2014年崇明一模数学卷

2014 年崇明区高考数学一模卷 考试时间 120 分钟 满分 150 分 考生注意 本考试设试卷和答题纸两部分 试卷包括试题与答题要求 所有答案必须写在答题纸上 做在试卷上一律不得分 答题纸与试卷在 试题编号上是一一对应的 答题时应特别注意 不能错位 一 填空题 每题 4 分 共 56 分 1 2014 年 1 月崇明 已知虚数 z 满足等式 则 z 12i 216iz 解析 探究性理解水平 复数的四则运算 共轭复数 设 ab 则 izab 由题意可得 2 i i 1 6ab 即 3i 1 6ab 从而 36 2 则可得 12i 2 2014 年 1 月崇明 若关于 x y 的线性方程组的增广矩阵为 该方程组的解为 则 mn 的0mn 34xy 值等于 24 解析 探究性理解水平 利用矩阵解二元线性方程组 由题意得方程组为 63xyn 因为 34xy 代入方 程组可得 364mn 21 从而 214mn 3 2014 年 1 月崇明 直线 x 2y 1 的一个法向量可以是 2 解析 探究性理解水平 直线的法向量 因为直线为 10 xy 所以直线的法向量可以为 1 2 4 2014 年 1 月崇明 已知全集 U R 则 22 log0AxBx UAB 1 02x 解析 探究性理解水平 一元二次不等式的解法 集合的运算 对于集合 A 20 x 02xx 所以 02 Ax 对于集合 B 2log1 2log1x 122logl 1 UB 所以 0UAx 5 2014 年 1 月崇明 某单位有青年职工 160 人 中年职工人数是老年职工人数的 2 倍 老 中 青职工共有 430 人 为了解职工身体状况 现采用分层抽样方法进行调查 在抽取的样本中有青年职工 32 人 则该样本中的老年职 工人数为 18 解析 探究性理解水平 随机抽样中的分层抽样 设老年职工有 x人 则中年职工有 2x人 由题意 216043x 解得 90 x 即老年职工有 90 人 从而样本中老年职工的人数为 329016 18 6 2014 年 1 月崇明 函数 的反函数是 2log 1 yx 1 x 2 21 y 解析 探究性理解水平 反函数 21 xxy 则 即 2log y 1 y 2 故反函数为 2log yx 1 x 为全体实数排了一个 序 类似地 我们在复数集 C 上也可以定义一个称为 序 的关系 记为 定义如下 对于任意两个复数 1zaib2zi i 为虚数单位 当且仅当 12 ab 12z12a 或 下面命题 1 i 0 若 则 若 则对于任意12b 且 z3z 13z12z 对于复数 若 则 其中真命题是 写出zCz 122 所有真命题的序号 解析 解释性理解水平 复数的新定义 对于 0i1i0i 所以 正确 设33izab 因为 23z 所以必有 23a 又 12z 必有 2a 所以 13a 则当 13a 时 1 当 1时 有 123b 推得 所以 正确 令 izb 因为 2z 故22 a 当 时 12b 故 12 12 推得 12z 当1a 时 1 推得 zz 所以 正确 对于 取 0iz 22i izbz 不妨令 12 a 则 12z 此时 11ba 22izba 不满足 12z 故 不正确 14 2014 年 1 月崇明 已知 当 时 函数 的最小值为 则 t 的取值范围是 1t 2 xt 4xy 4 0 2 解析 探究性理解水平 函数的基本性质 二阶行列式的计算 4xy 4 x 24 0 xy 函数图像如图所示 令 4y 解得 2x或 2 2 t 21tt 得 21tt 即 02t 即 0 二 选择题 每题 5 分 共 20 分 15 2014 年 1 月崇明 设 R 则 是 成立的 C a 210 a 1 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既非充分也非必要条件 解析 解释性理解水平 充分必要条件的判定 因为 210a 又 2213 04a 所以 10a 即 1 而 所以 因为由 a 但是 推不出 a 则 210a 是 1的 必要不充分条件 故选 C 16 2014 年 1 月崇明 已知数列 是无穷等比数列 其前 n 项和是 若 则 的值 n nS234 limnS 为 D A B C D 234383163 解析 探究性理解水平 等比数列的前 n项和公式和数列的极限 因为 2341a 2 1aq 1283qa 则 nS1 naq 81 6132 32nn 所以 1616limli 323nnS 故选 D 17 2014 年 1 月崇明 对于函数 下列选项中正确的是 B 22 cos si 11fxx A 在 内是递增的 B 的图像关于原点对称 fx 42f C 的最小正周期为 2 D 的最大值为 1 x 解析 探究性理解水平 两角和差正弦 余弦公式 二倍角公式 正弦函数的图像与性质 因为22 cos sin 11fxx cos 2 cos 2 66x 1in6 i 其最小正周期 T 最大值为 1 因为 fx在 22kxk 内递增 即 fx在 4k 内递增 综上选 B 18 2014 年 1 月崇明 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么 的最小值PAB 等于 D A B C D 42 32 42 32 解析 探究性理解水平 直线与圆的位置关系 平面向量运算的坐标表示 基本不等式 以圆心为原点 OP 所在直线为 x 轴建立如图所示坐标系 设 cos in A 则易知 1 cos in 0 cosBP 1 cos sin PA 1PB 2B 2 22cs cs cos 223sc 32 当 且仅当 22cso时取等号 故选 D 三 解答题 本大题共 74 分 解答下列各题需要必要的步骤 19 2014 年 1 月崇明 本题 12 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 6 分 1 解方程 2335log 1log xx 2 理 已知命题 命题 且命题 是 的必要条件 求实数 m 的取值范围 1m 文 已知集合 A 集合 集合 并且 求 a 1 3 230Bx 1 Cxaa R CAB 的取值范围 解 探究性理解水平 解释性水平 解对数方程 解绝对值不等式 充分必要条件 1 由原方程化简得 23335log logl xx 即 233log log 5 xx 所以 2350 x 解得 2 理 1mx 由于命题 是 的必要条件 所以 所以 3 文 0 B 所以 0 AB 由于 CAB 所以 1a 所以 1 2a 20 2014 年 1 月崇明 本题 14 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 在 中 角 A B C 的对边分别为 a b c S 是该三角形的面积 1 若 求角 B 的度数 1 sinco sino 22Bab 2 若 a 8 求 b 的值 83S 解 探究性理解水平 向量共线的坐标运算 二倍角公式 余弦定理 1 角 ABC 的对边分别为 ac 由 得1sinco221sincoB 所以 1s2 从而 3B 2 由 8 3a 8S得 in8ac 所以 4c 又 2csb 解得 47b 21 2014 年 1 月崇明 本题 14 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 4 分 第 3 小题 6 分 已知圆 的圆心在坐标原点 O 且恰好与直线 相切 1C1 20lxy 1 求圆的标准方程 2 设点 A 为圆上一动点 AN x 轴于 N 若动点 Q 满足 其中 m 为非零常数 试求动点 1 OmAON Q 的轨迹方程 2C 3 在 2 的结论下 当 时 得到动点 Q 轨迹曲线 C 与 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B D 两点 求3m 1l 面积的最大值 OBD 解 探究性理解水平 圆的标准方程 动点的轨迹方程 点到直线的距离公式 直线方程 基本不等式 1 设圆的半径为 r 圆心到直线 1l距离为 d 则 2d 所以 圆 1C的方程为 24xy 2 设动点 Qxy 0 A N 轴于 0 由题意 00 1 xym 所以 0 xym 即 01 xy 将 A代入 2 4xy 得动点 Q的轨迹方程 2C 24x 3 m 时 曲线 C的方程为 213xy 设直线 l的方程为 yxb 设直线 l与椭圆 2143xy 交点1 Bxy 2 Dy 联立方程 24 bxy 得 2278410 xb 因为 2 48 7 0b 解得 27b 且 12 217 又因为点 O到直线 l的距离 2bd 211 4BDxx 26 2237 7 3OBbSbb 当且仅当 2 7b 即 27 时取到最大值 面积的最大值为 22 2014 年 1 月崇明 本题 16 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 6 分 已知数列 的前 n 项和为 且 anS11 2nnaa 1 证明数列 是等比数列 n 2 求通项 与前 n 项和 anS 3 设 若集合 恰有 4 个元素 求实数 的取值范围 2 nb N nMb N 解 探究性理解水平 等比数列的概念 数列的通项公式及前 n 项和 1 因为 12a 1nna 当 时 0na 又 N为常数 所以 n 是以 12为首项 为公比的等比数列 2 由 na 是以 12为首项 为公比的等比数列得 1 nna 所以 n 由错项相减得 122nnS 3 因为 2 nnb N 所以 12 nnnnbS 由于 12 13n 所以 21 234 b 因为集合 nMb 恰有 4 个元素 且 14 2 3158b 32 所以352 23 2014 年 1 月崇明 本题 18 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 6 分 已知函数 对任意的 恒有 成立 2 2 fxbgxbc Rx fxg 文 1 记 如果 h x 为奇函数 求 b c 满足的条件 hf 1 当 b 0 时 记 若 h x 在 上为增函数 求 c 的取值范围 gf 2 2 证明 当 x 0 时 成立 c 3 理 3 若对满足条件的任意实数 b c 不等式 恒成立 求 M 的最小值 2 gcbMc 解 探究性理解水平 函数的奇偶性 单调性 不等式证明 文 1 因为任意的 x R恒有 fxg 成立 所以对任意的 x R 2bxc 即2 0 xbc 恒成立 所以 2 4 0bcb 从而 214c 即 设 gxhf 的定义域 为 D 因为 hx是奇函数 所以对于任意 xD hx 成立 解得 0b 所以 1c 1 因为任意的 R恒有 fg 成立 所以对任意的 x 2bxc 即 2 xbc 恒成立 所以 24 0bc 从而 14 即 当 0 时 记 2 gxchxcf 因为 hx在 2 上为增函数 所以任取 12 x 12 1212 0ff 恒成立 即任取 12 x 12x 12 0c 成立 也就是 12cx成立 所以 4c 即 的取值范围是 4 2 由 1 得 且 4b 所以 21b 因此 2 0cb 故当 0 x 时 有 2 0 xcgcx 即当 x 时 2 gxc 3 理 3 由 2 知 b 当 时 有 222 gcbbbM 设 btc 则 1t 所以 12t 由于 1 yt 的值域为 3 当 c 时 M的 取值范围是 3 2 当 cb 由 1 知 2 bc 此时 8gcb 或 0 2cb 从而23 gc 恒成立 综上所述 M的最小值为 3 欢迎加入 2014 一起加油 QQ 群 群号 220234804