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2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。1.集合A=，B=，则=【D】（A） （B） （C） （D）解析：本题考查集合的基本运算2.复数在复平面上对应的点位于 【A】A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是 【B】 A.f(x)在（，）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的最小正周期为 D. f(x)的最大值为2解析：本题考查三角函数的性质f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为的奇函数4. 展开式中的系数为10，则实数a等于【D】A.-1 B. C.1 D.2 解析：本题考查二项展开式的通项公式5.已知函数f(x)= 若f（f（0）=4a，则实数a等于【C】A. B. C.2 D.9 解析：f（0）=2，f（f（0）=f(2)=4+2a=4a，所以a=26.右图是求样本，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】 A.S=S+ B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+ 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A. B. C.1 D.2 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【C】A. B. 1 C.2 D.4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y22px（p0）的准线方程为，因为抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，所以 法二：作图可知，抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切与点（-1,0） 所以9.对于数列，“”是“为递增数列”的【B】A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由知所有项均为正项，且，即为递增数列反之，为递增数列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，.10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x( x表示不大于x的最大整数)可以表示为 【B】A. B. C. D. 解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设，所以选B二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）c，则m=-1 解析：，所以m=-112.观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为。解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+.+（i+1）的平方 所以第五个等式为。13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：aB(万吨)C（百万元）A5013B700.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用x,y满足约束条件 表示平面区域为 则当直线过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）不等式的解集为解析：法一：分段讨论综上，原不等式解集为法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数的图像研究B. (几何证明选做题)如图，已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则 解析：,由直角三角形射影定理可得 C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为_(-1,1).(1,1)_解析：直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1，所以直线l与圆的交点坐标为(-1,1).(1,1)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列（1） 求数列的通项公式（2） 求数列的前n项和解： （1）由题设知公差d0由且成等比数列得解得d=1,d=0（舍去）故的通项 （2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得17. （本小题满分12分 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知海里，在中，由正弦定理得=（海里），又海里，在中，由余弦定理得 = 30（海里），则需要的时间（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点。（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。解法一：（）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。 ，四边形ABCD是矩形 A,B,C,D,P的坐标为又E,F分别是AD,PC的中点， , 平面（）由（）知平面BEF的法向量,平面BAP的法向量， =8设平面BEF与平面BAP的家教为，则， ， 平面BEF与平面BAP的夹角为解法二：（）连接PE,EC，在和中，PA=AB=CD,AE=DE, PE=CE,即是等腰三角形，又F是PC的中点，EFPC，又是PC的中点，又（） PA平面ABCD, PABC,又ABCD是矩形， ABBC, BC平面BAP，BCPB,又由（）知PC平面BEF, 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在中，PB=BC, , 所以平面BEF与平面BAP的夹角为19. （本小题满分12分）为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在165180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在17018cm之间的概率。解：（）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。（）由统计图知，样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170180cm之间的概率p=0.5（）样本中女生身高在165180cm之间的人数为10，身高在170180cm之间的人数为4，设A表示事件“从样本中身高在165180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170180cm之间”，则（或）20. （本小题满分13分）如图，椭圆的顶点为，焦点为 ，（）求椭圆C的方程；（）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，|=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：（）由知， 由知a=2c， 又 ， 由解得，故椭圆C的方程为（）设A，B两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，（）当不垂直于x轴时，设的方程为，由与垂直相交于P点且|=1得，即，|=1， = = 1+0+0-1=0,即将代入椭圆方程，得由求根公式可得， = = 将，代入上式并化简得 将代入并化简得，矛盾即此时直线不存在（）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，当X=1时，A,B,P的坐标分别为，当x=-1时，同理可得，矛盾即此时直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在21. （本小题满分14分）已知函数（）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；（）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；（）对（）中的和任意的，证明：解：（），由已知得 解得， 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为， 切线的方程为（）由条件知 （）当a0时，令，解得， 当时，在上递减；当时，在上递增是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点最小值（）当时，在上递增，无最小值，故的最小值的解析式为（）由（）知对任意的 故由得高考试题来源：http:/www.gaokao.com/zyk/gkst/
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