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长葛市第三实验高中2010年高考模拟试卷（二）数学试题（理科）（答卷时间：120分钟，满分：150分）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共四页全部解答都写在答卷（卡）上，不要写在本试卷面上考生注意：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班别、考号用钢笔写在答题卡上2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）；如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：Pn（k）=CPk（1P）nk；（k=0，1，2，n）球的表面积公式S=；球的体积公式V球=，其中R表示球的半径第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合，集合，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2为虚数单位，且，则的值为（ ）ABC4D3已知两个非零向量的值为（ ）A3B24C21D124经过抛物线的焦点，且方向向量为的直线的方程是（ ）ABCD5正项的等差数列中，数列是等比数列，且，则b6b8的值为（ ）ABCD6函数具有性质（ ）A最大值为，图象关于直线对称B最大值为1，图象关于直线对称C最大值为，图象关于对称D最大值为1，图象关于对称7某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有（ ）A84种B98种C112种D140种8如果实数、满足条件，那么的最大值为（ ）A2B1CD9设是函数f（x）2x（）xx的反函数，则1成立的x的取值范围是（ ）ABCD10在三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ABC、ACD、ADB的面积分别为、则三棱锥ABCD的外接球的体积为（ ）ABCD11F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线的离心率是（ ）A2BC3D12已知f （x）为偶函数，且f （2+x）=f （2x），当2x0时，f （x）=2x, an=f （n）, nN*，则a2010的值为（ ）A2010B4CD4第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上）13展开式中，常数项是 14中，三内角所对边的长分别为，已知，不等式 的解集为，则 15ABCD与CDEF是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，M是BC的中点，则异面直线AM与DF所成角的正切值为 16与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请把解答过程写在答题卡相应位置上）17（本小题满分10分）在ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a=2，设 （1）用表示b； （2）若求的值18（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45，且AD=2，SA=1 （1）求证：平面SAP； （2）求二面角ASDP的大小19（本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖 （1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率； （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求的分布列及20（本小题满分12分）在数列中，已知a1=2，an+1=4an3n1，n （1）设，求数列的通项公式; （2）设数列的前n项和为Sn，证明：对任意的n，不等式Sn+14Sn恒成立21（本小题满分12分）已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值22（本小题满分12分）已知函数 （1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数a的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ADCBDCDBAACC二、填空题（每小题5分，共20分）13 14 15 16三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（本题满分10分）（1）解：在ABC中，a=2， 1分由正弦定得，得，2分即3分所以4分 （2）解：由（1）得5分因为所以所以7分又9分所以 10分18（本题满分12分）证明：（1）因为底面，所以，SBA是SB与平面ABCD所成的角1分由已知SBA=45，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=，2分又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以3分因为SA底面ABCD,平面ABCD,所以SAPD, 4分由于SAAP=A 所以平面SAP5分 （2）设Q为AD的中点,连结PQ, 6分由于SA底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD平面PAD7分因为PQAD,所以PQ平面SAD过Q作QRSD,垂足为R,连结PR,由三垂线定理可知PRSD,所以PRQ是二面角ASDP的平面角9分容易证明DRQDAS,则因为DQ= 1，SA=1，所以10分在RtPRQ中，因为PQ=AB=1，所以11分所以二面角ASDP的大小为12分或：过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE，平面SAP。平面SPD7分HE为AE在平面SPD内的射影，由三垂线定理得从而是二面角ASDP的平面角9分在中,，在中,， 11分即二面角的大小为12分解法二：因为底面，所以，SBA是SB与平面ABCD所成的角1分由已知SBA=45，所以AB=SA=1建立空间直角坐标系（如图）由已知，P为BC中点于是A（0,0,0）、B（1,0,0） 、P（1,1,0）、D（0,2,0）、S（0,0,1）2分 （1）易求得,，3分因为，=0。所以，由于APSP=P，所以平面SAP 5分 （2）设平面SPD的法向量为由,得解得，所以 8分又因为AB平面SAD，所以是平面SAD的法向量，易得9分所以 11分所求二面角的大小为 12分19（本题满分12分）解：（1）设“世博会会徽”卡有张，由=，得n=43分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为5分（2）可能取的值为0，1，2，3，4，则6分 9分0123410分0+1+2+3+4= 12分法二（1）设“海宝”卡有张，由得n=6或n=13（舍去） 3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为5分 （2） 6分0123410分 12分20（本题满分12分）解：（1）3分且 4分为以1为首项，以4为公比的等比数列 5分 （2）， 6分 8分 11分12分21（本题满分12分）解：（1）设，依题意得 2分解得 3分椭圆的方程为 4分（2）当AB 5分当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，由已知得 6分代入椭圆方程，整理得 7分当且仅当时等号成立，此时10分当 11分综上所述：，此时面积取最大值 12分22（本题满分12分）解：（1）因为，则， 1分当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减，函数在处取得极大值 3分函数在区间（其中）上存在极值，解得 5分（2）不等式，即为， 7分记， 9分令，则，在上递增，从而，故在上也单调递增， 12分
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