八年级数学第五章：数据的收集与处理第3、4节北师大版知识精讲.doc

初二数学第五章 数据的收集与处理 第 3 4 节北师大版 本讲教育信息 一 教学内容 第五章 数据的收集与处理 第三节 频数与频率 第四节 数据的波动 二 教学要求 1 理解频数与频率等概念 并能绘制相应的频数分布直方图和频数分布折线图 能根据 数据处理的结果 做出合理的判断和预测 从而解决实际问题 并在这一过程中体会统计 对决策的作用 2 了解极差 方差 标准差的概念 知道极差 方差 标准差都是刻画数据离散程度的 统计量 熟练掌握方差的计算公式 并会用计算器计算一组数据的标准差与方差 理解一 组数据的极差 方差或标准差越小 这组数据就越稳定 三 重点 难点 重点 1 运用频数与频率概念以及相应的频数分布直方图进行数据处理 做出合理判断和预测 2 运用极差 方差 标准差解决实际问题 难点 1 根据数据处理的结果 做出合理的判断和预测 2 对极差 方差 标准差概念的理解 四 课堂教学 知识要点 知识点 1 有关概念 1 频数 在数据的收集中由于某些对象出现的频繁程度不同 称每个对象出现的次 数为频数 2 频率 每个对象出现的次数与总次数的比值为频率 即频率 数 据 总 数频 数 3 频数分布直方图 对收集的数据可用适当的统计图表示出来 当收集的数据需连 续取值时 可先将数据适当分组 然后再绘制出频数分布直方图 4 频数分布折线图 为了更好地刻画数据的总体规律 在频数分布直方图上取点 连线即得到频数分布折线图 知识点 2 频数与频率的区别与联系 区别 联系 频数 频数是落在一个小组内数据的个数 频数之和等于数据总数 n 频率是频数与数据总数的比值 频率 频率是每一个小组的频数与数据总数的比值 频率之和等于 1 知识点 3 如何绘制频数分布直方图 频数分布直方图反映了样本数据落在各个小范围内的多少 绘制一组数据的频数分布 直方图的步骤有 1 计算最大值与最小值的差 2 决定组距与组数 数据越多 分的组数也应越多 当数据在 100 个以内时 通 常按照数据的多少分成 5 12 个组 组距是指每个小组的两个端点之间的距离 一般要 求各组的组距相等 3 决定分点 4 列频数分布表 5 画频数分布直方图 对于一组已给出的数据 可以通过求平均数 中位数和众数来反映数据的平均水平 也可以通过求极差 方差和标准差来了解数据的离散程度 极差极易计算 但只对极端值 比较敏感 方差计算比较复杂 但能比较全面地刻画一组数据的离散程度 知识点 4 定义 1 极差 一组数据中最大数据与最小数据的差 2 方差 各个数据与平均数据之差的平方的平均数 即 的 平 均 数 是其 中 nn xxxxxn 212221 2212 ss n 是 方 差 也 可 以 简 化 成 3 标准差 方差的算术平方根 即 s 4 数据的离散程度 把相对平均水平的偏离情况称为数据的离散程度 说明 1 极差 方差 标准差都是刻画数据离散程度的统计量 它们都是衡量数据 波动的大小 极差 方差 标准差越大 波动性越大 也越不稳定 2 利用计算器可以很方便地计算出一组数据的标准差与方差 其大致步骤是 进入 统计状态 输入数据 按键得出标准差 知识点 5 制定一个调查方案应具有的内容 1 调查的目的 2 调查的问题 3 调查的对象 4 确定调查方式 5 调查如何选取样本 6 对调查数据如何处理 7 注意的问题 8 写出调查结果和调查报告 典型例题 例 1 如图 八年级 1 班在小制作评比活动中 评委会把 5 月 1 日到 5 月 30 日同学们上 交作品的件数按 5 天一组分组统计 绘制了频数分布直方图 已知从左到右各长方形的高 的比为 2 3 4 6 4 1 第三组的频数为 12 请解答下列问题 1 本次活动共有多少件作品参加评比 2 哪组上交的作品数量最多 3 经过评比 第四组和第六组分别有 10 件和 2 件作品获奖 问这两组哪组获奖率 较高 分析 1 频数分布直方图中的各长方形的高的比就是各组所占频数的比 第三组的 频数占总数的 又因第三组的频数为 12 可求得参赛作品的总件数 5 2 由频数的比值大小可判别各组上交作品的多少 3 获奖率 该足获奖作品件数 该组参赛作品件数 即可比较大小 解 1 由 知51463 602 则本次活动共有 60 件作品参加评比 2 由 知第四组上交作品数量最多 共 18 件 1806 3 第四组获奖率为 9 第六组上交的作品数量为 3206 由第六组获奖率为 3 故第六组获奖率较高 例 2 已知一个样本 25 21 23 25 27 29 25 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 1 列频数分布表 2 绘制频数分布直方图 3 绘制频数分布折线图 解 1 频数分布表 22 以下 23 24 25 26 26 28 29 30 2 3 8 4 3 2 3 频数分布直方图与折线图 说明 注意图中各个小长方形的高对应着落在每个小组中的频数 例 3 要从甲 乙 丙三位射击运动员中选取一名参加比赛 在预选赛中 他们每人各 打了 10 发子弹 命中的环数如下 甲 10 10 9 10 9 9 9 9 9 9 乙 10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 丙 10 9 8 10 8 9 10 9 9 9 根据这次成绩 应该选择谁去参加比赛 分析 首先计算平均成绩 谁优越选谁 若平均数相同 则需计算方差 方差小的相 对成绩稳定 应是选择对象 解 经计算 甲 乙 丙三人命中的总环数分别为 93 93 91 所以丙应该先遭淘汰 设甲 乙的命中平均环数为 2121 sx和方 差 分 别 是和 则 3 9x21 2 0 3 9 3 90 022 s 8181 12 因为 0 21 0 81 且甲的极差为 10 9 1 乙的极差为 10 8 2 所以在总的成绩相同的条件下 应选择发挥稳定的运动员甲参加比赛 说明 方差反映了一组数据在平均数左右波动的大小 在实际生活中应用极广 经常利用 它来衡量一组数据的稳定性 例 4 若 求是 常 数方 差 是的 平 均 数 是 basxxxn 2321 1 1bb 的 方 差 2 221 saxxn的 方 差 3 23sn的 方 差 分析 此题的实质是方差的三条基本性质 证明后可直接应用 解 1 设 121 xbxxbn的 平 均 数 是 则 x 所以 212121121 xbxxns n 2 2221 2 s xxxnbbnn 2 设 221 an的 平 均 数 则 x 所以 22212 xaxns n 2 2221 saxxxnan 3 设 31 babn的 平 均 数 为 则 x 所以 232323123 xbaxxans n 2221 saxn 说明 可总结出运算性质 进一步可以得到标准差的运算性质 23sa 了解这些性质 为今后的方差计算提供了简单运算思路 ss 321 例 5 甲 乙两台机床同时加工直径为 100 毫米的零件 为了检验产品的质量从产品中 抽出 6 件进行测量 测得数据如下 单位毫米 甲机床 99 100 98 100 100 103 乙机床 99 100 99 100 102 100 试说明哪一台机床加工的零件更符合要求 解 1032 016 甲x 乙 13722 更 符 合 要 求所 以 乙 机 床 加 工 的 零 件因 为 乙甲乙甲 ss 模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 列一组数据的频数分布表时 落在各个小组内的数据的个数叫做 A 组距 B 频数 C 频率 D 样本容量 2 要了解全市八年级学生身高在某一范围内的学生所占比例的大小 需知道相应样本的 A 平均数 B 中位数 C 众数 D 频率分布 3 已知样本 7 8 10 14 9 7 12 11 10 8 13 10 8 11 10 9 12 9 13 11 那么这 组样本数据落在 8 5 11 5 内的频率是 A 0 4 B 0 6 C 0 5 D 0 65 4 在频数分布表中 各小组的频数之和 A 小于数据总数 B 等于数据总数 C 大于数据总数 D 不能确定 5 已知一组数据 1 x 0 1 2 的平均数是 0 那么这组数据的方差是 A B 2 C 4 D 10 6 若甲组数据的方差比乙组数据的方差大 那么下列说法正确的是 A 甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大 B 甲组数据比乙组数据稳定 C 乙组数据比甲组数据稳定 D 甲 乙组的稳定性不能确定 7 已知一组数据的方差是 4 则这组数据的标准差是 A 2 B 4 C 8 D 16 8 从 A B 两班分别任抽 10 名学生进行英语口语测试 其测试成绩的方差是 SA2 13 2 S B2 26 36 则 A A 班 10 名学生的成绩比 B 班 10 名学生的成绩整齐 B B 班 10 名学生的成绩比 A 班 10 名学生的成绩整齐 C A B 两班 10 名学生的成绩一样整齐 D 不能比较 A B 两班学生成绩的整齐程度 二 填空题 1 已知一组数据共 100 个 在频数分布表中 某一小组的频数为 4 则这一小组的频率 为 2 已知在一个样本中 50 个数据分别落在 5 个组内 第一 二 三 四 五组数据的个 数分别为 2 8 15 20 5 则第四组的频数和频率分别是 3 有一块实验田 抽取 1000 个麦穗 考察它们的长度 单位 厘米 从频数分布表中 可以得到样本数据落在 5 75 6 05 之间的频率是 0 36 于是可以估计在这块实验田里 长 度在 5 75 6 05 厘米之间的麦穗约占 4 已知一组数据 25 21 23 25 27 29 25 28 30 29 26 24 25 27 26 22 24 25 26 28 填写下面的频数分布表 分 组 频数累计 频 数 频 率 20 5 22 5 22 5 24 5 24 5 26 5 26 5 28 5 28 5 30 5 合 计 5 一组数据 7 8 9 10 11 12 13 的方差是 6 已知一组数据 1 2 3 5 x 的平均数是 3 则这组数据的标准差是 7 已知数据 7 9 19 a 17 15 的中位数为 13 则这组数的平均数为 方差 为 8 在一次知识竞赛中 学生甲和乙的各科总平均分相等 但甲的标准差比乙的标准差小 这说明 三 解答题 1 某中学举行了一次演讲比赛 分段统计参赛同学的成绩 结果如下表 分数均为整 数 满分为 100 分 分数段 分 61 70 71 80 81 90 91 100 人 数 人 2 8 6 4 请根据表中提供的信息 解答下列各题 图 1 1 参加这次演讲比赛的同学共有 人 2 已知成绩在 91 100 分的同学为优胜者 那么 优胜率为 3 所有参赛同学的平均得分 M 分 在什么范围内 答 4 将成绩频数分布直方图补充完整 2 某单位对全体职工的年龄进行了调查统计 结果如下 单位 岁 21 32 44 50 46 55 60 59 38 49 19 52 34 35 48 52 39 41 44 46 38 43 45 46 24 21 32 30 28 27 将数据适当分组 列出频数分布表 绘制相应的频数分布直方图 3 调查统计你所在居民小区各户的一个月用水量 将数据适当分组 并绘制相应的频数 分布直方图 4 计算下列各组数据的方差和标准差 结果保留到小数点后第二位 1 8 9 10 10 11 12 2 78 80 80 81 82 83 83 85 5 为了从甲 乙两名同学中选拔一人参加射击比赛 对他们的射击水平进行了测试 两 人在相同条件下各射靶 10 次 每次命中的环数如下 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 1 分别计算甲 乙两组数据的方差 2 你认为应选拔哪位同学参加射击比赛 为什么 6 甲 乙两台机床同时加工直径为 100 毫米的零件 为了检验产品质量 质量检查员从 两台机床的产品中各随机抽出 6 件进行测量 测得数据如下 单位 毫米 机床甲 99 100 98 100 100 103 机床乙 99 100 102 99 100 100 1 分别计算上述两组数据的平均数及方差 2 如果你是质量检查员 在收集到上述数据后 你将说明哪一台机床加工的零件更 符合要求 7 甲 乙两台包装机同时包装质量为 500 克的糖果 从中各抽出 10 袋 测得其实际质 量分别如下 单位 克 甲 501 500 508 506 510 509 500 493 494 494 乙 503 504 502 496 499 501 505 497 502 499 哪台包装机包装的 10 袋糖果的质量比较稳定 试题答案 一 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 C 7 A 8 A 二 1 0 04 2 20 0 4 3 36 4 频数累计从上到下依次为 正 频数从上到下依次为 2 3 8 4 3 20 频率依次为 0 10 0 15 0 40 0 20 0 15 1 00 5 4 6 7 13 18 67 8 学生甲的各科成绩差异较小 三 1 1 20 2 20 3 77 M 86 4 略 2 略 3 略 4 1 S 2 1 67 S 1 29 2 S 2 4 25 S 2 06 5 1 甲 乙两组数据的方差分别为 3 和 1 2 2 因为甲 乙二学生的平均数相同 甲的方差比乙的方差大 所以乙学生的成绩比 较稳定 应选乙学生参加射击比赛 6 1 机床甲 乙两组数据的平均数分别为 100 和 100 方差分别为 和 137 2 通过数据分析 甲 乙的平均数相同 甲机床的方差大于乙机床的方差 所以乙 机床加工的零件更符合要求 7 甲 乙两组数据的方差分别为 38 05 和 7 96 所以乙包装机包装的 10 袋糖果的质量比 较稳定