《概率论与数理统计》第二章习题解答

1 第二章 随机变量及其分布 1 解 设公司赔付金额为 则 X 的可能值为 投保一年内因意外死亡 20 万 概率为 0 0002 投保一年内因其他原因死亡 5 万 概率为 0 0010 投保一年内没有死亡 0 概率为 1 0 0002 0 0010 0 9988 所以 的分布律为 X 20 5 0 P 0 0002 0 0010 0 9988 2 一袋中有 5 只乒乓球 编号为 1 2 3 4 5 在其中同时取三只 以 X 表 示取出的三只球中的最大号码 写出随机变量 X 的分布律 解 X 可以取值 3 4 5 分布律为 10 6 4 321 5 5 3 44 10 3524352 CPXC中 任 取 两 球再 在号一 球 为 中 任 取 两 球再 在号一 球 为 号两 球 为号一 球 为 也可列为下表 X 3 4 5 P 106 3 设在 15 只同类型零件中有 2 只是次品 在其中取三次 每次任取一只 作不 放回抽样 以 X 表示取出次品的只数 1 求 X 的分布律 2 画出分布律的图形 解 任取三只 其中新含次品个数 X 可能为 0 1 2 个 35 0 1 C252 P3 1 X 再列为下表 X 0 1 2 P 35 4 进行重复独立实验 设每次成功的概率为 p 失败的概率为 q 1 p 0 pY P X 1 Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P X 3 P Y 0 P X 3 P Y 1 P X 3 P Y 2 P X 1 P Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P X 3 P Y 0 P X 3 P Y 1 P X 3 P Y 2 4 823213 3 0 4 6 0 0 4 60 CC 12 73 7 223 9 有一大批产品 其验收方案如下 先做第一次检验 从中任取 10 件 经验收 无次品接受这批产品 次品数大于 2 拒收 否则作第二次检验 其做法是从中再任取 5 件 仅当 5 件中无次品时接受这批产品 若产品的次品率为 10 求 1 这批产品经第一次检验就能接受的概率 2 需作第二次检验的概率 3 这批产品按第 2 次检验的标准被接受的概率 4 这批产品在第 1 次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率 5 这批产品被接受的概率 解 X 表示 10 件中次品的个数 Y 表示 5 件中次品的个数 由于产品总数很大 故 X B 10 0 1 Y B 5 0 1 近似服从 1 P X 0 0 910 0 349 2 P X 2 P X 2 P X 1 581 09 9 011082 C 3 P Y 0 0 9 5 0 590 4 P 0 X 2 Y 0 0 X 2 与 Y 2 独立 P 0 X 2 P Y 0 0 581 0 590 0 343 5 P X 0 P 0 X 2 Y 0 0 349 0 343 0 692 10 有甲 乙两种味道和颜色极为相似的名酒各 4 杯 如果从中挑 4 杯 能将甲 种酒全部挑出来 算是试验成功一次 1 某人随机地去猜 问他试验成功一次的概率是多少 2 某人声称他通过品尝能区分两种酒 他连续试验 10 次 成功 3 次 试问他 是猜对的 还是他确有区分的能力 设各次试验是相互独立的 解 1 P 一次成功 70148 C 2 P 连续试验 10 次 成功 3 次 此概率太小 103 769 013 按实际推断原理 就认为他确有区分能力 11 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的 但每年总有一些 发明者 撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章 设某地区每年 撰写此类文章的篇数 X 服从参数为 6 的泊松分布 求明年没有此类文章的概率 解 6 025 10 eP 12 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布 求 1 每 分钟恰有 8 次呼唤的概率 2 某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率 5 4 X 1 894 rreeP 0271 136 05 2 5 3 13 某一公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 1 2 t 的泊松分布 而与时间间隔的起点无关 时间以小时计 1 求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率 2 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率 解 2t X 3 320 Pe 52 2 510918 ke 14 解 Xt 1 分钟时 小时 0t 16 30 28 keP 2 故 小时 0 5X 50 346571tt 所以 分钟 3467 9t 15 解 10 50 0 1 862kkkPX 16 解 01 01 953 047 npnpPXe 17 解 设 服从 分布 其分布率为 求 的X 1 0kkp X 分布函数 并作出其图形 解一 0 1 6 kp1p p 0 1X 的分布函数为 011xFxp 18 在区间 上任意投掷一个质点 以 表示这个质点的坐标 设这个质点 0 aX 落在 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例 试求 的分布函数 X 解 当 时 是不可能事件 X x 0FPx 当 时 而 是必然0a0Pxk a 事件 1xka 0X 则 0 xFxPxPXa 当 时 是必然事件 有a 1F 01xxa 19 以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间 以分计 X 的分布函数是 7 00 1 4 xexFX 求下述概率 1 P 至多 3 分钟 2 P 至少 4 分钟 3 P 3 分钟至 4 分钟之间 4 P 至多 3 分钟或至少 4 分钟 5 P 恰好 2 5 分钟 解 1 P 至多 3 分钟 P X 3 2 1 e 2 P 至少 4 分钟 P X 4 6 1 F 3 P 3 分钟至 4 分钟之间 P 3 X 4 6 12 3 4 eFX 4 P 至多 3 分钟或至少 4 分钟 P 至多 3 分钟 P 至少 4 分钟 6 12 e 5 P 恰好 2 5 分钟 P X 2 5 0 20 设随机变量 X 的分布函数为 1 ln0 exFX 求 1 P X 2 P 0 X 3 P 2 X 2 求概率密度 fX x 5 解 1 P X 2 F X 2 ln2 P 0 X 3 F X 3 F X 0 1 4lnl 25 2 2 其 它 0 1 exxf 21 设随机变量 的概率密度 为X f 1 其 它02 2xxf 2 其 他1 xf 求 X 的分布函数 F x 并作出 2 中的 f x 与 F x 的图形 解 1 当 1 x 1 时 21arcsinarcsin210 2 11 x x ddF X 当 1 x 时 0 111 xd 故分布函数为 x x xF112arcsin0 2 解 2 xdtfXP 102210 200 10 21 0 xxx dttdttxFttxx时当 时当 时当 时当 8 故分布函数为 xxF211200 2 中的 f x 与 F x 的图形如下 22 由统计物理学知 分子运动速度的绝对值 服从迈克斯韦尔 Maxwell 分X 布 其概率密度为 200 xbAefx 其 其中 为 Boltzmann 常数 为绝对温度 是分子的质量 试2bmkT Tm 确定常数 A 解 1xd 即 20 xbfAed 20 xbed 2220 0 xxxbbbAe 22 10 02xx bbAbeded 12 201ue 4Ab x1 20 f x x1 20 F x 9 当 时 0t 0tTFd 当 时 2410 xt tTfxtFedt 241e 241 0tTt 50105150PPTF 52410241e 或 05Tftd 12412450tede 23 某种型号的电子的寿命 X 以小时计 具有以下的概率密度 其 它01 2xxf 现有一大批此种管子 设各电子管损坏与否相互独立 任取 5 只 问其中至少 有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少 解 一个电子管寿命大于 1500 小时的概率为32 1 1 01050 50 5 502 xdxXPXP 令 Y 表示 任取 5 只此种电子管中寿命大于 1500 小时的个数 则 32 5 BY 2431321 1 31 0 2 5 45 CYPP 24 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X 以分计 服从指数分布 其概率 密度为 其 它 051 xexFX 某顾客在窗口等待服务 若超过 10 分钟他就离开 他一个月要到银行 5 次 以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 写出 Y 的分布律 并求 P Y 1 解 该顾客 一次等待服务未成而离去 的概率为 210510510 edxedxfXPxX 10 因此 5 4321 1 5 5 5222 kekYPeBY即 670483 1867 01 1356 0 89 7 5 P 25 设 K 在 0 5 上服从均匀分布 求方程 有实根的概242 Kx 率 K 的分布密度为 其 他0551 Kf 要方程有根 就是要 K 满足 4K 2 4 4 K 2 0 解不等式 得 K 2 时 方程有实根 5351 2 dxdxfP 26 设 X N 3 2 2 1 求 P 2 X 5 P 4 2 P X 3 若 X N 2 则 P X P 2 X 5 1 0 5 352 0 8413 0 3085 0 5328 P 42 1 P X 2 1 P 2 P3 1 P X 3 1 1 0 5 0 5 2 2 决定 C 使得 P X C P X C P X C 1 P X C P X C 得 P X C 0 521 又 P X C C 3023 5 03 查 表 可 得 27 某地区 18 岁的女青年的血压 收缩区 以 mm Hg 计 服从 在 12 N 该地区任选一 18 岁女青年 测量她的血压 X 求 1 P X 105 P 100 x 0 05 解 384 061 417 0 4167 0 1205 11 592 0176 21 83 0 21 65 65 0 XP 74129 4 0 64512 50 Xxx xP故 最 小 的查 表 得 28 由某机器生产的螺栓长度 cm 服从参数为 10 05 0 06 的正态分布 规定长度在范围 10 05 0 12 内为合格品 求一螺栓为不合格的概率是多少 设螺栓长度为 X P X 不属于 10 05 0 12 10 05 0 12 1 P 10 05 0 12 X 10 05 0 12 1 06 5 1 25 1 06 5 1 25 1 1 2 2 1 0 9772 0 0228 0 0456 29 一工厂生产的电子管的寿命 X 以小时计 服从参数为 160 未知 的 正态分布 若要求 P 120 X 200 0 80 允许 最大为多少 P 120 X 200 80 4016201620 又对标准正态分布有 x 1 x 上式变为 4 解出 9 0 0 便 得 再查表 得 25 318 421 4 30 解 2230 10 P8P12 4 375 1 02VVNXNp 则 31 解 8 3301 xFx 32 解 0 1 0 1 1 fgaafxdfxdagxda 且 12 所以 为概率密度函数 1 afxgx 33 设随机变量 X 的分布律为 X 2 1 0 1 3 P 5650 求 Y X 2 的分布律 Y X 2 2 2 1 2 0 2 1 2 3 2 P 11531 再把 X 2 的取值相同的合并 并按从小到大排列 就得函数 Y 的分布律为 Y 0 1 4 9 P 556 30 34 设随机变量 X 在 0 1 上服从均匀分布 1 求 Y eX 的分布密度 X 的分布密度为 为 其 他xf1 Y g X eX 是单调增函数 又 X h Y lnY 反函数存在 且 min g 0 g 1 min 1 e 1 max g 0 g 1 max 1 e e Y 的分布密度为 为 其 他yeyhfy 01 2 求 Y 2lnX 的概率密度 Y g X 2lnX 是单调减函数 又 反函数存在 Yeh 且 min g 0 g 1 min 0 0 max g 0 g 1 max 0 Y 的分布密度为 为 其 他yeyhfy yy0211 35 设 X N 0 1 1 求 Y eX 的概率密度 X 的概率密度是 xe xfx 21 2 Y g X eX 是单调增函数 又 X h Y lnY 反函数存在 且 min g g min 0 0 max g g max 0 13 Y 的分布密度为 为 其 他ye yhfy y00121 ln2 2 求 Y 2X2 1 的概率密度 在这里 Y 2X 2 1 在 不是单调函数 没有一般的结论可用 设 Y 的分布函数是 FY y 则 FY y P Y y P 2X 2 1 y 11 当 y1 时 y FY y 212yxde 4 1 2 y 3 求 Y X 的概率密度 Y 的分布函数为 FY y P Y y P X y 当 y0 时 y FY y 221 yyxe de 36 1 设随机变量 X 的概率密度为 f x 求 Y X 3 的概率密度 Y g X X 3 是 X 单调增函数 又 X h Y 反函数存在 1 且 min g g min 0 max g g max 0 Y 的分布密度为 y f h h h y 0 31 2 yyf 但 14 0 2 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布 求 Y X 2 的概率密度 法一 X 的分布密度为 0 xexf Y x2 是非单调函数 当 x 0 时 y x2 反函数是 y 当 x 0 时 y x2 x Y fY y ff y 00 211yeyey 法二 yXPXPYF 0 01yedxeyy Y fY y 0 21y 37 设 X 的概率密度为 为 其 他x xf0 2 求 Y sin X 的概率密度 FY y P Y y P sinX y 当 y 0 时 F Y y 0 当 0 y 1 时 F Y y P sinX y P 0 X arc sin y 或 arc sin y X ydxdxarcsin2arcsin02 当 1 y 时 F Y y 1 Y 的概率密度 y 为 y 0 时 y F Y y 0 0 0 y 1 时 y FY y yydxdxarcsin2arcsin2 1 1 y 时 y F Y y 0 38 设电流 是一个随机变量 它均匀分布在 9 安 11 安之间 若此电流通过I 2 欧的电阻 在其上消耗 求 的2 WI 概率密度 xO y y x2 15 解 在 上服从均匀分布I 9 1 的概率密度为 120qxfx 其 的取值为2WI 164W 分布函数 22w wFPIPI 2qQifxd 21 wqdx 1 64420wfF 其 39 某物体的温度 T oF 是一个随机变量 且有 T N 98 6 2 试求 的 概率密度 已知 395 法一 T 的概率密度为 tetft 21 6 98 2 又 是单调增函数 395 Tg 反函数存在 h 且 min g g min max g g max 的概率密度 为 5921 4 6 83259 e hf 010 37 82 法二 根据定理 若 X N 1 1 则 Y aX b N a 1 b a2 2 由于 T N 98 6 2 故 95 3295 6 985 1695 故 的概率密度为 16 1092951 10 37 8295322ee