4高考数学三角函数典型例题

三角函数典型例题 1 设锐角 的内角 的对边分别为 ABC abc 2sinA 求 的大小 求 的取值范围 cosin 解析 由 根据正弦定理得 所以 2sabA sinisAB1i2 由 为锐角三角形得 ABC 6B cosincosin i6A 13cossin2A 3in 2 在 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且满足 2a c cosB bcos C 求角 B 的大小 设 且 的最大值是 5 求 k 的值 241msin co k mn 解析 I 2 a c cosB bcosC 2sinA sinC cosB sinBcos C 即 2sinAcosB sinBcosC sinCcosB sin B C A B C 2sinAcosB sinA 0 A sinA 0 cosB 21 0 B1 t 1 时 取最大值 依题意得 2 4 k 1 5 k 23 3 在 中 角 所对的边分别为 ABC cba 2sin2si CBA I 试判断 的形状 II 若 的周长为 16 求面积的最大值 解析 I 4si sin2cosin2si C 所以此三角形为直角三角形 4 C即 II 当且仅当 时取等abba162 2 6 ba 号 此时面积的最大值为 463 4 在 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 C 2A AB 43cos 1 求 的值 Cosc 2 若 求边 AC 的长 27 解析 1 816921cossc2 A47sin 43 873in 81os C得由得由 16983cosinc CAAB 2 24 7o 27 aBa 又 cCca3s sini 由 解得 a 4 c 6 251694816os22 ab 即 AC 边的长为 5 5 5 已知在 中 且 与 是方程 的两个根 ABC AtanBt 0652 x 求 的值 tan 若 AB 求 BC 的长 5 解析 由所给条件 方程 的两根 0652 xtan3 t2AB tanttan 1ABB 31 80 C 由 知 tan t 为三角形的内角 2si 为三角形的内角 tan3A 3in10A 由正弦定理得 siiBC 535210C 6 在 中 已知内角 A B C 所对的边分别为 a b c 向量 B 2sin 3mB 且 2cos 1n mn I 求锐角 B 的大小 II 如果 求 的面积 的最大值 bAC ABCS 解析 1 2sinB 2cos2 1 cos2B mn B2 3 2sinBcosB cos2B tan2B 3 3 0 2B 2B 锐角 B 2 3 3 2 由 tan2B B 或3 3 5 6 当 B 时 已知 b 2 由余弦定理 得 3 4 a2 c2 ac 2ac ac ac 当且仅当 a c 2 时等号成立 ABC 的面积 S ABC acsinB ac 12 34 3 ABC 的面积最大值为 3 当 B 时 已知 b 2 由余弦定理 得 5 6 4 a2 c2 ac 2ac ac 2 ac 当且仅当 a c 时等号成立 3 3 3 6 2 ac 4 2 3 ABC 的面积 S ABC acsinB ac 2 12 14 3 ABC 的面积最大值为 2 3 7 在 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 且 212acb 1 求 的值 2cossin2 2 若 b 2 求 ABC 面积的最大值 解析 1 由余弦定理 cosB 14 cos2B 2sinAC 2 由 b 2 415sin 41co B得 ac 4 2ac 得 ac S ABC acsinB a c 时取等号 a2 12 3812 35 故 S ABC 的最大值为 5 8 已知 求 的值 1 tan 2tan si 4 解析 a 12 9 已知 3sin5coscos23tan2f I 化简 f II 若 是第三象限角 且 求 的值 31cos25 f 解析 10 已知函数 f x sin2x 3sinxcosx 2cos2x x R 1 求函数 f x 的最小正周期和单调增区间 2 函数 f x 的图象可以由函数 y sin2x x R 的图象经过怎样的变换得到 解析 1 1cos23 in 1cos2 xfxxx 3sin2s 6x f 的最小正周期 2 T 由题意得 2 6kxkZ 即 36kxkZ fx 的单调增区间为 3 2 先把 sin2yx 图象上所有点向左平移 12 个单位长度 得到 6 的图象 再把所得图象上所有的点向上平移 32个单位长度 就得到 3siyx的图象 11 已知 2a 4cos inxb baf 1 求 的单调递减区间 xf 2 若函数 与 关于直线 对称 求当 时 的最大值 gy xf1 340 x xgy 解析 1 sin 34co2sin3 xf 当 时 单调递减 2 4 k xf 解得 时 单调递减 8310kx f 2 函数 与 关于直线 对称 gy x1 342 sin2 fx co34sin3 x 0 x 2 x 21 34s 时 23 maxg 12 已知 cosin 求下列各式的值 1 2i3 2 siicos 解析 1cos2in ta2 Q 1 2int 41s3cosan352 2 22 2siincossini 221tat 3n5 13 设向量 si co s co xbxR 函数 fxab I 求函数 f的最大值与最小正周期 II 求使不等式 3 2x 成立的 x的取值集合 解析 14 已知向量 与 为共线向量 且 132 cos m sin m 0 2 求 的值 in 求 的值 cosin2 解析 与 为共线向量 m0sin 1 32 cos 即 32cosin 92 cos ini1 97sin cosn2 916 3 i 22 又 0 0cosin 34cosin 因此 127cosin 15 如图 A B C D 都在同一个与水平面垂直的平面内 B D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 于0753 水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 AC 0 1km 试探究图中 B D 间06 距离与另外哪两点距离相等 然后求 B D 的距离 计算结果精确到 0 01km 1 414 2 449 2 6 解析 在 中 30 60 30 A C ADC 所以 CD AC 0 1 又 180 60 60 60 BCD 故 CB 是 底边 AD 的中垂线 所以 BD BA 在 中 A ABC sinsi 即 AB 206351in6 因此 km3 0263 BD 故 B D 的距离约为 0 33km 16 已知函数 其中 的图象与 x 轴的交点 sin fxAxR 0 2A 中 相邻两个交点之间的距离为 且图象上一个最低点为 2 3M 求 的解析式 当 求 的值域 w w w k s 5 u c o m fx 1x fx 解析 1 由最低点为 得 A 2 3M 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 即 2 T 2T 由点 在图像上的2 3 4sin 13 即 sin 故 4 kZ 16k 又 0 2si 26fx 故 2 7 13x 当 即 时 取得最大值 2 当 fx6x 即 时 取得最小值 1 故 的值域为 1 2 2x f 17 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的 A B C 三点进行测量 已知 50ABm 于 A 处测得水深 于 B 处测得水深 于 C 处测得水深10BCm80Dm 20E 求 DEF 的余弦值 F 解析 作 交 BE 于 N 交 CF 于 M DMAC 22301798F 5EN 22 50BC 在 中 由余弦定理 DF 222131986cos 05EDF 18 已知 51csin 2 求 1 2 3 o 3sinco 44sinco 解析 1 479137i i 3 sinco25625 19 已知函数 的一段图象如图s xAy0 A 所示 1 求函数的解析式 2 求这个函数的单调递增区间 解析 1 由图象可知 3228TT 2A 又 为 五点画法 中的第二点 2sinyx 所求函数解析式为 384 32sin4yx 2 当 时 单调递增 324xkkZ f 558xkZ 20 已知 的内角 A B C 所对边分别为 a b c 设向量BC 2cos cs 1Bm 且 2cos 85 BAn 89 nm 求 的值 tan 求 的最大值 22icbC 解析 由 得89 892cos cos 1 5 BA 即 892 os 1 85 BABA 也即 cs 5c4 BAsin5cosin osin9 91tan 21 已知函数 求 42si 1 ta xxxf 1 函数 的定义域和值域 2 写出函数 的单调递增区间 f 解析 4sin2co4sin1cosin xxxxf 2i2cosin1 ii i x cos 函数的定义域 ZkR 2 Zkx 2 cos x 函数 的值域为 f 2 令 得 kxk 2Zkx 函数 的单调递增区间是 xf Z 22 如图为一个观览车示意图 该观览车圆半径为 4 8m 圆上最低点与地面距离为 0 8m 60 秒转动一圈 途中 与地面垂直 以 为始边 逆时针转动 角OAA 到 设 点与地面距离为 OBh 1 求 与 的函数解析式 h 2 设从 开始转动 经过 80 秒到达 求 OAOBh 解析 1 0 80 84sin5 648sin 90 hABCB 5 64cos h 2 m 3 t3 83co h 23 设函数 2sin co 1cs2 mxxxf baba其 中 向 量 1 求函数 0 的 最 小 正 周 期 和 在 上的单调递增区间 2 当 xfx求 实 数恒 成 立时 4 60 的取值范围 解析 1 1 62sin 2sin3co2 mxmxf 分上 单 调 递 增 区 间 为在 分的 最 小 正 周 期函 数 3 6 0 0 4 Txf 2 当 3 6max fxxfx时当递 增时 分得解 之 分由 题 设 知 分时当 12 6 0 4238 0min f 24 已知函数 2 sin3cosfxxx 42 1 求 的最大值和最小值 f 2 在 上恒成立 求实数 的取值范围 2 mxf 4x m 解析 1cos23cos21in3cos2fxxxx 12sin3 又 4x 263x 即 21sin2 maxmin 3 ff 2 2ffxfx 4 且 max f minf 即 的取值范围是 14 14 25 在锐角 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 3tan 22bcAc I 求角 A II 若 a 2 求 ABC 面积 S 的最大值 解析 I 由已知得 23sincosin2Ab 又在锐角 ABC 中 所以 A 60 不说明是锐角 ABC 中 扣 1 分 II 因为 a 2 A 60 所以 bcbS4si 42 而 2 cbccb 又 343sin1 AS 所以 ABC 面积 S 的最大值等于 26 甲船由 A 岛出发向北偏东 45 的方向作匀速直线航行 速度为 15 浬 小时 在甲船从 A 岛出发的同时 乙船从 A 岛正南 40 浬处的2 B 岛出发 朝北偏东 的方向作匀速直线航行 速度为 21arctg 10 浬 小时 如图所示 5 求出发后 3 小时两船相距多少浬 求两船出发后多长时间相距最近 最近距离为多少浬 解析 以 A 为原点 BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系 设在 t 时刻甲 乙两船分别在 P x1 y1 Q x2 y2 5sin co 215 4s 可 得由 分则 artgxytt 分40s50in2 tty I 令 P Q 两点的坐标分别为 45 45 30 20 3 3458 2 4 P 即两船出发后 3 小时时 相距 锂 II 由 I 的解法过程易知 208 4 5016405 10 5 1 22 22 tt tttyx 分 当且仅当 t 4 时 PQ 的最小值为 20 即两船出发 4 小时时 相距 20 海里为两船最近距离 2 27 在锐角 中 已知内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 tanA tanB ABC 1 tanA tan B 1 若 a2 ab c 2 b 2 求 A B C 的大小 2 已知向量 sinA cosA cosB sinB 求 3 2 的取值范围 m n m n 解析 28 如图 某住宅小区的平面图呈扇形 AO C 小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处 小区里有两条笔直的小路 且拐弯处的转角为 已知AD 120 某人从 沿 走到 用了 10 分钟 从 沿 走到 用了 6 分钟 若此 人步行的速度为每分钟 50 米 求该扇形的半径 的长 精确到 1 米 O 解析 解法一 设该扇形的半径为 r 米 由题意 得 CD 500 米 DA 300 米 CDO 06 在 中 CDO 2 02cos CDC 即 2 1503503rrr 解得 米 491 解法二 连接 AC 作 OH AC 交 AC 于 H 1200 O C A D H 1200 O C A 由题意 得 CD 500 米 AD 300 米 012CDA 22 2 cos5035037 ACD 在 中 AC 700 米 221cos 4ACDC 在直角 350 cos0 HOHA 中 米 米 49cos1A 29 已知角 的顶点在原点 始边与 x轴的正半轴重合 终边经过点 3 P 1 求 tan的值 2 定义行列式运算 bcdac 求行列式 sinta1co 的值 3 若函数 os si inoxf x R 求函数 23 yff 的最大值 并指出取到最大值时 x 的值 解析 1 角 终边经过点 3 P tan3 2 1si2 cos nta3intas412 3 co si sincofxxx R 函数 23 co2y sin1sxi 16x max3y 此时 6xk Z 30 已知函数 2 sinco sf x 求函数 的最小正周期 当 时 求函数 的最大值 并写出 x 相应的取值 fx0 fx 解析 因为 222 sinco sinsicoscofxx 1sin2cox 1i 4 所以 即函数 的最小正周期为 T fx 因为 得 所以有 02x 544 2sin 14x 即 1sin 01sin 1x 所以 函数 的最大值为 fx2 此时 因为 所以 即 5244 4x 8x