2011年广州市高二数学竞赛试题.doc

2011年广州市高二数学竞赛试题 2011515考生注意：用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； 不准使用计算器； 考试用时120分钟，全卷满分150分一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知函数，若，则的值为( )A B C D2已知数列的通项公式,设其前n项和为，则使成立的自然数有（ ） A最大值15B最小值15 C最大值16 D最小值163如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）开始结束f（x）在（0，+）上单调递减？输出是否输入A3 B1 C D4设，则的大小关系是 ( ) A BC D二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分5若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是 * 6在棱长为1的正方体内任取一点，则点到点的距离不大于1的概率为 * 7在中，是的中点，点在上且满足，则等于 * 8在ABC中，若，则 * 9在上定义运算若不等式对任意实数成立，则的取值范围是 * 10面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则类比以上性质，体积为三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则 * 三、解答题：本大题共5小题，满分90分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤11（本小题满分15分）已知向量，设函数（1）求函数的最大值，并求取得最大值时的值；（2）在为锐角的中，、的对边分别为、，若且的面积为，求的值12（本小题满分15分）EFABCD如图，已知多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，ACADCDDE2a，ABa，F为CE的中点（1）求证BF平面CDE；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小13（本小题满分20分）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为（1）若，求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围14（本小题满分20分）设无穷等差数列的前项和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立15（本小题满分20分）定义在R上的函数R且） 是奇函数，当时，取得最大值（1）求的值；（2）设曲线在点处的切线与y轴的交点为，求实数的取值范围