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彭芳麟计算物理基础课后答案P968、t=0:0.1:2*pi;A1=5;A2=3;w1=2;w2=4;x1=A1*sin(w1*t+pi/3);x2=A2*sin(w2*t+pi/4);plot(t,x1,-r,t,x2,-b); P98 21x=-5:0.1:5;y=0:0.1:10;X,Y=meshgrid(x,y);z=X.2.*Y + sqrt(Y)./X;mesh(X,Y,z); P97 20 subplot(1,2,1);X0,Y0,Z0=sphere(20);X=2*X0;Y=3*Y0;Z=4*Z0+1;surf(X,Y,Z); axis equalsubplot(1,2,2)t=-1:0.1:1;X,Y,Z=cylinder(1+t.2,20);%形成旋转曲面surf(X,Y,Z);P195 1x=-1.0 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00;y=-0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836;a=polyfit(x,y,1);a= 2.2516 2.0131y=2.2516x+2.0131P151 3syms vvp=1578;f=int(4/pi(1/2)*v2/vp3*exp(-v2/vp2),v,0,Inf);VF=vpa(f);1. 解： 依题， 取 a 5,c 1,m 16, x0 1 xn+1 (5xn +1)(mod16),x0 1, x 伪随机数： xn n 16 2. 解： 依题， 取 a 137,c 187,m 256,x0 1 xn+1 (137xn =+187)(mod 256),x0 1, xn+2 (137xn+1 =+187)(mod 256), x x x 伪随机数： xn n ,xn+1 n+1 ,xn+2 n+2 256 256 256 3. 解：引入二维随机均匀分布向量(x,a) 表示针在桌上的位置， s 1 p 1 x 0, , f (x ) ;a=0, , f (a) . 1 2 2 s / 2 -0 2 p/ 2 -0 其中，s 为线间的距离，l 为针长度，x 为线中点到最近平行线的距离， a为针与线平行线间的夹角。联合概率密度函数为 4 = f (x ) f (a) ,0 x s / 2,0 a p/ 2; 1 2 f (x ,a) ps 0, others. 记针与线相交事件为A，则概率 l ( ) ( = sina) P A P x 2 l p sina 2 2 4 2l a a a = ( , ) f x dxd d dx ps ps l 0 0 x sina 2 2l p .下面是MC 计算步骤： sP(A) - Page 2- s i). x 0,1, fx ( ) 1, set d x ; 1 1 1 1 2 s x fx d x 2 0,1, ( 2 ) 1, set 2 2 . 2 l ii). judge: min(d,l -d) sind 1 1 2 2 if its yes, set hi 1; h =h Lh if not, set i 0, 1, , n. 1 n 2l iii). sum I= hi , then p = . n i 1 sI s s s 4. 解：依题，引入事件集x x1 | p1 pair , x2 | p2 comp , x3 | p3 photo . s s s T T T i). x 0,1, fx ( ) 1; ii). judge: xp1, x x1; MC 计算步骤: p1 +p 2, x x 3 . 其中， x 表示对产生，x 康普顿散射，x 光电效应。 1 2 3 5. 解：依题， MC 计算步骤: x x F (x) f (t )dt le-ltdt 1-e-lx . - - i). x 0,1, fx ( )=1; x h -lh h l-1 x ii). set F( ) 1-e , =- ln(1- ). -1 x x h l x reset 1- 0,1, =- ln . 6. 解：依题，本题变换法抽样和直接变换法。 设粒子运动距离为L，其分布密度函数为g (L) 。 1 -t/t 已知时间t 的分布密度函数，有 ( ) ，且 L vt . f t =e t t t L L dt 1 - 1 1 - t 1 - t t v tv 则由 g (L) f (t )= 得出 g L e = e = e ( ) dL t v vt vt L 1 - 即 g L e tv ，下面用直接变换对L 的分布密度函数g (L) 进行抽样。 ( ) vt L L L 1 - - L vt vt 首先， 的分布函数为 F L e dL -e ，下面是抽样步骤： ( ) 1 vt 0 - Page 3- i). x 0,1, fx ( ) 1; 1 1 h - MC 计算步骤： ii). 令x=F(h) 1=-e vt, 解出 h=-vtln(1-x). x x h -t x iii). 和 1- 服从同样的分布，故有 v ln . 7. 解：依题，二维独立随机变量分布 dW(q,j) f (qj, )dqdj, f (qj, ) f (q) f (j) 1 2 f 1(q) sinq, f 2 (j) 1, q 0,p,j0,2p. 下面采用直接抽样法： 改写d ( , ) d cos Wqj =- q j，由于各项同性分布，cosq在-1,1上均匀 d 分布，j在0,2p 上均匀分布。令x cosq，于是可以设 - q= p q ，其中g (q) 为待定分布密度函数。 x 1,1, f (x ) 1; 0, , g( ) dx 由 g (q) f (x)= 1=sinq sinq, 可令 dq q cosx =g (x), g -1 (q) cosq=h(q) 有MC 计算步骤： i). x，x 0,1, f (x) 1,f(x) 1; 1 2 1 1 2 2 ii). x cosq -1+2x, h cos-1(=-1+2x); 1 1 1 h 2p=x 2 2 iii). r ( , ) cos-1(-1+2 ), 2 ( , ). h h h ( x px ) qj 1 2 1 2 8. 解： 依题，考虑使用条件密度法 f (x, y) f (x)=f (y | x). 1 2 其中， f 1(x) f (x, y)dy nx-n e-xydy 0 0 - 1 - -1 =nx n ( )(0 -1) nx n , x = 1 -x ( , ) f x y -xy f 2 (y |x ) xe , y 0 f 1(x ) i). 反函数法抽样: x 1 x ( ) ( ) -n 1 -n F x f x dx n x x 由 1 1 n 1 1 =- - + 1 - Page 4- take x 0,1,fx( ) 1, i 1, L, n. i i r r-n set x F (h) 1-h 1 1 1 1 r 1 r 1 1 h =h . 1 1 n n max( , , ) 1-x x x Lx 1 1 1 n r ii). 反函数法抽样，x h: 1 y r r -h1y F (y) f (y |h)dy 1-e 由 2 2 1 1 take x 0,1,fx( ) 1, n+1 n+1 r 1 -hh set x F (h) 1-e 1 2 h rln(1=-x ) n+1 2 2 2 n+1 -h1 1 1-x x , h r lnx . n+1 n+1 2 n+1 -h1 r r -1 ). =( , ) ,ln . iii h h h x 1 2 n+1 max( , , ) x x L 1 n 9. 证： i). x 0,1,fx( ) 1; i i -1 1 x -x set x g (x) x -Gcot(px) x g (x ) arc cot( 0 i ) i i 0 i i i p G -1 dxi 1 -1 1 G 1 ii). f (g (x ) =1 (- ) f (x ) i 1 2 2 i dxi p 2 G pG +(x -x ) x x 0 1+ ( - ) 2 0 i G -1 dxi iii). f (x ) f(g (x ) = f (x )dx g(x)dx. i i i i i i dx i 注：也可以采用反函数法证明，其中用到反切函数的如下性质： cot( ) cot( ) cot( ). p-px =-px =- px i i i 10. 证： 依题， 15 x3 15 3 1 1 15 3 -x -nx f (x) 4 ( x ) 4 x x -x 4 x e e p e -1 p e 1-e p n 0 4 x 156 (n +1) 4 1 nx - - - =e 4 4 ( x e ) n 0 p (n +1) (4 -1)! 4 90 (n +1) 3 (n 1)x - + = 4 4 x e n 0 p (n +1) 3! 4 4 90 n 3 -nx n 3 -nx x e p n x e = 4 4 ( ) n 1 p n 3! n 1 3! 其中， - Page 5- 90 n4 3 -nx p (n ) 0, p (n ) 1; f (x ) x e is Gamma distribution. 4 4 = 且 n p n n 1 3! MC 计算步骤： i). x 0,1, fx ( ) 1,i 1, L,5; i i 90 l-1 1 90 l 1 ii). judge: x 4 4 i 4 4 p j 1 j p j 1 j if its true,f n (x ) sampling; if not, gotoi ). l 1 4 L xp / 90 取 为满足 4 1 的最小整数。 j 1 j 4 n 3 -nx -1 iii). f (x) x e 12题）, x ln(xxxx). 按 抽样（见 n 2 3 4 5 3! L 2 1 (x -m) p x dx dx x 11. 证：考虑 ( ) exp=- 2 , 0. 2 2s s p (1). 反函数抽样: g (x ) e-x . 1 x x F (x) g (x)dx e-xdx 1-e-x 1 1 - 0 i). x 0,1, fx ( ) 1; 1 1 x h -h1 h x ii). set F ( ) 1-e =-ln(1- ) 1 1 1 1 1 x x h x ,1- 0,1, =- ln . 1 1 1 1 2 -x2 /2 ( ) , 0. (2). 第二类舍选法抽样：f x e x p set f (x) H (x) =g(x), g(x) e-x , x =0 f (x ) 2 1 2 1/2 H( ) exp ( 2 1) x =- x - x + e ( ) 2 g x p 2e 1 2 = exp (x 1) , x 0 - - p 2 1 2 ( 1) 2e 1 - x- H( ) , ( ) ( ) 2 x L h x H x e p L - Page 6- i). h 0,1, f (h) e-h1 ; x = 0,1, f (x ) 1; 1 1 1 2 2 2 x h h h ii). judge: 2 h ( 1 ), if its true, 2 1 ; if not, goto (2)-i). 1 2 ( 1) - h1- where h ( ) e 2 x2 h1 x2 1 2 2 ln - ( -1) ( -1) -2ln x2 h1 h1 x2 2 2