分 点的轨迹方程为 6分（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足，则是线段MN的中点，且有9分又 在椭圆上 两式相减，得 12分 直线MN的方程为 椭圆上存在点、满足，此时直线的方程为 14分29.已知动圆过定点，且与定直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若是轨迹C的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上2分 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹是.5分（II） .6分， ，8分抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是， ，所以，30.设、分别是椭圆：的左右焦点。（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为，试探究的值是否与点及直线有关，不必证明你的结论。解：（1）由于点在椭圆上，得2=4, 2分 椭圆C的方程为 ，焦点坐标分别为 4分（2）设的中点为B（x, y）则点 5分把K的坐标代入椭圆中得7分线段的中点B的轨迹方程为 8分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设, 在椭圆上，应满足椭圆方程，得 10分= 13分故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关， 14分31.在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程； （）的最小值。.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| 2= x2+y2, y2= =4+ , 2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故的最小值为3.32.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 33设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; 21世纪教育网 解:（1）因为,所以, 即. 21世纪教育网 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.定点定直线问题34已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点（）求椭圆的方程；（）若直线：（）与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上（）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为（），则，又点在椭圆上，得解得椭圆的方程为当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为（），则，又点在椭圆上，得解得，这与矛盾综上可知，椭圆的方程为 4分解法二：设椭圆方程为（），将、代入椭圆的方程，得解得，椭圆的方程为 4分（）证法一：将直线：代入椭圆的方程并整理，得， 6分设直线与椭圆的交点，由根与系数的关系，得， 8分直线的方程为：，它与直线的交点坐标为，同理可求得直线与直线的交点坐标为 10分下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，因此结论成立综上可知，直线与直线的交点在直线上 14分证法二：将直线：，代入椭圆的方程并整理，得， 6分设直线与椭圆的交点，由根与系数的关系，得， 8分直线的方程为：，即直线的方程为：，即 10分由直线与直线的方程消去，得 直线与直线的交点在直线上 14分应用题35某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长 解： 以拱顶为原点，水平线为轴，建立坐标系，如图，由题意知，、坐标分别为、设抛物线方程为,将点坐标代入，得解得，于是抛物线方程为 由题意知点坐标为，点横坐标也为2，将2代入得从而 故最长支柱长应为3 84米 对称问题36 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围分析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，0，即可求得k的范围解法一：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=ky+m，代入y24x，得y24ky4m=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y02k，x02k2+m点M（x0，y0）在直线l上，2k=k（2k2m）+3m=又BC与抛物线交于不同两点，16k216m0把m代入化简得0，即0，解得1k0解法二：（点差法）设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）必在曲线内部且x1+x22 x0， y1+y22y0由 即BC中点M的坐标为必在曲线y2=4x内部 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“0”题目 高中数学复习专题讲座直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2 又22,将m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1 例2 已知抛物线与直线求证：抛物线与直线相交；求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值分析：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题解：（1）由直线与抛物线总相交（2）其顶点为，且顶点在直线 的下方，即设直线与抛物线的交点为， 当点评：直线与圆锥曲线相交的问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解的问题 运用“设而不求”求弦长例3 已知双曲线和定点（I）过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点；（II）双曲线的弦中，以点为中点的弦是否存在？并说明理由分析：能够综合运用直线方程、双曲线方程及对称性等几何性质来研究直线与双曲线的位置关系解：（I）设过定点的直线的方程为：则，当时，即，解得或与双曲线分别交于和当时，由得，即得切线切点为，另一切线为，切点为过点有4条直线与双曲线只有一个公共点（II）设点为中点，则因为满足双曲线方程，所以 ，相减得 若弦存在，则必为，代入双曲线方程得，方程的判别式，说明中点弦不存在 点评：要明确判断直线与双曲线仅有一个公共点的方法步骤；用“点差法”和“设而不求”的方法处理中点弦例4 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围分析：设B、C两点关于直线y=kx+3对称，易得直线BC：x=ky+m，由B、C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式，而直线BC与抛物线有两交点，0，即可求得k的范围解法一：设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=ky+m，代入y24x，得y24ky4m=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则y02k，x02k2+m点M（x0，y0）在直线l上，2k=k（2k2m）+3m=又BC与抛物线交于不同两点，16k216m0把m代入化简得0，即0，解得1k0解法二：（点差法）设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0）必在曲线内部且x1+x22 x0， y1+y22y0由 即BC中点M的坐标为必在曲线y2=4x内部 评述：对称问题是高考的热点之一，由对称易得两个关系式本题运用了“设而不求”，解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“0”例6 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率（）求椭圆方程；（）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且组段MN中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围分析：由焦点坐标可知, 由离心率可求解：（）设椭圆方程为由已知，由解得a=3，为所求（）解法一：设直线l的方程为y=kx+b(k0)解方程组将代入并化简，得将代入化简后，得解得 解法二：（点差法）设的中点为在椭圆内，且直线l不与坐标轴平行因此，两式相减得 即 点评：通过两种方法的比较，可以看出使用点差法运算简洁9椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是 （ ）ABCD答案:A解析:设则，两式相减得，所以14.（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程.14.解：（1）AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5），半径r=|PA|=.所求的圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.（2）设A关于直线x+2y=0的对称点为A，由已知AA为圆的弦.AA对称轴x+2y=0过圆心，设圆心P（-2a，a），半径为R，则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2，又弦长，d=,R2=2+，4(a+1)2+(a-3)2=2+.a=-7或a=-3，当a=-7时，R=；当a=-3时，R=.所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.轨迹8 已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。解：（1）设，依题意，则点的坐标为 1分 2分又 4分 在上，故 5分 点的轨迹方程为 6分（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足，则是线段MN的中点，且有9分又 在椭圆上 两式相减，得 12分 直线MN的方程为 椭圆上存在点、满足，此时直线的方程为 14分9设、分别是椭圆：的左右焦点。（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为，试探究的值是否与点及直线有关，不必证明你的结论。解：（1）由于点在椭圆上，得2=4, 2分 椭圆C的方程为 ，焦点坐标分别为 4分（2）设的中点为B（x, y）则点 5分把K的坐标代入椭圆中得7分线段的中点B的轨迹方程为 8分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设, 在椭圆上，应满足椭圆方程，得 10分= 13分故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关， 14分11在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程； （）的最小值。.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| 2= x2+y2, y2= =4+ , 2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故的最小值为3.在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点（）写出C的方程；（）若，求k的值；（）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|20本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分12分解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为3分（）设，其坐标满足消去y并整理得，故5分若，即而，于是，化简得，所以8分（） 因为A在第一象限，故由知，从而又，故，即在题设条件下，恒有12分48（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程； （）的最小值。.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故|的最小值为3.55(上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 9. 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