《概率论与数理统计》习题及答案--第一章

1 概率论与数理统计 习题及答案 第 一 章 1 写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点 1 掷一颗骰子 记录出现的点数 出现奇数点 A 2 将一颗骰子掷两次 记录出现点数 两次点数之和为 10 第一次的点数 比第二次的点数大 2 B 3 一个口袋中有 5 只外形完全相同的球 编号分别为 1 2 3 4 5 从中同 时取出 3 只球 观察其结果 球的最小号码为 1 4 将 两个球 随机地放入到甲 乙 丙三个盒子中去 观察放球情 ab 况 甲盒中至少有一球 A 5 记录在一段时间内 通过某桥的汽车流量 通过汽车不足 5 台 A 通过的汽车不少于 3 台 B 解 1 其中 出现 点 12456 Seeii1 26 3 2 1 6 2 12 4 35 4 5 6 66 4 A 3123B 3 5 1 4 5 1 24 5S 5 4 3 4 ababab 其中 表示空盒 A 5 0 12 0 1234 SB 2 设 是随机试验 的三个事件 试用 表示下列事件 BCE AC 2 1 仅 发生 A 2 中至少有两个发生 BC 3 中不多于两个发生 4 中恰有两个发生 5 中至多有一个发生 解 1 A 2 或 BC BACB 3 或 ACB 4 5 或 3 一个工人生产了三件产品 以 表示第 件产品是正品 试 1 23 i i 用 表示下列事件 1 没有一件产品是次品 2 至少有一件产品是次品 iA 3 恰有一件产品是次品 4 至少有两件产品不是次品 解 1 2 3 3A12A 4 123123123A 13 4 在电话号码中任取一个电话号码 求后面四个数字全不相同的概率 解 设 任取一电话号码后四个数字全不相同 则 4106 502P 5 一批晶体管共 40 只 其中 3 只是坏的 今从中任取 5 只 求 1 5 只全是好的的概率 2 5 只中有两只坏的的概率 解 1 设 5 只全是好的 则A 3740 62CP 2 设 5 只中有两只坏的 则B 23740 5 A 6 袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球 今从袋中任取 3 个球 求 1 3 个球的最小号码为 5 的概率 2 3 个球的最大号码为 5 的概率 解 1 设 最小号码为 5 则A 3 25310 CPA 2 设 最大号码为 5 则B 24310 7 1 教室里有 个学生 求他们的生日都不相同的概率 r 2 房间里有四个人 求至少两个人的生日在同一个月的概率 解 1 设 他们的生日都不相同 则A 365 rP 2 设 至少有两个人的生日在同一个月 则B 2123214414 96CCP 或 412 1 P 8 设一个人的生日在星期几是等可能的 求 6 个人的生日都集中在一个星 期中的某两天 但不是都在同一天的概率 解 设 生日集中在一星期中的某两天 但不在同一天 则A 为什么 267 0 17CP 9 将 等 7 个字母随机地排成一行 那么恰好排成英文 EINS 单词 SCIENCE 的概率是多少 解 1 设 恰好排成 SCIENCE A 将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件 所有的排法 字母 在 7 个位置中占两个位置 共有 种占法 字母 在余下的 5 个C27CE 位置中占两个位置 共有 种占法 字母 剩下的 3 个位置上全排列的25 IN 方法共 3 种 故基本事件总数为 而 中的基本事件只有2753 160 A 一个 故 275 PAC 解 2 七个字母中有两个 两个 把七个字母排成一排 称为不尽相E 异元素的全排列 一般地 设有 个元素 其中第一种元素有 个 第二种元n1n 4 素有 个 第 种元素有 个 将这 个元素排成一2nkkn12 kn n 排称为不尽相异元素的全排列 不同的排列总数为 12 k 对于本题有 41 7 60PA 10 从 等 个数字中 任意选出不同的三个数字 试求下列事0 12 9 0 件的概率 三个数字中不含 0 和 5 三个数字中不含 0 或 5 2 三个数字中含 0 但不含 5 3A 解 38107 CP 3982311045 或 822310 CPA 83107 11 将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆 每堆两只 求事件nn 每堆各成一双 的概率 A 解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题 不同的分法共n 每堆各成一双 共有 种情况 故 2 n 2 nPA 12 设事件 与 互不相容 求 与AB0 4 3B PAB P 解 1 1 因为 不相容 所以 于是 0 6P 13 若 且 求 AB AP B 5 解 1 1 PABPAB 由 得 p 14 设事件 及 的概率分别为 求 及 qr PA B 解 1PABPAB 1qprpr 15 设 且 仅发生一个的概率为 0 5 求 都 0 7 发生的概率 解 1 由题意有 0 5 PABPAB 72 所以 01 解 2 仅发生一个可表示为 故 ABAB 5 2 PPAB 所以 01 16 设 求 与 7 0 3 0 P 解 3 7 ABAB 所以 0 4P 故 6 2 04BAPB 所以 0 P 1 1 0 1PAB 17 设 试证明C C 证 因为 所以AB PB 6 故 证毕 1PABC 18 对任意三事件 试证 PABPA 证 CB 证毕 19 设 是三个事件 且 ABC1 04PC 求 至少有一个发生的概率 1 8P 解 PBCPABA 因为 所以 于是0 0 0 31548ABC 20 随机地向半圆 为正常数 内掷一点 点落在园2yax 内任何区域的概率与区域的面积成正比 求原点与该点的连线与 轴的夹角小x 于 的概率 4 解 半圆域如图 设 原点与该点连线与 轴夹角小A 于 由几何概率的定义 214 aP 的 面 积半 园 的 面 积 1 21 把长为 的棒任意折成三段 求它们可以构成三角形的概率 a 解 1 设 三段可构成三角形 又三段的长分别为 A xyay 则 不等式构成平面域 0 0 xyxya S 发生 0 22x 不等式确定 的子域 所以SA 1 4PA 的 面 积的 面 积0yxyx a 4 xS0a 2 a 2a aA 7 解 2 设三段长分别为 则 且 xyz0 0 xayza 不等式确定了三维空间上的有界平面域 xyza S 发生A z yx 不等式确定 的子域 所以SA 1 4PA 的 面 积的 面 积 22 随机地取两个正数 和 这两个数中的每一个都不超过 1 试求xy 与 之和不超过 1 积不小于 0 09 的概率 xy 解 不等式确定平面域 0 x S 则 发生的A 1 0 9xy A 充要条件为 不 0 xy 等式确定了 的子域 故 0 91 Pd 的 面 积S的 面 积 0 418ln3 2 23 蒲丰投针问题 在平面上画出等距离 的一些平行线 向平 a 面上随机地投掷一根长 的针 求针与任一平行线相交的概率 la 解 设 针与某平行线相交 针落在平面上的情况不外乎图中的几种 A 设 为针的中点到最近的一条平行线的距离 x 为针与平行线的夹角 则 不等式确定了平面0 2ax 上 的一个区域 S 发 生 不 等 式 确 定 的 子 域Asin2Lx Sayay x z y A 2a xy 0 y A S sinl 1 y y 1 y 0 90 10 y A S y 8 A 故 012 sin2LPAdaa