2011届高考数学解题技巧：第2讲填空题的解题方法与技巧.doc

2011届高考数学解题技巧：第2讲 填空题的解题方法与技巧.txt你妈生你的时候是不是把人给扔了把胎盘养大？别把虾米不当海鲜。别把虾米不当海鲜。 本文由xubin891212贡献 ppt文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 第2讲 填空题的解题方法与技巧 题型特点概述 填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样， 填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样， 属于客观性试题 属于客观性试题 它只要求写出结果而不需要写出解答过 程在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等不同省 在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等 份的试卷所占分值的比重有所不同 份的试卷所占分值的比重有所不同 1 填空题的类型 填空题主要考查学生的基础知识、 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问 题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、 题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念 性强、运算量不大、 性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出 结论等特点从填写内容看，主要有两类： 结论等特点从填写内容看，主要有两类：一类是定量 填写，一类是定性填写 填写，一类是定性填写 2填空题的特征 填空题不要求写出计算或推理过程， 填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接 写出的“求解题” 填空题与选择题也有质的区别：第一， 写出的“求解题”填空题与选择题也有质的区别：第一， 表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之 表现为填空题没有备选项，因此， 好处，但也有缺乏提示之不足；第二， 好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是 在一个正确的命题或断言中， 在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以 既可以 是条件，也可以是结论 ，留下空位，让考生独立填上， 是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考 查方法比较灵活 查方法比较灵活 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高， 从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简， 空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简， 稍有 毛病，便是零分因此，解填空题要求在“快速、准确” 毛病，便是零分因此 ，解填空题要求在“快速、准确 ”上 下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程 ， 下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因 此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做” 此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而 要达到“准确” 则必须合理灵活地运用恰当的方法， 要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在 字上下功夫 “巧”字上下功夫 3解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是“小题不能大做” 解填空题的基本原则是 “小题不能大做”，基本策略是 “巧做”解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、 巧做” 解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法 特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等 特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等 解题方法例析 题型一 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性 质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结 法则等知识，通过变形、推理、计算等， 论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意 使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、 识地采用灵活、简捷的解法 识地采用灵活、简捷的解法 在等差数列a 中 3,11a5 5a813，则数列 例 1 在等差数列 n中，a1 ， 的前n项和 an的前 项和 n的最小值为 的前 项和S 的最小值为 思维启迪 计算出基本量d 找到转折项即可 计算出基本量d，找到转折项即可 解析 设公差为d， 设公差为 ，则11(34d)5(37d)13， ， 5 d . 9 为递增数列 数列an为递增数列 数列 为递增数列 5 32 令 an 0， 3(n1) 0， n ， ， ， 9 5 nN*. 29 前6项均为负值，Sn的最小值为 6 . 项均为负值， 的最小值为S 项均为负值 3 29 答案 3 探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公 式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小， 最后利用等差数列的求和公式求得最小值 变式训练1 是等差数列a 的前 项和，已知a 的前n项和 变式训练 设Sn是等差数列 n的前 项和，已知 2 3，a6 ， 11，则S7 . ， 49 7(a1a7) 解析 方法一 S7 2 7(a2a6) 7(311) 49. 2 2 故填49. 方法二 a a d3， ? 2 1 由? ?a6a15d11 ? ?a 1， ? 1 可得? ?d2， ? a716213. 7(a1a7) 7(113) S7 49. 2 2 故填49. 题型二 特殊值法 特殊值法在考试中应用起来比较方便， 特殊值法在考试中应用起来比较方便， 它的实施过程是从 特殊到一般，优点是简便易行当暗示答案是一个“ 特殊到一般，优点是简便易行当暗示答案是一个“定 就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、 值”时 ，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形 、 特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化， 特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一 般形式变为特殊形式 般形式变为特殊形式 当题目的条件是从一般性的角度给 出时，特例法尤其有效 出时， 特例法尤其有效 已知 的三个内角A、 、 的对边分别为 的对边分别为a、 、 ， 例 2 已知 ABC的三个内角 、 B、C的对边分别为 、b、c， 的三个内角 (sin Asin C)(ac) 且满足 sin Asin B，则 C. ， b 思维启迪 思维启 题目中给出了ABC的边和角满足的一个关 题目中给出了 的边和角满足的一个关 系式，由此关系式来确定角C的大小 的大小， 系式， 由此关系式来确定角 的大小 ，因此可考虑一些 特殊的三角形是否满足关系式， 特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角 等边三角形、 三角形等，若满足，则可求出此时角 的大小 的大小 三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小 解析 容易发现当ABC是一个等边三角形时，满足 (sin Asin C)(ac) sin Asin B，而此时C60，故角C b 的大小为60. 60 答案 60 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立， 探究提高 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立 ， 那么对特殊值也成立， 那么对特殊值也成立， 我们就可以利用填空题不需要过 程只需要结果这一“弱点” 程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值在 以偏概全”来求值 解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题 解决一些与三角形、 如正三角形、 时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、 正 可根据题意，选择其中的特殊图形 如正三角形 方形)等解决问题此题还可用直接法求解如下： 方形 等解决问题此题还可用直接法求解如下： 等解决问题 (sin Asin C)(ac) 由 sin Asin B可得 可得 b (ac)(ac) ab，整理得， a2 c2 abb2，即 a2 b2 ， 整理得 b a2 b2 c2 1 c2 ab.由余弦定理，得 cos C 由余弦定理， ， 所以C 所以 由余弦定理 2ab 2 60. 变式训练2 所对的边分别为a、 变式训练 在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 、 中 、 、 所对的边分别为 cos Acos C b、c，如果 、 b、c成等差数列，则 成等差数列， 、 ， 如果a、 、 成等差数列 1cos Acos C 4 . 5 解析 方法一 取特殊值a3，b4，c5，则cos A cos Acos C 4 Acos 4 ，cos C0， . 5 1cos Acos C 5 方法二 1 取特殊角ABC ，cos Acos C ， 3 2 cos Acos C 4 . 1cos Acos C 5 例 3 如图所示，在 ABC中,AO是BC边上 如图所示， 中 是 边上 的中线，K为AO上一点，且OA2AK, 的中线， 为 上一点， 上一点 过点K的直线分别交直线 、 于不同 过点 的直线分别交直线AB、AC于不同 的直线分别交直线 的两点M、 ， 的两点 、 N，若ABmAM，ACnAN，则 mn . 思维启迪 题目中过点K的直线是任意的，因此m和n的值 是变化的，但从题意看mn的值是一个定值，故可取一条 特殊的直线进行求解 解析 平行时， MN 就是ABC 的一 就是 当过点 K 的直线与 BC 平行时， 条中位线( 的中点)这时由于有AB 条中位线 OA2AK，K 是 AO 的中点 这时由于有 mAM，AC nAN，因此 mn2，故 mn4. ， 答案 4 探究提高 本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意, 但mn的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特 殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题 时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题 变式训练3 设O是ABC内部一点，且OAOC ， 内部一点， 2OB 变式训练 是 内部一点 的面积之比为 则AOB与 AOC的面积之比为 1 与 的面积之比为 解析 采用特殊位置，可令ABC为正三角形， 则根据OAOC2OB可知， O是ABC的中心，则OAOBOC， 所以AOBAOC， 即AOB与AOC的面积之比为1. 题型三 图象分析法(数形结合法 图象分析法 数形结合法) 数形结合法 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征， 依据特殊数量关系所对应的图形位置、 特征，利用图形直 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题， 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的 几何意义一般较为明显 几何意义一般较为明显 由于填空题不要求写出解答过 程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形 因而有些问题可以借助于图形， 状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加 位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析， 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案事实上许多 问题都可以转化为数与形的结合， 问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既 浅显易懂，又能节省时间 浅显易懂，又能节省时间利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容 的能力 ，此类问题为近年来高考考查的热点内容 已知方程(x 例 4 已知方程 2 2xm)(x22xn)0的四个根组成一个 的四个根组成一个 1 1 的等差数列， 的值等于 首项为 的等差数列，则|mn|的值等于 的值等于 2 4 思维启迪 考虑到原方程的四个根，其实是抛物线yx2 2xm与yx22xn和x轴四个交点的横坐标，所以可 以利用图象进行求解 解析 如图所示，易知抛物线yx22x m与yx22xn有相同的对称轴x 1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、 C、D. 1 7 因为xA 4，则xD4. 3 5 又|AB|BC|CD|，所以xB 4，xC4. 1 7 3 5 1 故|mn|4444| 2. 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系， 探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系 ， 故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时， 故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们 要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息 掘其中的有用信息， 要认真分析题目特点， 充分挖掘其中的有用信息，寻求最 简捷的解法 简捷的解法 变式训练4 已知定义在R上的奇函数 满足 4) 上的奇函数f(x)满足 满足f(x f(x), 变式训练 已知定义在 上的奇函数 且在区间0,2上是增函数，若方程 上是增函数， 且在区间 上是增函数 若方程f(x)m(m0)，在区间 ， 8,8上有四个不同的根 1，x2，x3， x4，则 x1x2x3 上有四个不同的根x 上有四个不同的根 x4. -8 解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)， 所以f(4x)f(x)因此，函数图象关于直线x2对称且 f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以 8为周期的周期函数又因为f(x)在区间0,2上是增函 数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示，那 么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1， x2，x3,x4，不妨设x1x2x30， ?sin x0， ? ? 在给出的坐标系中，再作出ysin x在 4,4上的图象，如图所示,观察图象即 可得到所求的解集为4，)(， 0)2，) 探究提高 与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地 应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变 得形象直观，使问题快速获解 变式训练5 不等式（ |x|不等式（ 变式训练 ） sin x0，x -,2的解集 ， 2 (? , ) (0, ) (,2 ) 为 2 2 解析 . 在同一坐标系中分别作出y=|x|- 与 y=sin x的图象： 的图象： 在同一坐标系中分别作出 的图象 2 (? 根据图象可得不等式的解集为： 根据图象可得不等式的解集为： , ) (0, ) (,2 ) 2 2 题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化， 将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语 言或容易求解的模式通过转化，使问题化繁为简、化陌 言或容易求解的模式 通过转化，使问题化繁为简、 生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题， 生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出 正确的结果 正确的结果 例6 x2 4x6， ， ? 设函数f(x) 设函数 ? ?3x4， ? ， x0 ，若互不相等的实 x0 满足f(x 数 x1， x2， x3满足 1)f(x2)f(x3)，则 x1 x2 x3的取值 ， 范围是 范围是 思维启迪 将问题转化为ym与yf(x)有三个不同的交 点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围 解析 本题可转化为直线y 与函数 与函数f(x) 本题可转化为直线 m与函数 的图象有三个交点,y 的图象有三个交点 x2 4x6在0, ) 在 的最小值为f(2) ， 的最小值为 2，故 2m0，由于 中必有一负二正， 不妨设x ， yx2 4x6的对称轴为 2,则x1 x2 4， 的对称轴为x 则 的对称轴为 ， 2 2 2 令 3x42，得 x ，则 x30，故 4x1 x2 ， ， 3 3 3 10 的取值范围是( x304，即 x1 x2 x3的取值范围是 ， 4) ， 3 10 答案 ( ，4) 3 探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转 化的目标本题转化的关键就是将研究 化的目标本题转化的关键就是将研究x1x2x3的取值范 围问题转化成了直线y 与曲线 与曲线y 有三个交点的问 围问题转化成了直线 m与曲线 f(x)有三个交点的问 题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质 将数的问题转化成了形的问题， 解决 解决 ax1 变式训练6 已知关于x的不等式 0的解集是 ,1) 的解集是( 变式训练 已知关于 的不等式 的解集是 x1 1 的值为 ( ， )，则 a的值为 2 ， ， 的值为 2 ax1 解析 将 0转化为(x1)(ax1)0， ?m30， ? 解得m6，即ab6，故ab的取值范围是6，) 变式训练8 若抛物线y x 总在直线y 的下 变式训练 若抛物线 2 ax2总在直线 3x1的下 总在直线 的取值范围是 方，则实数a的取值范围是 (1,5) 则实数 的取值范围是 解析 构造不等式，依题意知，不等式x2ax20在R上恒成立 故?(3a)240，即a26a50的解集为(,1)(n，),所以 xm n1,m1，因此m1，n1，故m2n22. 2在各项均为正数的等比数列an中，若 a5a69， log3a1 在各项均为正数的等比数列 中 ，则 log3a2 log3a10 . 10 解析 特殊化法：尽管满足 a5a69 的数列有无穷多，但 所求结果应唯一的，故只需选取一个满足条件的特殊数列 a5a63，则公比 q1 就可以了原式log3(3333) log331010. 3在数列an中，若a11，an1 2an 3(n1)，则该数列 在数列 中 ， ， 的通项a 的通项 n. 2n 1 3 解析 由an12an3，则有an132(an3)， an13 即 2. an3 所以数列an3是以a13为首项、公比为2的等比数列， 即an342n12n1，所以an2n13. 4设非零向量 a，b，c 满足 |b|c|，abc，则 ， ， 满足|a| ， ， 1 2 cosa，b . ， 解析 设正三角形ABC 中，BAa，ACb，BCc， 所以BA与AC的夹角为 120，所以 cosa，bcos 120 120，所以 cosa，bcos 1 . 2 S 5设等差数列an，bn的前 项的和分别为 n与Tn，若 n 设等差数列 的前n项的和分别为 ， 的前 项的和分别为S Tn 2n1 2n an ，则 . 3n1 bn 3n1 n(n1)d 解析 因为等差数列的前n项和公式为Sna1n 2 d 2 1 2 n (a1 2 d)n，故可设Sn2nn，Tn(3n1)n，则可 得an4n2，bn6n2， an 4n2 2n1 . bn 6n2 3n1 6ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ， ， ， OH m(OAOBOC)，则实数 m. 1 解析 (特殊值法)当B90时,ABC为直角三角形, O为AC中点AB、BC边上高的交点H与B重合 OAOBOCOBOH，m1. 7(2010湖南 若数列 n满足： 对任意的 N*，只有有限个 湖南)若数列 满足： 湖南 若数列a 满足 对任意的n 正整数m使得 成立， 的个数为a 正整数 使得amn成立，记这样的 的个数为 n*，则得到 使得 成立 记这样的m的个数为 一个新数列(a 例如，若数列a 是 一个新数列 n)*例如，若数列 n是1,2,3，n， ， ， ， 则数列(a 是 已知对任意的n 则数列 n)*是0,1,2，n1， .已知对任意的 N*， ， ， 已知对任意的 ann2，则(a5)* ，(an)*)* . ， 2 n2 解析 由(an)*的定义知，要求(a5)*只需寻找满足 am5 的 (a (a m 的个数即可 由于 1215,2245，故(a5)*2. an1,22,32，n2， (a n )* = 0 , 1,1,1, 2,2,2,2,2, 3,? ,3,? n,?, n. 1个 3个 5个 7个 ( 2 n + 1) 个 (a1)*)*1， 2)*)*422， 3)*)*932， (an)*)* (a (a ， n2. 1 8直线 ykx3k2 与直线 y x1 的交点在第一象限， 的交点在第一象限， 4 2 的取值范围是 则 k 的取值范围是 7k1 因为 ykx3k2，即 yk(x3)2，故直线过定 1 点 P(3，2)，而定直线 y x1 在两坐标轴上的交 4 点分别为 A(4,0)，B(0,1) A(4,0)，B(0,1) 2 如图所示，求得 k0，anan1 ，于是an是等差数列，故an 2 1 n 1 1(n1) . 2 2 x 14已知 f(x)xlog2 ，则 f(1)f(2)f(3) f(8) 9x 的值为 的值为 36 x 解析 由于f(x)xlog2 ， 9x 9x x 9xlog2 ， 所以f(9x)9xlog2 x 9x 于是有f(x)f(9x)9. 从而f(1)f(8)f(2)f(7)f(3)f(6) f(4)f(5)9. 故原式值为9436. 15在 ABC中，如果 中 如果sin Asin Bsin C568，那么此 ， 1 三角形最大角的余弦值是 三角形最大角的余弦值是 20 解析 由正弦定理得 abc568， 令 a5，b6，c8，则 C 是最大角， a2b2c2 253664 1 即 cos C . 20 60 2ab 16已知最小正周期为2的函数 f(x)，当 x1,1时， 已知最小正周期为 的函数 的函数y ， 时 则方程f(x)|log5x|的解的个数为 f(x)x2，则方程 的 解的个数为 5 解析 设g(x)|log5x|，作出函数f(x)与g(x)的图象，由图 象知两个函数共有5个交点，即方程f(x)|log5x|的解的个 数为5个1