鲁教初中数学几何定理.doc

数学几何定理点角线 一 基本定理 A1线段公理：(1)两点之间，线段最短。 (2)经过两点有且只有一条直线。 A B L2角的性质：(1)等（同）角的补角相等 (2)等（同）角的余角相等。 (3)对顶角相等。3垂线公理：(1)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 二 平行线1平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行2平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。3平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。三角形 一 三角形的角和边1三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于360。2三角形内角和定理：三角形的内角和等于180。2三角形边的关系：三角形的任何两边的和大于第三边、三角形的任何两边的差小于第三边 二 三角形的线1角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。2三角形中线定理：(1)每条三角形中线分得的两个三角形面积相等(2)三条中线交于三角形的重心，将三角形面积平分为相等的三部分3线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。三角形中位线的判定：在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线 二 等腰三角形1等腰三角形的基本性质等腰三角形的两个边相等。等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，两边就相等（简写成“等角对等边”），那么这个三角形为等腰三角形如果一个三角形有两边相等，底角就相等，那么这个三角形为等腰三角形3等腰三角形三线合一定理：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 三 等边三角形1等边三角形的基本性质:等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60。2等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 四 直角三角形1直角三角形的基本性质:直角三角形的两个锐角互余；2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；3勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。4直角三角形斜边上中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半530直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 30直角三角形逆定理：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。 五 锐角三角函数 sin30=1/2 cos30=3/2 tan30=3/3 sin45=2/2 cos45=2/2 tan45=1 sin60=3/2 cos60=1/2 tan60=3 全等图形 全等的基本性质1全等三角形（多边形）概念：能够完全重合的两个三角形（多边形）称为全等三角形（多边形）；互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2全等三角形（多边形）的性质：全等三角形（多边形）的对应边相等，对应角相等。 全等三角形1全等三角形的判定：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SSS）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（SAS）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（ASA）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS）。如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（HL）相似图形 一线段的比 1比例线段：.四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 2比例中项：如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。 3比例的性质:基本性质：如果a:b=c:d那么ad=bc 如果ad=bc那a:b=c:d合比性质：如果a:b=c:d,那么（ab）:b=（cd）:d等比性质：如果a:b=c:d=m:n（b+d+n0），那么（a+c+m）:（b+d+n）=a:b5平行线分线段成比例：（1）两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例（2）平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例三 相似三角形1相似三角形定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。2相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比；相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。3相似三角形的判定:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(简叙为两角对应相等两三角形相似)如果一个三角形两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为两边对应成比例且夹角相等两三角形相似)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似) 二 相似多边形1相似多边形定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。2相似多边形的性质：相似多边形对应边的比等于相似比；相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。四 黄金分割1黄金分割概念：若一点把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个点为线段的黄金分割点，这个比值即为黄金分割，其比值是（5-1）：2 0.618 五 位似图形1位似图形概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。2位似图形性质：位似图形相似比又称为位似比；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k。图形的变化 一 轴对称图形1轴对称图形的定义：若一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,则这个图形就叫做轴对称图形。2轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。若一个图形是轴对称图形,则图形上的任何一对对应点所连线段都会被同一条直线垂直平分。 二 图形的平移1.平移概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2.平移性质：（1）平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。 三 中心对称图形3中心对称图形概念：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形4中心对称概念：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称。5中心对称图形性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。四 图形的旋转1.旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。2. 旋转性质：（1） 对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等。 圆 一 圆的弦、弧、角、径 1弦、弧、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的各组量也分别相等 2.垂径定理及有关定理(知二推三)：.平分弦所对的劣弧 .平分弦所对的优弧 .平分弦 .垂直于弦 .经过圆心 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论4平行弦定理：如果圆的两条弦互相平行，那么两条弦所夹的弧相等5相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 二 圆心角与圆周角1圆周角定理及有关定理：（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角 （3）90的圆周角所对的弦是直径 三圆内接外接图形1圆内接三角形/三角形外接圆性质：（1）外心到三角形各顶点的距离（2）外心到三角形各边的垂线平分各边。2圆内接四边形性质:（1）圆内接四边形的对角互补 （2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角3圆外切三角形/三角形外切圆性质：（1）三角形内心到三边距离相等 （2）与三个顶点的连线平分三角形的内角 四 切线1切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径2切线的判定：（1）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）当直线与圆没有共同点时，证明圆心到直线的距离等于半径。3切线长定理：过圆外一点所引圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。4弦切角定理：弦与切线的夹角等于它所夹的弧所对的圆周角 五 圆的图形知识1不共线的三点确定一个圆2 扇形弧长l=nr/180. 扇形面积S=（R2-r2）=Rl /2 3圆锥侧面积S=rl其他 多边形1（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180。 （2）多边形的内角360/n-1802多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360。3多边形对角线：（1）多边形过一个顶点可引n-3条对角线（2）n边形共有对角线 n(n-3)/2条 V3.2 平行四边形定义：两组对边平行的四边形是平行四边形 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。性质：(1)平行四边形的对边相等且平行(2)平行四边形的对角相等，邻角互补(3)平行四边形的对角线互相平分判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 (3)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半： 判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (2) 四条边都相等的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形： (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形 正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等； (2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形(2)有一组邻边相等的矩形是正方形 (3)对角线互相垂直的菱形是正方形(4)对角线相等的矩形是正方形四边形