北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型(含答案).doc

专题突破(一)填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点20122015年北京中考知识点对比 题型年份2012201320142015填空探究式的规律定义新运算，探究规律函数综合循环规律尺规作图的理论依据 12015北京 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段AB.图Z11求作：线段AB的垂直平分线小芸的作法如下：如图，图Z12(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.所以直线CD就是的所求作的垂直平分线老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是_22014北京 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P(y1，x1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3，A4，若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为_，点A2014的坐标为_；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为_32013北京 如图Z13，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：tx1，双曲线y.在l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l于点A3，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，An，.记点An的横坐标为an，若a12，则a2_，a2013_；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取的值是_图Z1342012北京 在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m3时，点B的横坐标的所有可能值是_；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m_(用含n的代数式表示)图Z1452011北京 在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j规定如下：当ij时，ai，j1；当ij时，ai，j0.例如：当i2，j1时，ai，ja2，11.按此规定，a1，3_；表中的25个数中，共有_个1；计算a1，1ai，1a1，2ai，2a1，3ai，3a1，4ai，4a1，5ai，5的值为_a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a4，1a4，2a4，3a4，4a4，5a5，1a5，2a5，3a5，4a5，5一、与数与式有关的规律探究12015朝阳一模 一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是_，第n个式子是_(用含n的式子表示，n为正整数)二、与图形有关的规律探究22015西城一模 如图Z15，数轴上点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是_，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是_图Z1532014延庆县一模 如图Z16，点E，D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点，且BECD，DB的延长线交AE于点F，则图中AFB的度数为_；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则AFB的度数为_(用含n的代数式表示，其中，n3且n为整数)图Z1642014昌平区一模 已知：四边形ABCD的面积为1.如图Z17，取四边形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积为_；如图Z17，取四边形ABCD各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为_；取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点，则图中阴影部分的面积为_图Z17三、平面直角坐标系中的规律探究52014石景山一模 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：yx，作A1(1，0)关于直线yx的对称点B1，将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线yx的对称点B2，将点B2向右平移2个单位得到点A3；.请继续操作并探究：点A3的坐标是_，点B2014的坐标是_62015房山一模 如图Z18，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1(0，2)在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是(1，0)，B1C1B2C2B3C3.则点A1到x轴的距离是_，点A2到x轴的距离是_，点A3到x轴的距离是_图Z1872015东城一模 在平面直角坐标系xOy中，记直线yx1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图Z19所示的图形则点B4的坐标是_，点Bn的坐标是_图Z1982014丰台一模 如图Z110，已知直线l：yx，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于一点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，按此作法进行下去，点A4的坐标为(_，_)；点An的坐标为(_，_)图Z11092014顺义一模 如图Z111，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1，A2，A3，A4，表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，均相距一个单位长度，则顶点A3的坐标为_，A31的坐标为_，A3n2(n为正整数)的坐标为_图Z111102014通州一模 如图Z112，在反比例函数y(x0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，Pn(n为正整数，且n1)，它们的横坐标依次为1，2，3，4，n(n为正整数，且n1)分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S1，S2，S3，Sn1(n为正整数，且n2)，那么S1S2S3_，S1S2S3S4Sn1_(用含有n的代数式表示)图Z112112014燕山一模 如图Z113，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0绕点O按顺时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，这样依次得到线段OP3，OP4，OPn.则点P2的坐标为_；当n4m1(m为自然数)时，点Pn的坐标为_图Z113122014西城一模 如图Z114，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(2，0)，正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为_；在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是_；保持上述运动过程，经过点(2014，)的正六边形的顶点是_图Z114132015东城二模 如图Z115，已知A1，A2，An，An1在x轴上，且OA1A1A2A2A3AnAn11，分别过点A1，A2，An，An1作x轴的垂线交直线yx于点B1，B2，Bn，Bn1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，AnBn1，BnAn1，依次相交于点P1，P2，P3，Pn，A1B1P1，A2B2P2，AnBnPn的面积依次记为S1，S2，Sn，则S1_，Sn_图Z115四、定义新运算142014东城一模 现定义运算“”，对于任意实数a，b，都有aba23ab，如：3532335，根据定义的运算求2(1)_若x26，则实数x的值是_152015燕山一模 定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为1，1的差倒数为.记a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，依此类推，则a2_，a2015_162015海淀一模 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角已知ABC是等径三角形，则等径角的度数为_172014海淀一模 在一次数学游戏中，老师在A，B，C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0(a0，b0，c0)游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作若三个盘子中的糖果数都相同，则游戏结束n次操作后的糖果数记为Gn(an，bn，cn)(1)若G0(4，7，10)，则第_次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G0(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G2014_182015海淀模拟 对于正整数n，定义F(n)，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和例如：F(6)6236，F(123)f123210.规定F1(n)F(n)，Fk1(n)F(Fk(n)(k为正整数)例如：F1F10，F2(123)F(F1(123)F(10)1.(1)求：F2(4)_，F2015(4)_；(2)若F3m(4)89，则正整数m的最小值是_192015海淀二模 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜如图Z116，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为(7，5)，则白子B的坐标为_；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为_的位置处图Z116参考答案北京真题体验1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线2(3，1)(0，4)1a1且0b2解析 A1的坐标为(3，1)，A2(0，4)，A3(3，1)，A4(0，2)，A5(3，1)，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，201445032，点A2014的坐标与A2的坐标相同，为(0，4)；点A1的坐标为(a，b)，A2(b1，a1)，A3(a，b2)，A4(b1，a1)，A5(a，b)，以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，解得1a1，0b2.30，1解析 当a12时，B1的纵坐标为b1，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b33，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a42，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b2，即当a12时，a2，a3，a42，a5，b1，b2，b33，b4，b5，671，a2013a3；点A1不能在y轴上(此时找不到B1)，即x0，点A1不能在x轴上(此时A2在y轴上，找不到B2)，即yx10，解得x1.综上可得a1不可取0，1.43或46n3解析 如图：当点B在(3，0)点或(4，0)点时，AOB内部(不包括边界)的整点为点(1，1)，(1，2)，(2，1)，共三个点，所以当m3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4.当点B的横坐标为8时，n2，AOB的内部(不包括边界)的整点个数m9.当点B的横坐标为12时，n3，AOB的内部(不包括边界)的整点个数m15.所以当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m6n3.50151解析 由题意当ij时，ai，j0，当ij时，ai，j1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个由题意，很容易发现，从i与j之间大小关系分析：当ij时，ai，j0；当ij时，ai，j1，a1，1ai，1a1，2ai，2a1，3ai，3a1，4ai，4a1，5ai，51100001.北京专题训练一、与数与式有关的规律探究1.(1)n1解析 观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂、n次幂；分子的变化为：2，5，10，17，n21；分式符号的变化为：，(1)n1.(1)2，(1)3，(1)4，第7个式子是，第n个式子为：(1)n1.二、与图形有关的规律探究2713解析 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数以及A12表示的数，则可判断An与原点的距离不小于20时n的最小值第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为132；第2次点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为264；第3次点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为495；第4次点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为5127.第5次点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7158；则点A7表示的数为8311，点A9表示的数为11314，A11表示的数为14317，A13表示的数为17320，A6表示的数为7310，A8表示的数为10313，A10表示的数为13316，A12表示的数为16319，所以如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13.360解析 (1)在中的正三角形ABC中，ABBC，ABCACB60，ABEBCD120，又BECD，ABEBCD，ED，又FBECBD，AFBEFBEDCBDACB60.由以上不难得到中AEBBDC，进一步证出中BEFBDC，得出，中AFB的度数等于DCB90，同理可得中AFB度数等于BCM108.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时，AFB的度数分别为60，90，108，可得出正n边形中，其他条件不变，则AFB的度数为.4.1解析 如图，连接AC，BD.点A1，D1是边AB，AD的中点，A1，D1是ABD的中位线，A1D1BD，A1D1BD，AA1D1ABD，SAA1D1SABD.同理，SCB1C1SBCD，SBA1B1SABC，SDD1C1SACD，S阴影S四边形ABCD(SAA1D1SCB1C1SBA1B1SDD1C1)1(SABDSBCDSABCSACD)1S四边形ABCD1.如图同理可得S阴影1(SABCSBCDSABCSACD)1S四边形ABCD1.当取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点时，则S阴影1(SABDSBCDSABCSACD)1S四边形ABCD1.三、平面直角坐标系中的规律探究5(3，2)(2013，2014)解析 根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案如图所示：点A3的坐标是(3，2)，B1(0，1)，B2(1，2)，B3(2，3)，B点横坐标比纵坐标小1，点B2014的坐标是：(2013，2014)故答案为：(3，2)，(2013，2014)637(15，8)(2n1，2n1)解析 根据一次函数，得出点A1，A2的坐标，继而得知B1，B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出Bn的坐标把x0代入yx1，可得y1，所以可得点B1的坐标是(1，1)把x1代入直线yx1，可得y2，所以可得点B2的坐标是(3，2)，同理可得点B3的坐标是(7，4)；点B4的坐标是(15，8)；由以上得出规律是Bn的坐标为(2n1，2n1)点评 本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目80802n1解析 已知直线yx，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，可知B1点的坐标为(，1)，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，OA2OB12OA12，点A2的坐标为(0，2)，这种方法可求得B2的坐标为(2 ，2)，故点A3的坐标为(0，4)，点A4的坐标为(0，8)，此类推便可求出点An的坐标为(0，2n1)9(0，1)(11，11)(n，n)解析 从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A1，A2，A3，A4，表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，均相距一个单位长度，A1A22，A1E1，A1(1，1)，EA3，则OA31，则顶点A3的坐标为：(0，1)同理可得出：A4(2，2)，A7(3，3)，4232，7332，10432，311132，A31的坐标为：(11，11)，A3n2(n为正整数)的坐标为(n，n)10.2解析 当x1时，P1的纵坐标为4，当x2时，P2的纵坐标为2，当x3时，P3的纵坐标为，当x4时，P4的纵坐标为1，当x5时，P5的纵坐标为，则S11(42)121；S21(2)1；S31(1)；S1S2S32112；S41(1)；Sn1；S1S2S3S4Sn12112.故答案为，2.11(0，4)(2n1，2n1)(m为正奇数)或(2n1，2n1)(m为0和正偶数)解析 根据点P0坐标可求出OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，OPn，再根据点P2在y轴负半轴上写出P2的坐标即可；分n是正奇数和n是0和正偶数两种情况确定出点Pn所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可，P0的坐标为(1，0)，OP01.OP12，OP22222，OP322223，OP423224，OPn2n122n.每次旋转45，点P0在x轴正半轴上，点P2在y轴负半轴上点P2的坐标为(0，4)OPn为所在象限的平分线，m为正奇数时，点Pn在第二象限，m为0和正偶数时，点Pn在第四象限综上所述，点Pn的坐标为(2n1，2n1)(m为正奇数)，(2n1，2n1)(m为0和正偶数)12(4，0)2A或C解析 点A(1，0)，B(2，0)，OA1，OB2，正六边形的边长为：AB1，当点D第一次落在x轴上时，OD2114，此时点D的坐标为：(4，0)如图所示：当滚动到ADx轴时，E，F，A的对应点分别是E，F，A，连接AD，过点F，E作FGAD，EHAD，垂足分别为G，H，六边形ABCDEF是正六边形，AFG30，AGAF，同理可得：HD，AD2，在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是2.正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，A点从点(1，0)开始到点(2014，)，正六边形正好滚动2013个单位长度3353，恰好滚动335周多3个，A点的纵坐标为，会过点(2014，)的是点A，当点E在(2014，0)位置时，则点F在(2015，0)位置，此时C点在E点的正上方，CE，所以C点也符合题意13.解析 A1，A2，A3，An，An1是x轴上的点，且OA1A1A2A2A3AnAn11，分别过点A1，A2，A3，An，An1作x轴的垂线交直线yx于点B1，B2，Bn，Bn1，依题意得：B1(1，1)，B2(2，2)，B3(3，3)，Bn(n，n)A1B1A2B2，A1B1P1B2A2P1，A1B1P1与A2B2P1对应高的比为12.A1A21，A1B1边上的高为，SA1B1P11，同理可得：SA2B2P2，SA3B3P3，Sn.故答案为，.四、定义新运算1431或4解析 aba23ab，x26，x23x26，解得x1或x4.1522解析 首先根据a1，可得a22，a31，a4，所以这列数是，2，1，2，1，每3个数是一个循环，然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a2015的值是多少即可1630或150解析 根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数如图，边AB与半径相等时，则AOB60，当等径角的顶点为C时，CAOB30，当等径角顶点为D时，CD180，D150，故答案为：30或150.17(1)3(2)(11，9，10)解析 (1)若G0(4，7，10)，第一次操作结果为G1(5，8，8)，第二次操作结果为G2(6，6，9)，第三次操作结果为G3(7，7，7)，所以经过3次操作后游戏结束(2)若G0(4，8，18)，则G1(5，9，16)，G2(6，10，14)，G3(7，11，12)，G4(8，12，10)，G5(9，10，11)，G6(10，11，9)，G7(11，9，10)，G8(9，10，11)，G9(10，11，9)，G10(11，9，10)，由此看出从G5开始3个一循环，(20144)3670，所以G2014与G7相同，也就是(11，9，10)18(1)3726(2)6解析 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一循环，根据这些规律计算即可(1)F2(4)F(F1(4)F(16)126237；F1(4)F(4)16，F2(4)37，F3(4)58，F4(4)89，F5(4)145，F6(4)26，F7(4)40，F8(4)16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)F6(4)26.(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)89F18(4)，因此3m18，所以m6.19(5，1)(3，7)或(7，3)解析 根据题意得，白子点B的坐标为(5，1)因为白方已把(4，6)，(5，5)，(6，4)三点凑在一条直线上，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即位置(3，7)或(7，3)