二次函数平移问题

1 二次函数的平移问题 我们从两个方面进行了一些探讨 概括出二次函数平移后其解析式的变化规律 一 当解析式为一般式 y ax2 bx c a 0 时 1 向上或向下平移时 二次函数解析式的变化规律 将抛物线向上平移 n 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y ax2 bx c n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y ax2 bx c n 两式比较 可得抛物线向上平移 n 个单位 常数项上加 n 即解析式由 y ax2 bx c 变为 y ax2 bx c n 同理可推出抛物线向下平移 n 个单位 常数项上减 去 n 即解析式由 y ax2 bx c 变为 y ax2 bx c n 2 向左或向右平移时 解析式的变化规律 将抛物线向左平移 m 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y a x m 2 b x m c 将抛物线向右平移 m 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y a x m 2 b x m c 两式比较 可得出抛物线向左平移 m 个单位 自变量上减去 m 即解析式由 y ax2 bx c 变为 y a x m 2 b x m c 同理可推出抛物线向右平移 m 个单位 自变量 上加上 m 即解析式由 y ax2 bx c 变为 y a x m 2 b x m c 3 将抛物线向左平移 m 个单位长度后 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x m 2 b x m c n 将抛物线向左平移 m 个单位长度后 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x m 2 b x m c n 将抛物线向右平移 m 个单位长度后 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x m 2 b x m c n 将抛物线向右平移 m 个单位长度后 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x m 2 b x m c n 二 当解析式为顶点式 y a x h 2 k a 0 时 1 向上或向下平移时 解析式的变化规律 将抛物线向上平移 n 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y a x h 2 k n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y a x h 2 k n 将抛物线向上平移 n 个单位 有点的平移规律可知 顶点坐标由 h k 变为 h k n 所以抛物线的解析式由 y a x h 2 k 变为 y a x h 2 k n 将抛物线向下平移 n 个单位 有点的平移规律可知 顶点坐标由 h k 变为 h k n 所以抛物线的解析式由 y a x h 2 k 变为 y a x h 2 k n 比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位 括号外加 n 同理可推出向下平移 n 个单位括号外减去 n 即抛物线解析式由 y a x h 2 k 变为 y a x m h 2 k n 2 向右或向左平移时 解析式的变化规律 将抛物线向左平移 m 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y a x h m 2 k 将抛物线向右平移 m 个单位长度后 得到的新抛物线的解析式为 y a x h m 2 k 将抛物线向左平移 m 个单位 由点的平移规律可知 顶点坐标由 h k 变为 h m k 所以抛物线解析式由 y a x h 2 k 变为 y a x h m 2 k a x h m 2 k 2 将抛物线向右平移 m 个单位 由点的平移规律可知 顶点坐标由 h k 变为 h m k 所以抛物线解析式由 y a x h 2 k 变为 y a x h m 2 k a x h m 2 k 两解析式比较可得出图像向左平移 m 个单位 括号内加上 m 即抛物线解析式 由 y a x h 2 k 变为 y a x h m 2 k 同理可推出向右平移 m 个单位括号内减去 m 即抛物线解析式由 y a x h 2 k 变为 y a x h m 2 k 综上所述 当解析式为顶点式时 解析式的变化规律为上加下减括号外 左加 右减括号内 解析式为一般式时 解析式的变化规律为左加右减自变量 上加下减 常数项 3 将抛物线向左平移 m 个单位长度后 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x h m 2 k n 将抛物线向左平移 m 个单位长度后 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x h m 2 k n 将抛物线向右平移 m 个单位长度后 再将抛物线向上平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x h m 2 k n 将抛物线向右平移 m 个单位长度后 再将抛物线向下平移 n 个单位长度后 得 到的新抛物线的解析式为 y a x h m 2 k n 二次函数的平移练习题 1 把抛物线 y x2向左平移一个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的表达式为 A y x 1 2 3 B y x 1 2 3 C y x 1 2 3 D y x 1 2 3 2 抛物线 y x2 bx c 图像向右平 移 2 个单位再向下平移 3 个单位 所得图像的 解析式为 y x2 2x 3 则 b c 的 值为 A b 2 c 2 B b 2 c 0 C b 2 c 1 D b 3 c 2 3 将函数 y x2 x 的图像向右平移 a a 0 个单位 得到函数 y x2 3x 2 的图像 则 a 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 已知二次函数 y x2 bx 1 1 b 1 当 b 从 1 逐渐变化到 1 的过程中 它所对应的抛物线位置也随之变动 下列关于抛物线的移动方向的描述中 正确的是 A 先往左上方移动 再往右下方移动 B 先往左下方移动 再往左上方移动 B 先往右上方移动 再往右下方移动 D 先往右下方移动 再往右上方移动 5 已知抛物线 C y x 2 3x 10 将抛物线 C 平移得到抛物线 C 若两条抛物线 C C 关于直线 x 1 对称 则下 列平移方法正确的是 A 将抛物线 C 向右平移 2 5 个单位 B 将抛物线 C 向右平移 3 个单位 C 将抛物 线 C 向右平移 5 个单位 D 将抛物线 C 向右平移 6 个单位 6 把二次函数 y x2 x 3 用配方法化成 y a x h 2 k 的形式 41 A y x 2 2 2 B y x 2 2 4 C y x 2 2 4 D y x 2 3 411 7 在平面直角坐标系中 将二次函数 y 2x2的图象向上平移 2 个单位 所得图象的解析式为 A y 2x 2 2 B y 2x 2 2 C y 2 x 2 2 D y 2 x 2 2 8 将抛物线 y 2x2向下平移 1 个单位 得到的抛物线是 A y 2 x 1 2 B y 2 x 1 2 C y 2x 2 1 D y 2x 2 1 9 将函数 y x2 x 的图象向右平移 a a 0 个单位 得到函数 y x2 x 2 的图象 则 a 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 10 把抛物线 y 2x2向右平移 2 个单位 然后向上平移 5 个单位 则平移后抛物线的解析式为 A y 2 x 2 2 5 B y 2 x 2 2 5 C y 2 x 2 2 5 D y 2 x 2 2 5 11 在平面直角坐标系中 先将抛物线 y x2 x 2 关于 x 轴作轴对称变换 再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称 变换 那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A y x 2 x 2 B y x 2 x 2 C y x2 x 2 D y x 2 x 2 3 12 在平面直角坐标系中 将抛物线 y x2 2x 3 绕着它与 y 轴的交点旋转 1800 所得抛物线的解析式是 A y x 1 2 2 B y x 1 2 4 C y x 1 2 2 D y x 1 2 4 13 要得到二次函数 y x2 2x 2 的图象 需将 y x2的图象 A 向左平移 2 个单位 再向下平移 2 个单位 B 向右平移 2 个单位 再向上平移 2 个单位 C 向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 D 向右平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位 14 若二次函数 y x m 2 1 当 x l 时 y 随 x 的增大而减小 则 m 的取值范围是 A m 1 B m 1 C m 1 D m 1 15 如图 点 A B 的坐标分别为 1 4 和 4 4 抛物线 y a x m 2 n 的顶点在线段 AB 上运动 与 x 轴 交于 C D 两点 C 在 D 的左侧 点 C 的横坐标最小值为 3 则点 D 的横坐标最大值为 A 13 B 7 C 5 D 8 16 抛物线 y ax2向左平移 5 个单位 再向下移动 2 个单位得到抛物线 17 二次函数 y 2 x 3 2 1 由 y 2 x 1 2 1 向 平移 个单位 再向 平移 个单位得到 18 抛物线 y 3 x 2 2 3 可由抛物线 y 3 x 2 2 2 向 平移 个单位得到 19 将抛物线 y x 3 2 5 向右平移 3 个单位 再向上平移 2 个单位 得到的抛物线是 3 20 把抛物线 y x 1 2 2 是由抛物线 y x 2 2 3 向 平移 个单位 再向 平移 个单位得 到 21 把抛物线 y ax 2 bx c 的图象先向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得的图象的解析式是 y x 2 3x 5 则 a b c 22 抛物线 y x 2 5x 4 的图像向右平移三个单位 在向下平移三个单位的解析式 23 已知二次函数的图像过点 0 3 图像向左平移 2 个单位后的对称轴是 y 轴 向下平移 1 个单位后与 x 轴 只有一个交点 则此二次函数的解析式为 24 已知 a b c 0 a 0 把抛物线 y ax2 bx c 向下平移 1 个单位 再向左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶 点是 2 0 求原抛物线的解析式 25 已 知 二 次 函 数 y x2 4x 5 指 出 这 个 二 次 函 数 图 象 的 开 口 方 向 对 称 轴 和 顶 点 坐 标 把 这 个 二 次 函 数 的 图 象 上 下 平 移 使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y x 的 图 象 上 求 此 时 二 次 函 数 的 解 析 式 把 这 个 二 次 函 数 的 图 象 左 右 平 移 使 其 顶 点 恰 好 落 在 正 比 例 函 数 y x 的 图 象 上 求 此 时 二 次 函 数 的 解 析 式 26 把抛物线 y 2x 2向左平移 p 个单位 向上平移 q 个单位 则得到的抛物线经过点 1 3 4 9 求 p q 的值 4 27 拋物线 y1 ax 2 6x 8 与直线 y2 3x 相交于 A 1 m 1 求 y1的解析式 2 拋物线 y1经过怎样的 平移可以就可以得到拋物线 y ax 2 28 已知函数 y 2x2 y 2 x 1 2 y 2 x 1 2 1 1 在同一直角坐标系中画出三个函数的图象 2 分别说出 这三个函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 3 试说明 分别通过怎样的平移 可以由抛物线 y 2x2得到 抛物线 y 2 x 1 2和抛物线 y 2 x 1 2 1 4 试讨论函数 y 2 x 1 2 1 的性质 29 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图像 C1经过 A 1 0 B 2 0 顶点为 P 若二次函数的图像 C1 向右平移 2 个单位恰好经过点 3 2 求平移后的图像解析式 直线 y 2x 先向右平移 3 个单位 再向下平 移 1 个单位得到直线与图像 C1恰好有一个交点 求 a 的值 若将二次函数图像 C1向上平移 b 个单位得到图像 C2 C 1和 C2的组合图像与 x 轴恰有 3 个交点 若将二次函数图像 C1向右平移 b 个单位得到图像 C3 C 1和 C3的 组合图像与 x 轴也恰有 3 个交点 求 a 的值 30 已知二次函数 y x2 x 的图象如图 1 求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标 2 将该抛物线沿它的43 对称轴向上平移 设平移后的抛物线与 x 轴 y 轴的交点分别为 A B C 三点 若 ACB 90 0 求此时抛物线的 解析式 3 设 2 中平移后的抛物线的顶点为 M 以 AB 为直径 D 为圆心作 D 试判断直线 CM 与 D 的 位置关系 并说明理由