初中第11章图形与证明.doc

第11章 图形与证明11.1 你的判断对吗【新知导读】图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.【范例点睛】如图11-1-1，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流.图11-1-1思路点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.【课外链接】 费马数猜想：大师的失误1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子 +1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如 +1的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如 +1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。费马所研究的 +1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？ 进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F54294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如 +1的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 6416700417，其中641=527+1这一结果意味着 是一个合数，因此费马的猜想是错的。 在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了【随堂演练】1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是( ) A.只需观察得出 B.只需依靠经验获得C.通过亲自实验得出 D.必须进行有根据地推理.2.通过观察你能肯定的是( ) A.图形中线段是否相等; B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交; D.图形中线段是否垂直3.下列问题你不能肯定的是( ) A.一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小关系; B.三角形的内角和 C.n边形的外角和; D.三角形与矩形的面积关系4.下列问题用到推理的是( ) A.根据x=1,y=1 得x=y; B.观察得到四边形有四个内角; C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘; D.由公理知道过两点有且只有一条直线5.如果a=b,那么a2_b2.6.小明三天没来上学了,明天他肯定还不会来,这种判断是否合理?答:_.7.要判断两条线段是否平行,仅靠观察是_的.(行或不行)8.下面的判断是否正确,为什么?（1）对于所有的自然数n,n2的末位数都不是2.（2）当n=0,1,2,3,4,5时,n2+n的值是偶数吗?你能否得到结论:对于所有的自然数n,n2+n的值都是偶数.9.下图中两条直线的位置关系如何?请你先观察,再用量角器度量两条直线的夹角各是多少度,然后与同学们交流,你们的结论一样吗?10有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f。有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为 ，b的对面为 ，c的对面为 .11.地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他 请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲；乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；丙：1号是亚洲，5号是非洲；丁：4号码是非洲，3号是大洋洲；戊：2号码是欧洲，5号是美洲；地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，每个号码各代表什么洲呢？112 说理（1）【新知导读】如图：四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？【范例点睛】例1某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：（1） 如果去A地，那么也必须去B地；（2） D、E两地至少去一处；（3） B、C两地只去一处；（4） C、D两地都去或都不去；（5） 如果去E地，那么A、D两地也必须去依据上述条件，你认为参观团只能去_思路点拨：由（2）知，D、E两地至少去一地，若去E地，则由（5）也必须去A、D地，于是由于（1）和（4）必须去B、C两地，但与（3）矛盾，所以不能去E地，因此必须去D地。由（4）也必须去C地，再由（3）知，不能去B地，从而由（1）知也不能去A地，故参观团只能去C、D两地。例2如图，已知AOB=90，OM是AOB平分线，按以下要求解答问题：将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA、OB交于C、D（1） 在甲图中试说明PC=PD（2） 在乙图中点G是CD与OP交点，且PG=PD求POD与PDG的面积之比思路点拨：（1）过P点分别向OA、OB边作垂线段PE、PF，由角平分线的性质得PE=PF，从而PCEPDF，所以PC=PD；（2）由PC=PD可知PDC=POD=45，则PDGPOD，所以POD与PDG的面积之比为对应边之比的平方。【课外链接】有一栋居民住宅楼，每两层之间的楼梯都是由17级台阶组成的，一位初中学生一口气从一楼一级台阶一级台阶地跑到最高一层，紧接着又一级台阶一级台阶地回到一楼，他一边跑一边数自己的脚由一级台阶移到另一级台阶的次数，当他数到238时，恰好回到一楼，试问：这是一栋多少层的楼房？【随堂演练】1.2005年冬季，新七十二名泉评选结果揭晓，济南市所辖的五个区中皆有名泉分布,小明由此推断济南市历城区一定有名泉。他的这个推理 （填“正确”或“不正确”）2用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_。3.下列语句错误的是（ ）A.同角的补角相等; B.同位角相等.C.垂直于同一条直线的两直线平行; D.两条直线相交有且只有一个交点.4.如图，ABC中，B=55,C=63,DEAB,则DEC等于( ) A.63B.62 C.55D.1185.满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ ）A、B+A=C B、A：B：C=2：3：4C、A=2B=3C D、一个外角等于和它相邻的一个内角6.小明的爸爸告诉小明“高空中距离地面越远温度越低”，并给小明出示了下面的表格距离地面高度（km）012345温度()201482-4-10根据上表，小明的爸爸还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：（1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2） 如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎样变化的？（3） 你知道距离地面5千米的高空，温度是多少吗？（4） 你能猜测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？7.已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,P是BC边上一点,PEAB于E,PFAC于F,试探寻PE、PF的和与ABC一腰上的高之间的关系?8.（探究题）四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质,只要善于观察,乐于探索,我们还会发现更多的结论.（1）如图中,四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形,其中相对的两个三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看,已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点.试说明：SOBC: SOAD = SOAB: SOCD(2)如图,在ABC中,你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并说明理由,若不能,说明理由.112 说理（2）【新知导读】1定义：对名称或术语的含义进行_,就是给出它们的定义注意：(1)定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的术语；（2）正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区分开来2.命题：_句子叫命题，正确的命题叫_,错误的命题叫_【范例点睛】例1 下面的句子哪些是命题，哪些不是命题，为什么？（1） 我是扬州人；（2）你吃饭了吗？ （3）对顶角相等； （4）内错角相等；（5）延长线段AB； （6）明天可能下雨； （7）若a2b2 则ab.思路点拨：命题是判断一件事情的句子，所谓判断就是肯定一件事物是什么或不是什么。判断可以是错误的，比如语句（4），它作出了判断，因此它是命题。而语句（2）、（5）没有作出判断，语句（6）是猜测，没有作出肯定也没有否定，所以它们都不是命题。因此命题有：（1）、（3）、（4）、（7），不是命题的有（2）、（5）、（6）例2 已知下列命题：（1）同角的余角相等；（2）鸦片战争是中国近代史的开端；（3）等腰梯形是轴对称图形；（4）异号两数相加得零；（5）平行于同一条直线的两直线平行；（6）函数的自变量x的取值范围是；（7）在三角形中，两边之和小于第三边。判断其中的真命题与假命题思路点拨：其中真命题是：（1）、（2）、（3）、（5）、（6），其余的为假命题。例3 下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）能被2整除的数也能被4整除；（2）相等的两个角是对顶角；（3）若xy=0,则x=0；（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等思路点拨：（1）条件：一个数能被2整除，结论：它能被4整除；（2） 条件：两个角是相等的角，结论：它们是对顶角；（3） 条件：xy=0结论：x=0；（4） 条件：一个点在角的角平分线上，结论：它到这个角两边的距离相等。【随堂演练】1.下列句子中,不是命题的是( ) A.三角形的内角和等于180度; B.对顶角相等; C.过一点作已知直线的垂线; D.两点确定一条直线.2.下列句子中,是命题的是( ) A.今天的天气好吗 B.作线段ABCD; C.连结A、B两点 D.正数大于负数3.下列命题是真命题的是( ) A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角; B.两互补的角一定是邻补角 C.如果a2=b2,那么a=b; D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等4.下列命题是假命题的是( ) A.如果ab,bc,那么ac; B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60 C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等; D.矩形的对角线相等且互相平分5.下列命题中,真命题有( ) 如果A1B1C1A2B2C2,A2B2C2A3B3C3,那么A1B1C1A3B3C3 ;直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;如果 =0,那么x=2; 如果a=b,那么a3=b3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知下列四个命题：（1）若直角三角形的两边长分别是3与4，则第三边长是5；（2）；（3）若点P（a,b）在第三象限，则点Q(-a,-b)在第一象限；（4）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，其中正确的选项是（ ）A.只有（1）错误，其他正确 B.（1）（2）错误，（3）（4）正确C.（1）（4）错误，（2）（3）正确 D.只有（4）错误，其他正确7.写出下列命题的条件和结论: (1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等； （3）绝对值等于3的数是3； （4）如果DOE=2EOF，那么OF是DOE平分线。8.判断下列命题的真假: (1)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形; (2)如果a=b,那么a3=b3. （3）如果AC=BC,那么点C是AB的中点9.指出下面命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例. 如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.10对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断：（1）ab;（2）bc;（3）ab;（4）ac;（5）ac以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题（至少写出5个）11.我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个真命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个真命题?试举例说明.11.3 证明(1)一.设计思路本节课通过阅读欧几里得的几何原本，通过向学生的介绍，让学生了解数学文化的博大与精深，从而使学生热爱数学、喜爱数学.让他们感受原本的丰富文化内涵，激发学生学习数学，热爱数学悠久文化的思想感情，培养学习数学自豪感和探究创新的精神.对于用推理的方法证实“同角的补角相等”“对顶角相等”这两个问题时，采取了分段提问的方法逐步加深对命题的剖析与理解，在此基础上，让学生知道证明与图形有关的命题时的一般步骤，从而发展学生由合情推理到演绎推理的思维过程，不断发展学生的演绎推理能力.二.目标设计1. 了解证明的基本步骤和书写格式；2. 能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理和平行线的性质定理，并能简单应用这些结论；3. 感受数学的严谨性，结论的确定性，初步养成言之有理，落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力；4. 感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.三.活动设计师生互动思考与安排阅读与思考：(P.167第一节)2000年前,古希腊数学家欧几里得(Euclid)在他编纂的举世闻名的巨著原本里，他挑选了一些数学名词和他认为正确的命题，并以此作为出发点，用推理的方法证实了其他命题的正确性.原本是人类智慧的伟大成就之一，它对科学和人类文明的发展产生了深远的影响.让我们尝试从基本事实出发，证实我们曾探索，发现的有关图形的许多性质的正确性！说明：1.阅读原本激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍让学生了解数学文化的博大与精深，从而使学生热爱数学.喜爱数学.让他们感受原本的丰富文化内涵，激发学生数学，热爱数学悠久文化的思想感情，培养他们的学习数学自豪感和探究创新的精神. 2.使学生体会到自己所学的数学（几何）的起源，调动了学生的积极性，对于学生了解数学的历史有很深的价值.3.使学生体会到几何演绎推理的基本方法，知道了几何中的很多正确的命题其实都是由几个正确的命题推理得出的，从而为后面的演绎推理的证明打下伏笔.提醒学生要注意培养自己良好思维习惯.4.体会原本的在实际生活中的价值，它可以影响到我们生活的各个方面，它的价值远远不只数学，它推动了我们人类的文明.问题一：请同学们先说出一些学过的真命题？然后从中找出一些真命题作为基本事实：同位角相等，两直线平行.两直线平行，同位角相等.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等.等式性质和不等式的性质.说明：1.让学生自主说出学过的正确命题可以使学生从熟悉的和感兴趣的问题来设情境，引起学生探究热情，让学生亲身经历感受数学上的很多正确的命题，调动学生的积极性和主动性，增强了学生积极参与教学活动的意识，又能有助于培养他们的探究能力.2.通过合作交流让学生感受数学中的真命题其实就是由那几个真命题为基础而得出的，鼓励学生积极发言，培养学生归纳概括的能力.归纳：由此出发，我们可以证明我们曾探索、发现的有关平行的性质、三角形、四边形的许多性质是正确的.问题二：如何用推理的方法证实“同角的补角相等”的正确性呢？(1)这个命题的条件是什么？结论是什么？(2)你能根据命题的条件画出相应的图形吗？(3)要证明图1中的2与3相等，就需要知道它们有什么联系？你能说说它们之间的联系吗？解：1与2互补(已知)，1+2=180(互补的定义)，2=180-1(等式性质).1与3互补(已知),1+3=180(互补的定义),3=180-1(等式性质),2=3(等量代换). 图1说明：1.通过3个小问题的提问，引导学生逐步体会推理的思考方法.在讨论、交流中发展学生有条理的表达能力，然后教师示范推理的书写格式.2.由于学生在前面已经对证明有所了解，所以这里有所侧重地先介绍推理的书写格式.3.通过书写格式的规范化要求，使学生对证明的规范书写有所了解.归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）.已经证明的定理也可作为以后推理依据.四.例题设计例1、如何证明“对顶角相等”(1)仿照问题1提问师生共同合作完成推理：已知：如图直线AB、CD相交于点O.求证：1=2.证明：AB、CD相交于点O(已知),1+BOD=180, 1=180-BOD,2+BOD=180, 2=180-BOD,1=2(等量代换).师生共同讨论交流：证明与图形有关的命题，一般有哪几个步骤？(1)根据命题，画出图形；(2)根据命题，结合图形，写出已知、求证；(3)写出证明过程.说明：1.组织学生讨论、交流，让学生自已认识如何有条理地表达推理过程.2.在充分的交流中，引导学生从开始学习证明就意识到，证明不仅要步步有据，而且证明的依据必须是基本事实.有关概念的定义，已经证明的定理及已知条件，从中感受教学的严谨性.3.这里教师要注意切不可讲解，可以让学生先思考，让学生表述，对于出现不规范的书写及非因及果等问题，教师要耐心引导.例2证明：内错角相等，两直线平行.已知：如图，直线a、b被直线C所截，1=2.求证ab.证明：1=2(已知),1=3(对顶角相等).2=3(等量代换),ab(同位角相等，两直线平行).定理：内错角相等，两直线平行.尝试：证明“同旁内角互补，两直线平行”.说明：1.前面已经证实了“对顶角相等”这个性质，所以根据此性质设计证明“内错角相等，两直线平行”这个定理的证明，学生还是比较容易接受的.2.“尝试”的证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.这里也与前面一样要让学生有条理地表述“三段论”.3.再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.五.拓展练习1.已知：如图，BAD=DCB,1=3. 求证：ADBC.2.证明：同角的余角相等.3.已知：如图，1=2，CE平分ACD.11.3证明（2）一.设计思路以前我们曾用直观感知、操作说理的方法，通过师生共同探索，得出了各种图形的一些属性，然后以探索所得到的这些图形属性作为依据，对学生进行一两步逻辑推理的训练，从而达到解决一些较为简单的几何问题的目的.本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说理得到的有关平行线的判定和性质的一些命题重新进行研究.证明是一种从“题设”到“结论”的论证过程，并且要求论证的每一步都不出毛病.通过对证明的方法与步骤的介绍，让学生充分地感受到用直观感知、操作说理的方法来研究几何图形属性的重要方法外，还有逻辑推理的方法也是研究几何图形属性的重要方法.二.目标设计1.回顾平行线的判定和性质，能主动地区别这些互逆命题；2.回顾平行线判定定理的证明，引导学生不断感受几何演绎体系的思维方法，并通过新的思考和讨论，以利于学生主动参与本节课的教学活动.3.能从“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”这两个基本事实出发，证明平行线的判定定理、平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.三.活动设计活动内容师生互动思考与安排问题一：(1)我们曾探索发现了有关平行线的哪些结论？(2)我们是如何证明“同旁内角互补，两直线平行”的？(3)从基本事实“两直线平行，同位角相等”可以证明哪些结论？说明：1. 通过提问、回答的方法让学生迅速融入课堂学习，能够很快调动起学生的学习积极性和主动性.2. 增强学生积极参与教学活动的意识， 同时也能很快回忆起以前学习过的知识，通过学生熟悉的知识来引起学生学习新知识的信心及求知欲.活动一：与同学合作，根据“两直线平行，内错角相等”画出相关的图形，并根据所画图形写出已知、求证.已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，ABCD.求证：1=2.问题二：说说你的证明思路. 两种证明方法：分析法、综合法.证明1： ABCD(已知),3=2(两直线平行，同位角相等),1=3(对顶角相等),1=2(等量代换).证明2： 要证1=2,需证1=3，2=3,由于1与3是对顶角,所以1=3.要证2=3.需有ABCD说明：1. 通过合作交流让学生感受学习过程中合作的重要性，通过大家思维的互补从而得出最佳的结果.这里也可让学生板演，让学生自主地写出完整的讲明过程，教师要引导学生，也可让学生自己分析.2. 在整个交流合作的过程中学生肯定会有不同的思考方法，然后可选择两个典型的思路方法全班同学共同分析，然后得出我们在证明过程中经常使用的两种方法：（1）分析法; （2）综合法.四.例题设计例1. 根据“两直线平行，内错角相等”，画出相关的图形，并根据所画图形写出已知、求证.请同学根据上例过程，完成你的证明，并与同学交流.说明：1. 再次“尝试”的证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.2. 再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.例2. 已知：如图ab，cd，1=50.求证：2=130.分析：思考方法一：cd3+5=180,1+2=1802=130.思考方法二：3+4=1801+2=180,2=130.说明：通过多种思考方法的交流，促进学生发散思考，并在交流中，发展学生的合乎逻辑的思维、有条理的表达能力.请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.五.拓展练习1. 如图1，下列推理正确的是( )A. MANB，1=3B. 2=4，MCNDC. 1=3，MANBD. MCND，1=32. 如图2，ABCD，A=25，C=45，则E的度数是( ) A. 60B. 70C. 80D. 653. 已知：如图3，ADBC，B=D.求证:ABCD.4. 已知：如图4，ADBC，ABC=C，求证：AD平分EAC.11.3 证明(3)一.设计思路对于三角形的内角和定理，我们以前已通过量、折、拼的方法进行了合情推理并得出了相关的推论.但以前的方法总是让人有些疑惑的，我们有什么方法来消除这种疑惑呢？本节课我们主要目的是通过添加不同的辅助线的演绎推理的方法，把三角形的3个内角转化为1个平角或把三角形的3个内角转化为两平行线的同旁内角证明三角形内角和定理及推论，使学生从中体会到不同的添加辅助线方法的实质是相同的把一个我们不会解的新问题，转化为我们会解的问题，认识到添加辅助线是解决数学问题的一种常用方法.二.目标设计1.回顾三角形的内角和定理及推论；2.学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；3.体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法.三.活动设计活动内容师生互动思考与安排问题一：1.三角形3个内角的和是多少？2.你是如何知道的？3.你认为这个结论正确吗？你有过怀疑吗？为什么？说明：设计问题情境，实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明.问题二：1.如何证明三角形内角和等于180？2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现.(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.3.你能想办法把A、B“搬”到相应的位置上吗？已知：ABC.求证：A+B+C=180.证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CEAB,CEAB,1=B(两直线平行，同位角相等),2=A(两直线平行，内错角相等).1+2+ACB=180(平角的定义),A+B+ACB=180(等量代换).通过证明我们现在对三角形内角和等于180不再产生怀疑了，于是得到：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180.说明：证明后可以让让学生知道三角形定理的可靠性与完备性，只有通过证明过的理论才是完美的，前面学过的很多正确的命题都可以通过用证明的方法来说明它们的正确性.如“等边对等角”、“平行四边形的对边相等”等.4. 画ACE=A是否也可以证明:A+B+ACB=180？5. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流.例如：过点A作EFBC.思考：如图，是ABC的一个外角，与ABC的内角有怎样的大小关系？由三角形内角和定理，可以知道：=A+B,进而A，B.三角形内角和定理的推论：1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.说明：这里用多种方法来证明三角形内角和定理，让学生更能体会到证明这种逻辑推理思维.同时各种探索活动使学生能形式化的表达，发展学生合乎逻辑的思考、步步有据地、有条理地用自已的语言表达并鼓励学生主动地表达与交流，引导学生不仅从已知条件向结论探索，而且从结论向已知条件探索或从已知条件和结论两个方面互相逼近.四.例题设计例：如图，梯形ABCD中，ADBC，B=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形.分析：为了将B、C“搬”到一个三角形，可过点D作DEAB交BC于E，从而1=B，又因B=C，所以1=C，故DE=DC，又由于ADBC，易知四边形ABED是平行四边形，从而DE=AB，因此AB=CD，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”.1. 请同学们根据分析，完成证明过程并与同学交流.2. 你还有不同的证明方法吗？说明：一般来说，梯形问题都可转化为三角形和平行四边形问题，为此平移一腰或延长梯形的两腰或分别过上底的两个顶点，向梯形的下底作高.让学生体会数学中转化思想，即把不熟悉的转化为熟悉的.五.拓展练习1.如图1，ABCD，（1）A、P、C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将P点向右移，如图2， ABCD，此时A、P、C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.2.如图，ABC中，AB=AC，求证B=C.3.求证：六边形的内角和为720.11.4 互逆命题（1）学习目标：1.理解互逆命题的含义；2.会写出一个命题的逆命题；3.会用符号“”简明地表述推理过程。本课要点：1.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论又是第二个命题的，那么这两个命题叫做。2.每个命题都有逆命题吗？3.判断一个命题是假命题，只需。4.原命题成立，它的逆命题一定成立吗？。请举一例：。典型例题：例1.指出下列命题中的互逆命题（1） 直角都相等（2） 同位角相等，两直线平行（3） 如果a+b0, 那么a0,b0（4） 两直线平行，同位角相等（5） 相等的角都是直角（6） 如果a0,b0, 那么ab0例2.写出下列命题的逆命题，并指出其真假（1）若ab=0,则a=0 （2）角平分线上的点到这个角的两边相等（3）等腰三角形两底角相等（4）四边相等的四边形是菱形例3. 用符号“”写出下题的证明过程：已知：CE为ABC外角ACD的平分线，CE交BA的延长线于E.求证：BACB能力训练：1.判断(1)每一个命题都有逆命题( )(2)如果原命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题( )(3)原命题是假命题，但它的逆命题可能是真命题( )2.下列命题同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的周长相等；直角都相等；等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.判断下列命题：等腰三角形是轴对称图形；若a1且b1，则a+b2全等三角形对应角的平分线相等；直角三角形的两锐角互余其中逆命题正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.0个4.写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.(1)如果|a|=|b|，那么a=b； (2)如果a0，那么a20；(3)等角的补角相等； (4)全等三角形的面积相等.5. 举反例说明下列命题是假命题.(1)如果a+b0，那么a0，b0；(2)面积相等的三角形是全等三角形.(3)4条边相等的四边形是正方形.(4)相等的角是对顶角.(5)两直线被第三条直线所截,同位角相等.(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.6.如图，ABC中，AB=AC， 求证B=C.7.如图1，ABCD，（1）A、P、C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将P点向右移，(如图2) ABCD，此时A、P、C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.(3) 如果将P点移到图3和图4的位置，此时A、P、C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.8.小明用下面的方法画出了45角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作ABP的平分线BD，BD的反向延长线交OAB的平分线于点C，则C就是所求的45角。你认为对吗？请给出证明。11.4互逆命题(2)一.设计思路这节课创设了一个根据条件观察图形，做出猜想，证明猜想的活动情境，设计这个活动，使学生既经历合情推理，又经历演绎推理，不断发展初步演绎推理能力，从而使标准中“经历观察，实验猜想，证明”等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自已的观点”这些过程性目标得到落实，再通过例题让学生知道可用不同的方式和方法证明同一个命题.二.目标设计1. 能使用合情推理和演绎推理证明一个命题；2. 知道可以用不同的方式与方法证明同一个命题；3. 探索关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题.三.活动设计活动内容师生互动思考与安排情境 ：如图1, ABCD，AB与DE相交于点G，B=D.问题1：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论. 图1在下列括号内填写推理的依据. 因为ABCD(已知)所以EGA=D( )又因为B=D(已知)所以EGA=B( )所以DEBF( )上面的推理过程用符号“”怎样表达：分析:ABCDBF问题2：还有不同的方法可以证明DEBF吗？问题3：在图(1)中，如果DEBF，B=D，那么你得到什么结论？证明你的结论.问题4：在图(1)中，如果ABCD，DEBF，那么你得到什么结论？证明你的结论.说明：1、问题3、4构造了课本中讨论的关于图(1)的一个命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推理中，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系”和“大小关系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨.2、课本提供的情景是让学生经历“观察-实验-猜想证明”等活动，由合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展初步的演绎推理的能力.3、实际中我们可以把图形演变为图2，再来让学生猜想，并能得出什么结论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角的两边分别互相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否.四.例题设计例1 证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.分析：已知：如图(2)直线a、b、c，ba，ca，求证：bc.证明：作直线a、b、c的截线d因为ba(已知)所以 2=1( )因为ca (已知)所以3=1( )所以2=3(等量代换)所以bc( )用符号“”简明表述上述的推理过程如下：ba2=1 2=3bcca3=1你还有其他的方法证明bc吗？说明：这个例题可以让学生自己去探索，因为学生已有了这个结论，并且也有学生在解题时用过这个结论，如同三角形的内角和一样，此题的证明有多种方法，可让学生自己先说证明思路，教师切不可自己先讲，要让学生有自己的思考过程，也不可只讲一种访求了事，让学生体会多种方法.例2 如图，ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求B的度数.分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理.解：AB=AC(已知)B=C(等边对等角) 同理，B=BAD，CAD=CDA.设B=x，则C=x，BAD=x，ADC=2x, CAD=2x.在ADC中，C+CAD+ADC=180.x+2 x+ 2x=180 .x=36 .答：B的度数为36.说明：这个几何计算题中没有知道任何一个角的度数，可是最后是让学生来求一个角的度数，同样也要让学生去体会，尝试用各种方法来解决，也要让学生有自己的思维过程，让学生体会数形结合，本例若想不到方程思想，或是找不到方程的依据，则问题就得不到顺利解放，究其原因，是对用代数方法解几何题较陌生，要加强训练加深印象.五.拓展练习1.给下面的证明过程证明理由已知AB=DC，BAD=CDA求证：ABC=DCB证明：连结AC、BD交点为O在ADB与DAC中因为BAD=ADC( )AD=DA( )AB=DC( )所以ADBDAC( )所以BD=CA又在ABC与DCB中因为BD=CA( )AB=DC( )BC=BC( )所以ABCDCB( )所以ABC=DCB2.证明：角平分线上的一点到这个角的两边距离相等.