安徽省黄山市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含解析).doc

2015年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）“复数（aR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a1”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 计算题【分析】： 复数的在与分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，通过对应的点位于第二象限在第二象限，求出a的范围，即可判断它与a1的充要条件关系【解析】： 解：复数=，因为复数（aR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，所以，解得a，所以“复数（aR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a1”的必要而不充分条件故选B【点评】： 本题考查复数的代数形式的混合运算，考查充要条件的应用，考查计算能力2（5分）已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（） A B C D 【考点】： 双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2a2求得b，则双曲线的方程可得【解析】： 解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D【点评】： 本题主要考查了双曲线的标准方程考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用3（5分）已知是第二象限角，则=（） A B C D 【考点】： 两角和与差的正切函数【专题】： 三角函数的求值【分析】： 由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sin，由商的关系求出tan，利用两角和的正切函数求出的值【解析】： 解：由得，因为是第二象限角，所以sin=，则=，所以=，故选：A【点评】： 本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，注意三角函数值的符号，属于中档题4（5分）已知向量与的夹角为若，则实数m=（） A B C D 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 求出=3=3，化简展开（3）（m）=0，代入|=3，|=2，即可得出42m=87，求出m即可【解析】： 解：向量与的夹角为，|=3，|=2，=3=3，=3，=m，（3）（m）=0即3m|2+（5m9）15|2=0，42m=87m=故选：A【点评】： 本题考查了平面向量的运算，熟练运用公式，计算准确，难度不大，关键是根据数量积运算，结合运算法则，运用好向量运算的特殊性5（5分）已知=（x，y）|0x1，0y1，A是由直线y=0，x=a（0a1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（） A B C D 【考点】： 几何概型【分析】： 根据题意，易得区域的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案【解析】： 解：根据题意，区域即边长为1的正方形的面积为11=1，区域A即曲边三角形的面积为0ax3dx=x4|0a=a4，若向区域上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D【点评】： 本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积6（5分）下列四个命题：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；设随机变量服从正态分布N（0，1），若P（1）=p，则P（l0）=p；在回归直线方程y=0lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 概率与统计；简易逻辑【分析】： 这样的抽样是系统抽样，即可判断正误；利用方差的计算公式及其性质，即可判断正误；利用正态分布的对称性可得：P（l0）=，即可判断正误；利用斜率的意义，即可判断正误【解析】： 解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；设随机变量服从正态分布N（0，1），若P（1）=p，则P（l0）=p，正确；在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确其中正确的命题个数是3故选：C【点评】： 本题考查了概率统计的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题7（5分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位曲线C的极坐标方程是=2cos，直线l的参数方程是为参数）若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（） A +1 B 31 C 1 D 32【考点】： 参数方程化成普通方程【专题】： 直线与圆；坐标系和参数方程【分析】： 将=2cos转化为普通方程，将直线l的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值【解析】： 解：由=2cos得，2=2cos，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2=2x，即x2+y22x=0，则曲线C是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，由得，xy+5=0，所以直线l的直角坐标方程是xy+5=0，则圆心（2，0）到直线l的距离d=1，因为M，N分别为曲线C与直线l上的动点，所以|MN|的最小值为1，故选：B【点评】： 本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，化归与转化思想，属于中档题8（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面积不可能为（） A B C D 【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四面体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求【解析】： 解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，其正视图的最大投影面是在xOy或xOz或yOz面上，投影面是边长为1的正方形，正视图的最大面积为1，不可能为，故选：D【点评】： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题9（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（） A 22种 B 24种 C 25种 D 36种【考点】： 排列、组合的实际应用【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，得到结果【解析】： 解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果根据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C【点评】： 排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素10（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意xR，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是（） A （0，） B （0，） C （0，） D （0，）【考点】： 根的存在性及根的个数判断【专题】： 计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】： 由题意可判断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=loga（x+1），画出f（x）与g（x）在时，f（x）=2x2+12x18，令g（x）=loga（x+1），则f（x）与g（x）在0，+）的部分图象如下图y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+）上至少有三个交点，g（x）在（0，+）上单调递减，则，解得：0a，故选A【点评】： 本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力，属于基础题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上）11（5分）已知（1x）n=a0+a1x+a2x2+anxn（nN，n4）若2a2+an一3=0，则n=8【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 计算题；二项式定理【分析】： 由二项展开式的通项公式Tr+1=（1）rxr，可得an=（1）r，于是有2（1）2+（1）n3=0，由此可解得自然数n的值【解析】： 解：由题意得，该二项展开式的通项公式Tr+1=（1）rxr，其系数an=（1）r，2a2+an3=0，2（1）2+（1）n3=0，2=0，n2=6n=8故答案为：8【点评】： 本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项展开式的通项公式得到系数an=（1）r是关键，属于中档题12（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2【考点】： 简单线性规划的应用【专题】： 计算题；数形结合【分析】： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值【解析】： 解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2故答案为：2【点评】： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解13（5分）某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是0.32【考点】： 循环结构；分布的意义和作用【专题】： 图表型【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1000名中学生中，平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的人数【解析】： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1000名中学生中，平均每天做作业的时间不在060分钟内的学生的人数由输出结果为680则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的人数为1000680=320故平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率P=0.32故答案为：0.32【点评】： 本题考查的知识点是程序框图和分层抽样，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型14（5分）已知函数f（x）=，数列an满足an=f（n），nN*，若数列an是单调递增数列，则的取值范围是【考点】： 数列的函数特性【专题】： 函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】： 函数f（x）=，数列an满足an=f（n），nN*，若数列an是单调递增数列，可得，解得2a3=a+1+1，令a+1=t3，4），f（t）=t+1，利用导数研究其单调性即可得出【解析】： 解：函数f（x）=，数列an满足an=f（n），nN*，若数列an是单调递增数列，解得2a3=a+1+1，令a+1=t3，4），f（t）=t+1，f（t）=1=0，f（t）在t3，4）单调递增；f（3）f（t）f（4），可得的取值范围是故答案为：【点评】： 本题考查了数列的函数性质、利用导数研究函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）已知集合A=a1，a2，an中的元素都是正整数，且ala2an，集合A具有性质P：对任意的x，yA，且xy，有|xy|给出下列命题：集合1，2，3，4不具有性质P； ；不等式i（ni）25对于i=1，2，n1均成立； A中最多可以有10个元素其中正确命题的序号是（将所有正确命题的序号都填上）【考点】： 命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断【专题】： 压轴题【分析】： 利用性质对任意的x，yA，且xy，有|xy|，代入即可判断；依题意有|aiai+1|（i=1，2，n1），又a1a2an，因此 ai+1ai（i=1，2，n1）由此能够证明；由，a1可得 1，因此n26同理，由aii即可得判断；由，结合不等式可推导出n9【解析】： 解：由于|12|，|13|，|14|，|23|，|24|，|34|，集合1，2，3，4具有性质P，故不正确；依题意有|aiai+1|（i=1，2，n1），又a1a2an，因此ai+1ai（i=1，2，n1）所以（i=1，2，n1）；所以+，即，故正确；由，a1可得 1，因此n26同理，可知，又aii，可得，所以不等式i（ni）25对于i=1，2，n1均成立，故正确； 由，当n10时，取i=5，则i（ni）=5（n5）25，从而n10，而又当n9时，i（ni）=25，所以n9，故不正确；故答案为：【点评】： 本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内）16（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，求f（A）的取值范围【考点】： 余弦定理；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 计算题；解三角形【分析】： （1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围【解析】： 解：（1）sin2C=2sinAsinB，由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）又a2+b2=6abcosC=3c2cosC由得1+cosC=3cosC，cosC=，又0C，C=；（2）=sin（x）f（x）图象上相邻两最高点间的距离为，T=2f（x）=sin（2x）f（A）=sin（2A）A，02A0sin（2A）10f（A）【点评】： 本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生的计算能力，属于中档题17（12分）在斜三棱柱ABCA1B1Cl中，侧面A1ACC1底面ABC，A1C=CA=AB=a，AA1=a，ABAC，D为AA1的中点（）求证：CD平面ABB1Al（）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角EA1C1一A的大小为【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】： （）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；（）以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则平面A1C1A的一个法向量与平面EA1C1的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值为，计算即可【解析】： （）证明：侧面A1ACC1底面ABC，ABAC，平面A1ACC1底面ABC=AC，AB平面A1ACC1，又CD平面A1ACC1，CDAB，又AC=A1C，D为AA1的中点，CDAA1，CD平面ABB1A1；（）解：已知A1C平面ABC，如图所示，以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（a，0，a），设=（01），则点E的坐标为（1）a，a，a）由题意得平面A1C1A的一个法向量为=（0，1，0），设平面EA1C1的一个法向量为=（x，y，z），=（a，0，0），=（1）a，a，（1）a），由，得，令y=1，则有=（0，1，），=，解得=1，当=（1）时，二面角EA1C1一A的大小为【点评】： 本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题18（12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率【考点】： 离散型随机变量的期望与方差【分析】： （1）的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论【解析】： 解：（1）的所有可能取值为0，1，2 设“第一次训练时取到i个新球（即=i）”为事件Ai（i=0，1，2）因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（=0）=；P（A1）=P（=1）=；P（A2）=P（=2）=，所以的分布列为 的数学期望为E=0+1+2=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=+=【点评】： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键19（12分）己知椭圆的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率（）求椭圆的标准方程；（）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQy轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC的中点，求的值【考点】： 椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算【专题】： 向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再根据=及a、c与b之间的关系，易得a2=4，从而可得椭圆的标准方程；（）设P（x0，y0），x00，则点P满足椭圆方程，根据题意，易得M（，y0）、N（，1），计算即可【解析】： 解：（）且点B在直线l：y=一1上，b=1，又=，a2c2=b2=1a2=4，椭圆的标准方程为；（）设P（x0，y0），x00，则Q（0，y0），且，M为线段PQ的中点，M（，y0），A（0，1），直线AM的方程为：，令y=1，得C（，1），B（0，1），N为线段BC的中点，N（，1），=（，y0+1），=（，y0），=（）+y0（y0+1）=+y0=1（1+y0）+y0=0【点评】： 本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题20（13分）设函数f（x）=lnxp（x1），pR（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2x1），对任意x1都有g（x）0成立，求P的取值范围【考点】： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】： 导数的综合应用【分析】： （1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）对于任意实数x1，g（x）0恒成立，等价于xlnx+p（x21）0，设g（x）=xlnx+p（x21），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x21）在x1时是减函数，再分离参数p，问题转化为求函数的最小值【解析】： 解：（1）当p=1时，f（x）=ln x（x1），f（x）=1，令f（x）0，x（0，1），故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+）；令f（x）0，得x（1，+），故函数f（x）的单调减区间为（1，+）；（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2x1）=xlnx+p（x21），则xlnx+p（x21）0，设g（x）=xlnx+p（x21），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x21）在x1时是减函数即可，又因为g（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+10在x1时恒成立，即p在x1时恒成立，由于时，x=1，得 当x=1时，取最小值，p【点评】： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有一定的综合性21（14分）己知各项均为正数的数列an满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中nN*（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足bn=是否存在正整数m，n（1mn），使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由；（）令cn=，记数列cn的前n项和为Sn，其中nN*，求Sn的取值范围【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）由an+12=2an2+anan+1，可得（an+1+an）（an+12an）=0，由于各项均为正数的数列an，可得an+1=2an，再利用a2+a4=2a3+4，及等比数列的通项公式即可得出（II）bn=，假设存在正整数m，n（1mn），使得b1，bm，bn成等比数列，则，化为=，由0，解出m的范围，再根据正整数m，n（1mn）即可得出（III）cn=，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得Sn，再利用数列的单调性即可得出【解析】： 解：（I）由an+12=2an2+anan+1，可得（an+1+an）（an+12an）=0，各项均为正数的数列an，an+1=2an，数列an是以2为公比的等比数列a2+a4=2a3+4，=+4，解得a1=2（II）bn=，假设存在正整数m，n（1mn），使得b1，bm，bn成等比数列，则，化为=，由0，解得，又正整数m，n（1mn），m=2，此时n=12因此当且仅当m=2，n=12时，使得b1，bm，bn成等比数列（III）cn=，Sn=+=+=，数列即单调递减，0=Sn的取值范围是【点评】： 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题