【高三试卷】高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）

高考备考冲刺阶段数学学科训练材料理科本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1已知向量，函数（1）求函数的最大值，并写出相应的取值集合；（2）若，且，求的值2. 已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）设，且，求的值3. 在ABC中，内角所对的边分别是，且满足：又.（1）求角A的大小； （2）若，求的面积4. 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc （1） 求sinA的值； （2）求的值5. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM 2.5日均值（微克/立方米）25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311来源:学|科|网113（1）从这10天的PM 2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求的分布列；（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）. 6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；(3) 经过多次测试后，甲成绩在810米之间，乙成绩在9.510.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏4020不喜欢玩游戏20合计（1）请补充完成列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？（2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数的分布列与数学期望。 附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.8288射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分的分布列和数学期望E；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。9. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成60的角，底面是边长为2的正三角形，其重心为点， 是线段上一点，且（1）求证：/侧面；（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值10. 如图，三棱柱中, ,平面平面,与相交于点.（1）求证：平面;（2）设点是直线上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.11. 如图所示,在四棱柱中,底面是梯形,侧面为菱形,.(1) 求证:;(2) 若,点在平面上的射影恰为线段的中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.12已知平行四边形，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值 13. 设等差数列的前项和为，满足：.递增的等比数列前项和为，满足：，（1）求、的通项公式（2）设数列对，均有成立，求14. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰好是等比数列的前三项（1）求数列、的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围15已知数列满足且。（1）求的值；（2）是否存在一个实数，使得且为等差数列？若存在，求出的值；如不存在，请说明理由；（3）求数列的前n项和16已知数列中，（1）证明数列是等比数列；（2）若是数列的前n项和，求.17. 已知椭圆 经过点，且其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的右焦点，椭圆与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆相交于另一点A，且满足，求ABF外接圆的方程.18已知圆，若椭圆的右顶点为圆M的圆心，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线，若直线与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且，求的值19. 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值20已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物线在第一象限的交点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21. 设函数(其中).(1) 当时,求函数的单调区间和极值；(2) 证明：当时，函数在上有且只有一个零点22. 已知函数的图像在点处的切线与直线平行.（1）求a，b满足的关系式；（2）若上恒成立，求a的取值范围；（3）证明： （nN*）23. 已知函数有且只有一个零点.（1）求a的值；（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的最小值；（3）设，对任意，证明：不等式恒成立.24. 已知函数. 求函数的单调增区间； 记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，使得：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，请说明理由. 参考答案:1.解析：（1），当，即当时，；（2）由（1）得：，。，2.解析：（1）， 由得，当即时，递增；当即时，递减；当即时，递增综上，函数在区间、上递增，在区间上递减（2）由，即，得， 因为，所以，可得， 则 3. 解：（1）, 又 （2），即 ,又4. 解：（1）由余弦定理得又 （2）原式5.解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则答：恰有一天空气质量达到一级的概率为（2） 依据条件，服从超几何分布，其中的可能取值为0，1，2，3，其分布列为0123来源:学&科&网（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级6. 解：(1)第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14，此次测试总人数为(人). 第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.280.300.14)5036(人)即这次铅球测试成绩合格的人数为36(2)=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,.，. 所求分布列为X012P 两人中成绩不合格的人数的数学期望为 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为， 事件“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为，如图所示. 由几何概型. 即甲比乙投掷远的概率为7. 解：（1）统计数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏402060不喜欢玩游戏203050合计6050110将表中的数据代入公式，可求得查表有的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。 （2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有（名），“认为作业不多”的学生有2名。 由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数的所有可能取值为2,3,4. 其中 所以的分布列为234故的数学期望为8. 解析：（1）的所有可能取值为，则，的分布列为：， （2）射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 ,；, 因为，所以应选择方案2通过测试的概率更大 9. 解：（1）延长B1E交BC于点F， FEB，BE=EC1， BF=B1C1=BC，从而点F为BC的中点G为ABC的重心， A、G、F三点共线 且，又GE侧面AA1B1B， GE/侧面AA1B1B（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1HAB，垂足为H，侧面AA1B1B底面ABC， B1H底面ABC又侧棱AA1与底面ABC成60的角，AA1=2，B1BH=60，BH=1，B1H= 在底面ABC内，过H作HTAF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1TAF，又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，B1TH为所求二面角的平面角 AH=AB+BH=3，HAT=30，HT=AH在RtB1HT中，从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为 解法2：（1）侧面AA1B1B底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60的角，A1AB=60， 又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO底面ABC 以O为原点建立空间直角坐标系O如图， 则， G为ABC的重心， 又GE侧面AA1B1B，GE/侧面AA1B1B （2）设平面B1GE的法向量为，则由得可取 又底面ABC的一个法向量为 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则 由于为锐角，所以，进而故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为 10.解析：（1）由已知得侧面是菱形,是的中点， 平面平面，且，平面平面=AC1平面. （2）设点是的中点，因为点是的中点，所以平面，又因为面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以点是的中点。 如图，以为原点,以所在直线分别为轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系.由已知可得 所以 设平面的一个法向量是由得，又由令，所以 平面平面 ，所以平面是平面的一个法向量是， 平面与平面夹角的余弦值是 11.解析：解一：（1）因为侧面为菱形，所以，又，所以，从而. （2）设线段的中点为，连接、，由题意知平面.因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图1所示.设，由可知，所以，从而，. 所以 . 由可得，所以. 设平面的一个法向量为，由，得 取，则，所以. 又平面的法向量为，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 解二：（1）连接、，设交于点，连，如图2所示.图2由，可得，所以.由于是线段的中点，所以，又根据菱形的性质，所以平面，从而. （2）因为，所以延长、交于点，延长、交于点，且，.连接，则.过点作的垂线交于点，交于点，连接，如图3所示.因为，所以.由题意知平面，可得， 故是平面与平面所成二面角的平面角. 图3易知，所以.在中，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12.解析： (1) 如图证明：取的中点，连接 为中点，且 为平行四边形边的中点，且 ，且四边形是平行四边形平面，平面 平面 （2）取的中点，连接，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，根据余弦定理，可得在中，即又，所以又面面 （3）过作于，连接又是二面角的平面角在中，故所以二面角的正切值为 13. 解：由题意得，得则公差，则则是方程的两根，得又，则，则（2）两式相减得则又，则则14.解：（1），当时，恒成立， 当时，是公差的等差数列. 构成等比数列，解得， 当时，由条件可知， 数列的通项公式为. ，数列的通项公式为 （2）， 对恒成立， 即对恒成立， 11分令，当时，当时， ， 15.解析：（1）当n=2时，当n=3时， （2）法一：当时， 要使为等差数列，则必须使, 即存在，使为等差数列 法二：利用，可得，再证明为等差数列.（3） 因为当时，为等差数列，且，所以 所以 所以 16.解析：（1）设，则， 因为所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，即， 由，得， 所以， ， 17. 解：（1）因为椭圆经过点，所以.因为椭圆的离心率为，所以，即.联立解得，.所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，椭圆的方程为，所以.设，则.因为，且，所以，即.联立解得，或，所以或.当为时，因为，所以ABF的外接圆是以为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为.当为时，设ABF的外接圆方程为，则解得此时外接圆的方程为.综上所述，ABF的外接圆的方程为或.18. 解：（1）圆M的圆心为，则，故椭圆C的方程为（2）设，由直线与椭圆C交于两点A，B则 得所以，点M到直线的距离，则显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线就是y轴，矛盾， 即， 解得，即19.解：（1）由题意得： 所以 又因为点在椭圆上，所以，可解得所以椭圆标准方程为 （2）设直线方程为，设、由得：， 因为，所以， 又， 因为为锐角，所以， 即，所以，所以 所以即，所以所以，解得或 （3）由题意：设点，,因为不在坐标轴上，所以直线的方程为化简得： 同理可得直线的方程为 把点的坐标代入、得所以直线的方程为， 令，得，令得，所以，又点在椭圆上，所以， 即为定值 20.（1）解法1： 点是直线与抛物线在第一象限的交点，设点 抛物线C的准线为，由结合抛物线的定义得 又点在抛物线C上， 由联立解得，所求抛物线的方程式为 解法2：点是直线与抛物线在第一象限的交点，设点 抛物线C的焦点为，由得即 又点在抛物线C上， 由联立解得，所求抛物线的方程式为 （2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必在轴上，设 又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得， 直线的方程为 令得，点的坐标为， 点在以为直径的圆上， 要使方程对恒成立，必须有解得 在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为 解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得， 直线的方程为 7分令得，点的坐标为 以为直径的圆方程为： 分别令和，由点在抛物线上得将的值分别代入得：联立解得或 在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或将的坐标代入式得，左边=右边将的坐标代入式得，左边=不恒等于0 在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为 21. 解: (1) 当k=1时, ,.当变化时,的变化如下表:减增增由表可知, f(x)的增区间(-,0), (ln2, +), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为.(2) .当x1时, f(x)0, 所以f(x)在(-,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在1, +)上有且只有一个零点.，若, 当x1时, , f(x)在1,+)上单调递增, ,所以f(x)在1,+)上有且只有一个零点.若, 则,f(1)=-k0, .令, .所以f(x)在1,+)上有且只有一个零点.综上得:f(x)在R上有且只有一个零点.22.解：（1），根据题意，即.（2）由（）知，令，则，=当时， ，若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立时，当时，在增函数，又，所以综上所述，所求的取值范围是.（3）由（2）知当时，在上恒成立取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，n，然后n个不等式相加得23.解析：（1）的定义域为，由，得. 当时，；当时， 在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在处取得最大值由题意知，解得 （2）法一、由题意得，故在恒成立， 设，由（1）得，在单调递减， ，故实数k的最小值为。 法二、由题意得，设，则， ，当时，在递增，故即，； 8分当时，设，则，在递减，在递增， ，即，即，由（1）得，在时恒成立，故符合。综上，故实数k的最小值为。 10分（3）由不妨设，则要证明， 只需证明， ，即证 12分设，则只需证明（*） 由（2）得， 在时恒成立，故（*）式成立，原不等式恒成立 24. 解：（1）函数的定义域是. 由已知得，. 当时, 令,解得;函数在上单调递增 当时， 当时，即时, 令,解得或;函数在和上单调递增 当时，即时, 显然，函数在上单调递增； 当时，即时, 令,解得或函数在和上单调递增.综上所述:当时,函数在上单调递增当时,函数在和上单调递增当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增.(2)假设函数存在“中值相依切线”.设,是曲线上的不同两点，且，则，. .曲线在点处的切线斜率， 依题意得：.化简可得 ， 即=. 设 ()，上式化为：,令,.因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”第 28 页 共 28 页