中小学课程衔接课.doc

初中数学 专题六：中小学相同内容的衔接问题 第二讲 作者： 初中数学团队 评论数/浏览数： 115 / 531 发表日期： 2010-03-12 12:16:02 初中数学专题六中小学相关内容的衔接问题（二）主讲人： 朱文芳 北京师范大学数学科学学院数学教育教研室主任，博士，副教授周志英 北京市十一学校 张丹 北京市教育学院数学系副教授，义务教育及高中课程标准组核心成员王长沛 北京市教育学院 教授苏会连 北京市清华大学附属小学 鲍敬谊 北京市北京大学附属中学 于晓静 北京市十一学校 王丽星 北京市清华大学附属小学 各位老师，大家好！今天我们继续来一起研究初中数学的第六个专题中小学衔接问题，前面我们已经就空间与图形这一领域里面中小学衔接的问题进行了讨论和交流，今天我们一起在数与代数这个领域方面来讨论一下中小学衔接问题。在初中方程是非常重要的教学内容，首先请大家看一个小学有关方程的一个案例，在看的过程中希望老师能思考一下，在小学里面讲方程和我们初中所讲的方程，从内容上、教学方法上、教学目标的达成等方面有哪些不同的地方。教学内容：方程北京市清华大学附属小学 王丽星教学目标：1、结合具体情境，了解方程的含义。2、会用方程表示简单情境中的等量关系。3、在列方程的过程中，发展抽象概括能力。教学重点：会用方程表示简单情境中的等量关系。教学难点：会用方程表示简单情境中的等量关系。教学过程：一、感受方程：（一）你能用数学语言说一说天平的状态吗？1、2、3、4、5、6、问：如果加一个克重的苹果，会有什么情况出现，你能用数学语言说说吗？7、二、分类进一步认识方程：50+50=100 60+=1005020+30 2=10020+10=30 20+=10020+100 4=38020+100 1、讨论如何分类？2、小结：像60+=100, 2=100，20+=100，4=380这样含有未知数的等式叫做方程。3、介绍： 九章算术距今已经1900多年了，共收有 246个数学问题，分为九章。在世界上有很大的影响，已被译成日、俄、德、英等多种文字出版，唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。我们前面学过的负数、面积、分数在九章算术中都有研究，今天这节课学习的方程在这本书中也已经出现了。三、用方程表示简单情境中的等量关系1、看图列方程： 方程_ 方程_ （1）学生列方程（2）汇报：说一说根据什么列的方程。2、开放练习：选取合适的信息，试着列出方程清华附小体育器材室：（1）有篮球个。（2）足球个。（3）足球比篮球少3个。（4）每个篮球40元。（5）每个足球30元。（6）买篮球一共花600元。（7）买足球一共花360元。（8）足球和篮球一共买27个。四、全课小结：你有什么收获？ 传统教材里，方程是在初中学的，叫做简易方程。现在新课程标准在小学里面已经对方程的内容有所渗透，第二学段叫做式与方程，然后在第三学段叫方程与不等式。请苏会连老师和鲍敬谊老师讲一讲在小学和初中对于方程的定位。苏老师：在北师大版教材的应该是四年级下册，其中一个单元是认识方程。在这认识方程之前，是认识这个用字母表示数这部分的内容，在铺垫完之后才开始认识方程，然后用方程解决一些现实生活中的一些问题。鲍老师：新教材里面的初中也是先讲用字母表示数，其实代数知识是由算术知识的基础上发展起来的，那么它的特点就是用字母表示数，所以我们在中学也要先复习一下小学学过的用字母表示数，这样正好跟小学有一个衔接，学生以为这不是难东西我小学就曾经会过的东西，从而就很容易让它过渡到列代数式，到解决一元一次方程的这样的问题上面来。苏老师：但是在小学的时候，用字母表示数孩子感觉并不是这么容易，是比较抽象的。因为这是孩子第一次接触这个关于代数方面的一些东西，就相当于它从一个具体数的认识上升到用一个字母来表示数，所以在教学中要有一些具体的情境才能去引出来真正的用字母表示数这个问题。咱们感觉的孩子用这个字母表示数比较简单，但是孩子从过去像具体的这种数变成到代数这种知识渗透，这个初步的启蒙阶段确实比较难，是一个跨越，一个非常了不起的一个跨越。要不断地用一个个具体情境，让孩子一点点的感知。当有了这种充分的感知后才开始认识方程，认识方程也离不开具体的情境，这时候就象上面那个课例，用天平来引入方程，这个等量关系也是通过这种砝码的变化来认识的，实际上它是借助于一个具体的图形，包括它后边的列方程，都是看图列方程。在课例中最后给了一些那种简单的文字，学生根据文字列方程时会感到比较困难，难在找等量关系，并不是说每个孩子上来就能马上找到等量关系，因为过去孩子解决这些现实生活的问题时习惯用算术方法。鲍老师： 到初中列方程实际上已经是一种数学思想，是一种建模的意识。小学对于这个方程思想的渗透是非常重要的。它是把未知数的地位给提高了，提高到跟已知数的地位是平等的，那么用算术的办法来解决应用题的时候，实际上未知数是作为一个特殊的结果，它只能作为一个结果出现，那么必须要从已知数出发经过一个中间数、已知数，然后一步一步往下探索，最后得出来那个结果，才是未知数。也就是说未知数始终是没有参与运算，也就是要找一个用运算符号把已知数联系起来这样一个式子来表示未知数。而方程，它把未知数和已知数的地位等同了，同样都可以参加运算，未知数、已知数在这个等式当中同时出现，那找到一个含有这个未知数的一个等式问题就能够解决了，所以从列式这个角度来说，这个代数解法要比算术解法优越得多了。另外，在解法上初中不是用逆运算的办法来解了，因为有时用逆运算只限于非常简单的方程，对于复杂一点比如说带括号、带分母的方程再用逆运算的办法来解就比较困难了。所以我们在中学先建立起等式的性质，再利用等式的性质去解方程。因此，初中强调解方程过程中的依据，也就是更强调算理。 下面分别请两位专家分别从课程标准和心理学角度来谈一谈数与代数这一领域的中小学衔接问题。张丹：注重中小学课程内容的衔接确实是一个非常重要的一个问题，注重中小学课程内容的衔接，实际上是要求我们能从整体上来把握数学课程，就是教中学的老师要了解一下小学阶段为中学学习奠定了哪些知识和经验的基础，同样，教小学的老师要了解一下现在小学的内容在今后中学它的发展是什么。所以我觉得注重中小学衔接它给我们带来的一个非常重要的意义，就是希望老师们能够从整体上来把握课程的内容。这种衔接不仅仅是知识的衔接，更重要的还有思想上和经验上的衔接。在第二学段明确提出了式与方程的这样一个版块，有三方面的要求，在具体情景中会用字母表示数，会用方程表示简单情景中的等量关系，理解等式的性质，会用等式的性质，解简单的方程。小学阶段主要是会解象3x+2=5、2x-x=3这样简单的方程。实际上是简单的一元一次方程，过去把它叫做简易方程。这是课程标准对于小学的要求。对于小学学习方程的要求，首先你有一个直观了解，就是小学也要学方程，也要学字母表示数。因为我曾经跟中学老师聊天发现有这么一个现象，很多中学老师都不知道自己的学生在小学已经学过字母表示数了，他还把他当成一张白纸重新再教，这可能就没有处理好中小学的衔接。第二个我们还应该看到小学跟中学学习方程确实有明显的差别，由于小学不要求负数的运算，所以我们在解方程的过程中是不要求出现有关负数的运算的。除了知识上的衔接，我们还要思考为什么要在小学就开始设置方程，它的一些思想是什么，主要是让学生从算术走入代数。我们知道，用字母表示数，是从算术到代数的开始，因为有了字母，有了符号，我们就可以用符号来表示，一般性的东西了，那么有了符号的运算，我们就可以进行一般性的运算和推理了，这是从算术到代数的这样一个思想，当然这种思想，在小学要渗透，在中学也是，非常非常重要的。另外，在小学引进方程还有一个目的就是对于算术应用题，我们知道，小学长期以来解算术应用题是一个难点，而很多繁难的算术应用题是可以用方程来解决的，特别是一些逆向的问题如果顺着想，列方程很简单，但是你逆着用算术讲是很难的。那么我们在小学引进了方程让学生稍微体会一下用方程解决实际问题的优越性。另外引进方程，特别是引进字母表示数，让学生体会一下函数的思想。函数的思想我想这是小学设置方程和字母表示数的一个主要的目的。到了中学我们会看到小学内容都会有一些延伸。从方程来说，从原来的简单的没有负数参与运算的一元一次方程到现在要解决一般性的一元一次方程，要解决一元二次方程，要解决一些一次的方程组，我想这是一个很明显的一个延伸。另外一个非常重要的延伸，就是树立一种模型的思想。因为小学阶段只是用方程解决一些简单的实际问题，初步让学生体会到原来方程能够帮助我解决一些难的问题。但到了中学，我们要学习一些模型，比如说一元一次的模型，比如说一元二次方程模型。就要让初中的老师就要让学生体会到需要从实际问题中抽象出数学问题，然后要建立这个模型，要求解这个模型，要应用这个模型等等这样的一个数学建模的一般过程。让学生体会到原来一元一次方程这样的模型可以帮助我解决很多很多的问题，那么一元二次方程比如说这个模型在解决一些极大值极小值中起到一个非常重要的一个作用。第三个延伸，就是联系。就是因为在初中阶段，我们还有一个非常重要的一个内容就是函数和不等式。所以我们在初中要让学生初步体会到方程与函数、不等式的一些联系。那么这种联系到高中会进一步得到加强。另外到了高中老师们可能还会体会到方程可能还会跟一些几何的东西进行研究，比如说圆锥曲线的一些方程等等，当然这里我们主要讲初中，但是我想初中的老师，你也应该要了解一下高中的内容，我想还有一个延伸就是让学生进一步的树立符号意识，就是符号能够帮助我们来刻划一般性的东西，能够帮助我们进行一般性的运算和推理，这个在小学只能是一个非常初步的体验，到了中学我们有了这个不同的模型了以后，方程不等式函数以后，我们有了方程的一些运算，我们有了式的运算，这样一来能体会到符号它能够进行一般性的运算和推理。对老师提一些建议，第一个建议，刚才已经提到一定要了解一下你的学生的知识和经验基础，就是一般方程，现在我们都在初一或者最多在初二我们都要讲到，一般在初一都要接触到，老师们要清楚小学生已经学了一点点方程，学了一点点字母表示数。所以你无论是通过一些调查也好，还是通过一些访谈也好了解一下你们班学生在小学掌握的情况，然后你再进行设计。第二个，就是使要使不断的使学生体会到方程来解决问题的它的一个优越性，来帮助学生来熟悉这种代数思维，虽然小学生已经稍微体会到了方程的优越性，但是这个绝对不是一讲就会的，需要我们在中学通过不断的用方程来解决问题让学生体会到这种代数思维的优越性。也就是说，设了未知数，那未知数和已知数就可以同样同等地位参与运算列列方程，这样一来这个数量关系分析就比较简单了。第三个建议，就希望老师们在这个方程的教学中抓住一些关键词，一个是模型，一个是符号的意识，一个是运算，符号的运算。朱老师：1中小学数学中关于符号运算的特点小学数学数概念的发展是以自然数，小数、分数（实际上是正分数）、百分数、负数的顺序展开的。在掌握数概念的基础上，学习四则运算。并且，在小学高年级，引入了“简易方程”，使学生初步认识了“用字母表示数”。中学数学中首先接触的“有理数”的概念，通过全面地对“负数”的学习，完成有理数系的扩充；随后，引入无理数，完成实数系的扩充；进一步地，由解方程引入虚数，完成复数系的扩充。但是，与小学数学的一个根本不同在于：中学在完成数系扩充的同时，把重点放在了“用字母表示数”上。因为它是现代数学的根基，是形成符号化、形式化数学思想的基础。有此基础之后，中学数学可以学习代数式、方程、不等式，以及函数等内容。也正是这些内容构成了中学数学的核心。2中小学学生思维的发展特点由此可以看出，初中数学已经采取了由概念、原理和方法组成的、具有一定科学形态的体系，它与小学数学相对来说较为具体、形象的描述性形态不同，它已经向抽象的逻辑思维过渡，是学生数学思维水平发展过程中的一个关键时期。学生的初中数学学习质量，是衡量学生能否实现从常识性思维向科学性思维的飞跃的重要指标。与之相对应的是，小学生首先是在直观的基础上自发产生感性概括，或称直觉的概括。例如，小学生经常使用日常生活概念来代替数学概念的现象，就说明了感性概括的作用。中学生可以小学生已经积累的经验为基础，思维发展水平上已经能够将科学概念与日常概念作充分的比较，认识到二者的异同，了解日常概念的表面性、局限性和科学概念的深刻性、全面性，是一种自觉、主动的概括。但是，初中阶段学生的理性概括不是自发地进行的，而是在意识到感性知识经验的不足或矛盾时，进行一系列分析后完成的。所谓意识到感性知识经验的不足或矛盾，在数学学习中是指：把一些外表很不相同的事物归入同一类别，并以同一名称来命名感到困难时；或者是用已有的知识经验去解释、说明新的事物现象遇到障碍时。一个传统教学过程中的现象是：许多小学生升入中学时，数学学业成绩并不差，但随着进入初中，数学学习内容的增加，有些学生逐渐失去对数学的兴趣，数学能力水平不再进步，其中一个重要的原因就是没有完成从常识性思维向科学性思维的飞跃。而实现了这个飞跃的学生逐渐表现出较强的数学能力水平。3小学生与初中生的符号运算的学习特点：（1）范围发生的大小不同：小学阶段基本上是在算术集上的算术运算。虽然，在新课标中，在小学引入了负数的概念，并且也使用了一些字母表示数。但小学这种引入的水平，与初中的学习不同，它主要是小学数学代数化的一种趋势，强调小学数学的知识要为将来中学系统的学习负数，以及有理数的概念，字母表示数的思想打基础，可以说小学的这些内容的学习只是一种朴素的自然认识，有的小学教材，从名称上，就可以体会这一点，它叫“生活中的负数”。初中数学，由于学习了有理数，实数的概念，学习了字母表示数的运算法则，所以，初中数学符号运算的范围要较小学有更大的定义域。（2）在运算的步骤，或者说复杂性水平上，也随之不同。显然，小学生由于他们的认识，在很大程度上要依赖于对事物的直观，例如，在推理时他们常以事物的偶然性联系为依据，所以，小学生常常不能使自己的思维活动服从于一定的目的任务，因此在进行符号运算时，自觉性，方向性，目的性就不如初中学生。所以，在小学阶段的符号运算的复杂性水平要远远低于初中的水平。比如，就是一个运算题，在小学里，涉及到的运算法则与概念就少；在初中就多，不仅包括小学已有的所有概念与法则，还包括新学习的例如：绝对值的概念，相反数的概念，以及在字母表示数上的运算。例如，解方程，不等式；函数解析式的意义等。（3）抽象概括程度不同。对算理的教学要求不同。小学更简单，初中更严谨。或者说，小学更机械些，中学更强调推理的成分，以及对算法的简捷性、正确性、合理性的认识。由于有小学数学学习做基础，因此在算术数域范畴内，中学生所遇到的障碍，并不明显。出现困难的地方是以下几个方面：1学生负数概念的形成水平学生在学习负数时，与学习“0”（表示“没有”的意义）、学习分数、小数（表示一个整体的部分量的意义）相比较而言，负数概念的实际意义让学生感觉不是很自然。虽然，教师在教学过程中，以及教材在语言表述过程中，考虑到这一点，想尽办法，列举实例来解释负数在实际生活中的意义。典型的例子就是使用温度计，例如要说明最高温度是零上5?C，最低温度是零下5?C时，为把它们区分清楚，把零上5?C记作+5?C，把零下5?C记作-5?C。这样来学习负数概念?表示具有相反意义的量的数概念。在此，曾经是运算符号的“+”（表示加法）和“-”（表示减法），现在又要将它们写在数字的前面来表示意义相反的量，成为性质符号，而且进一步的学习还出现正号可以省略不写的现象；不仅如此，而且数集上的运算也发生了很大变化，括号“（）”的参与，去括号法则的复杂性，使得许多学生经常在进行有理数运算时犯错误。这种错误甚至到了代数学习了很长时间后仍旧会发生。例如，下面是学生在数学学习中常见的错误，计算： -15-15=0 -15（-15）=-30；或 -15（-15）=30；或-15（-15）=-225（-11.2）+（+9.7）=-20.9 上述问题，表明了学生负数概念发展的水平。甚至在学习用字母表示数时的各种式子的运算，问题也主要出在符号的“+”和“-”的这种双重身份上。例如，一些学生解为：由此可见，过去具有单一功能（运算功能）的符号“+”和“-”，在负数概念发展过程中，变成具有两项功能给学生造成了一定困难。然而，也许正是这一点，如果学生明确它，表明学生数概念发展的水平可以上升一个新高度。2 字母表示数的发展水平 表示学生数学能力发展水平的一个显著标志是学生使用“字母表示数”的水平。虽然，实际上，在小学数学中很早就出现了用字母表示的一些运算律、运算法则等，学生也能够体会到字母表示数的简明与普遍性。但真正理解字母表示数的涵义，需要一个很长的过程。 从小学开始，我们就渗透用字母表示数的概念了。例如在2年级时，就已出现类似这样的问题：在里填数，使等式成立。 或者在里填数，使算式成立。我们可以通过学生对代数式、方程、不等式、函数等，以及对数学中的“元”、“变元”、“参数”等的认知水平，来了解学生对字母表示数的思想的认识水平。 事实表明，学生在字母表示数的思想的形成过程中，认识上遇到一个大难关。因为字母表示数具有二重性，这就是字母表示的“数”既确定又任意，既要把字母看成是“数”的抽象，又要领会字母取值的任意性，这就要求学生在认识上从算术方法转变为用代数方法来思维。 学生如果能从数的运算中，看到把数抽象为字母表示的必要性；从求代数式的值的过程中，看到抽象的具体意义，理解字母表示就是对数的进一步抽象，会从数的运算性质，类比出式的运算性质；会用具体的数，去推断各种数学式子之间的关系，并能够验证其正确性。只有到了这时，我们才能说学生理解了“用字母表示数”的思想方法。但实际上，对于在一定程度上还依靠直观的、具体的内容来思维的中学生来讲，实现这一点需要很长时间。 例如：有学生不顾同类项，直接将系数相加，指数相加：。还有些学生在进行分式化简时，经常产生如下的错误：此时，学生把数字8和2 ，6与10不是当作幂的指数，而是当作分式的分子与分母的因数了。这类错误说明学生的思维水平仍旧停留在对数字进行运算的水平上，由此我们可以推断，学生还没有形成用字母表示数的概念。我们考察学生是否真正理解字母表示数的意义，是通过学生在把运算中所涉及到的字母问题集中于实际所说的内容上，能否围绕着字母在问题情境中的实际运用所作的阐释上，获得字母的正确含义。 众所周知，在代数学中使用字母符号体系之前，代数方法并未显示出它的威力，那时“代数的内容胜过它的形式”。但是当韦达精心地选择，甚至改进符号，有意识地用字母表示数来研究代数方程时，他实际上是在寻找一种不同于自然语言的形式化的符号语言，用以表达高度抽象的数学材料和逻辑关系，精确、深刻地刻画数学概念、代数方法。经过笛卡儿、莱布尼兹等数学家的不懈努力，这种用字母表示数的符号语言体系渐趋完善。从此，代数学被看成是关于字母运算，用字母表示公式的科学。由此可见，形式化、符号化的数学思想的核心基础就是字母表示数，而且它也是其它重要的数学思想方法，如集合、对应、函数的思想等根本所在。在字母表示数的学习中，还渗透了符号化、换元的思想方法，这些思想方法不仅可以逐步加深学生对“字母表示数”的理解，领会其中的思想方法实质，而且会促使学生对代数的认识上升到一个新水平。下面我们请王长沛老师结合两个课例来谈一谈新课程标准下如何认识中小学衔接问题。王老师： 我想从“代数思想的发展?从小学到初中”为题来谈谈衔接问题。中小学的数学教学的衔接问题，一直困扰着许多数学教师。例如，他们可能这样议论：“初一数学是中学数学的基础，要大面积地提高教学质量，必须从初一抓起。然而目前中小学数学教学存在着一种严重脱节现象，一部分学生进入初中后成绩明显下降。”至于原因，下面的说法有一定的代表性：“ 小学数学主要以“算术”为主，而中学数学则为“代数”与“几何”，初一年级的数学则从“代数”中“数的范围扩充”开始”。虽然，有的数学教师，凭借自己智慧与经验，也能够处理好“衔接” 问题。但是这一“痼疾”，只是传统课程体系所存在的问题的一种具体表现，很难在原有体系内得到解决。但是现在情况发生了变化。由于标准对“数与代数”这个内容领域，采取了新的处理思路，因此，有必要重新审视与处理中小学的数学教学的衔接问题。我们甚至可以问：在新的“数与代数”这个内容领域下，传统意义上的“衔接问题”是否不复存在了？如果存在，在新的条件下，“衔接问题”是什么？如何解决？ 代数是一种思维方式标准关于“数与代数”这个内容领域的处理，具有一些新的特征，发生了实质性的改变。这些变化有利于中小学在代数教学上具有连续性和统一性。这些特征是什么呢？笔者认为可采用下面的框架来描述标准关于“数与代数”这个内容领域的特征：1. 强调发展代数思维。根据标准，“代数思想” 的内涵十分丰富，它是一种思维方式，是一种对于规律与关系进行推理的方式。2. 强调按照数学化与学生认知发展的“轨道”，来组织“数与代数” 的内容，强调采用与之相适应的教学方式进行教学。3. 从第一学段开始，各学段都安排与“数与代数”有关的内容。尽可能早的把代数纳入学校数学课程，使我们可以对 “数与代数”这个内容领域进行整体的设计与处理。4. 采用螺旋式上升的方式，组织与编排“数与代数” 个部分的内容。对于重要的代数概念与思想方法，标准要求在每个学段，都为学生提供恰当的学习探究的机会。根据学生的认知发展的特点，其中最核心的思想是第 1 条，即标准把代数看作是一种思维方式，是一种对于规律与关系进行推理的方式。这种看法大大丰富了“学校代数” 的内涵。 标准不仅把代数看作是语言，在抽象、概括与证明活动中使用的语言。同时，它把代数看作是“模型与工具” - 通过建立数学模型解决问题的工具。例如，把字母看作未知数或变量，用方程或函数来分析与解决问题。此外，标准 还强调代数思想 - 在其他领域或学科使用的代数符号与思想。把代数看作是一种思维方式，它是一种对于规律与关系进行推理的方式，它也渗透在儿童早期的数学活动中。这有助于从整体把握这个领域的教学，也大大扩展了发展代数思维的载体，而不仅仅局限于“字母表示数” 与“方程” 等具体内容。例如，最早的代数就存在于对声音、形状与数的辨认中，存在于这些现象的比较与分析中，存在于发现规律与构造规律的活动中。从儿童的天性看，他们是会喜欢数学的。好奇心使他们尝试描述形状、颜色、声音、字母与数。这些尝试使他们开始对规律进行概括，发现其中的同与不同。这类分类与概括，为学生符号意识形成，为代数思维的发展，提供了极为重要基础。而随着年级的提升，他们学习利用数表、图形与词语等数学工具，对现实生活中的现象、几何图形与数进行描述与表示。这些早期的学习为以后的代数学习，特别是符号表达式的学习，奠定了基础。到第三学段（初中），学生的数学经验集中在建立数（与运算）和符号联系之间的联系，与方程与表达式的之间联系。在这个阶段强调比与比例 ? 整个中小学都是最主要的！这个思想要超越比、比例与百分比。对比例的理解使他们可以把他们的经验与几何、度量、数据分析联系起来。他们可以看到两个量可以具有比例的关系！如地图、比例图、相似图形与其他许多实际问题联系起来。两个案例标准关于“数与代数”的处理思路，已经对数学教师产生了极大的影响，使他们对“数与代数” 的教学设计，进行了许多新的尝试。这也有助于我们对“衔接问题” 进行重新思考。下面仅提供两个范例，其中案例1发生在小学六年级（ 2006年11月），而案例2发生在初中一年级。案例1 X只青蛙教师：大家都会说儿歌 “一只青蛙” 吗? (学生齐读：一只青蛙)教师：能不按顺序往下说吗？看屏幕填表（生填表，课件演示）说一说为什么这样填。有什么规律吗？青蛙（只）嘴（张）眼睛（只）腿（条）教师：刚才给出了青蛙的只数，同学们利用这个规律很快的就说出了嘴的张数、眼睛的只数和腿的条数。下面我们再来数一数（注：此时课件出示一堆青蛙），看谁数得又对又快。(学生不知所措，不知道有多少只青蛙，没法数。)教师：想想不确定有多少只青蛙时，该怎么办呢？ 教师： 谁能想个办法，把所有同学说的青蛙只数全包括进去？ 学生A：用 代表青蛙的只数，。学生B ：（出乎教师的意料） “青蛙x只，眼睛就画2个x ，腿就画4个x.”。青蛙（只）嘴（张）眼睛（只）腿（条） xxxxxxxx 案例 2 a 表示什么?教师：（看小黑板）如图所示，摆1个正方形需要几根火柴棒? （黑板板书： 图3-11. 按照图3-1的方式，摆2个正方形需要 根火柴棒，摆3个正方形需要 根火柴棒。2. 摆10个这样的正方形，需要多少根火柴棒？）教师：大家可动手摆一下，摆如图所示的2个正方形需要几根火柴棒?（学生摆。） 教师：摆10个这样的正方形需要多少根火柴棒?（让学生摆一摆，想一想。很快有两三个学生举起了手。） 学生B：用31根。（但说不出道理。） 学生S：410-9。 教师：为什么是410-9? 说说理由。学生S：先看作摆单独的10个正方形，用410根火柴棒，后面的9个正方形少用了9根，所以共用了(410-9)根火柴棒。（老师在黑板上画出10个正方形的图形，并在下面写出410-9。）学生H：4+39。 教师：解释一下。（老师边在黑板上写出这个式子。） 教师：请坐。再想一想：假如老师像这样摆100个正方形，需要多少根火柴棒? (学生四人一组讨论。但立即有一个学生一直高举着手。渐渐举手的学生越来越多。) 教师：还有不同的方法吗？（巡视一遍）好，没有了。那现在老师要问，摆150个这样的正方形要用多少根火柴棒，会算吗？ 学生Z ：用（4150-149）根，与4100-99的方法一样。 教师：这就是说我们不管摆多少个这样的正方形都有一样的规律。摆1个算1遍，摆2个算2遍，摆10个算10遍。很麻烦，这就启发我们应该怎么办? 教师：（出示课题）那么这节课我们就来学习a能表示什么 教师：a是字母，那么正方形的个数可用字母来表示。摆a个正方形需要多少根火柴棒? 学生Y：需要无数根。 教师：有没有规律? 学生L：xa+1，a表示正方形的个数，x表示搭正方形所需的根数。（教师板书式子。） 学生W：4a-x。 学生J：4a - (a-1)，与上面的4150-149一样，因为a可以代表150，a-1代表149，所以我认为是这样。 教师：大家再来讨论W ( 学生W )说的4a-x是否正确? （学生讨论。老师下去与学生交流。）学生B：我认为她 (指W)不对，每个正方形用4根，摆a个用4a根，应该是4a-x+99。 教师：好。请坐。不要忘了a表示所有正方形的个数，除了第一个正方形外还剩几个正方形? 学生：(a-1)个。 这个式子可改写成3(a-1)+4。 教师：好的，可能很多同学都听糊涂了。 我们来看摆3个(正方形)的情况，横的用了（学生回答：6根），竖的用了（学生答：7根）。 学生L：2a+1a+1。 学生Y：太繁，直接认为a+a+a+1简单。教师：好。他认为，上边一个a，下边一个a，再加上左边一个a，加起来。 学生W：不如认为a3+1。 教师：a+a+a能否写成a3？ 学生 H： 我认为是a+xx。教 师：x代表什么？学 生：不固定。 两个案例的启示启示一这两个案例有明显的共同点：试图超越“告诉学生知识”，尝试“让学生建立经历一些将实际问题抽象为数与代数的过程,”，“经历运用数学符号与图形描述现实世界的过程，建立初步的数感与符号感，发展抽象思维。”l 设置具体情境，让学生对“隐藏”在其中的规律进行探究； 学生S：410-9。 教师：为什么是410-9? 说说理由。学生S：先看作摆单独的10个正方形，用410根火柴棒，后面的9个正方形少用了9根，所以共用了(410-9)根火柴棒。（老师在黑板上画出10个正方形的图形，并在下面写出410-9。）l 通过归纳与概括，从具体到一般，发现一般的规律，如数量关系和变化规律；学生Z ：用（4150-149）根，与4100-99的方法一样。l 表示所发现的数量关系和变化规律，尝试用符号来表示。 教师：a是字母，那么正方形的个数可用字母来表示。摆a个正方形需要多少根火柴棒? 学生Y：需要无数根。 教师：有没有规律? 学生L：xa+1，a表示正方形的个数，x表示搭正方形所需的根数。（教师板书式子。） 学生W：4a-x。 学生J：4a - (a-1)，与上面的4150-149一样，因为a可以代表150，a-1代表149，所以我认为是这样。 启示二从两个案例得到的另一个启示是：一方面，从两个案例看，在通过归纳与概括，发现某些数量关系一般的规律，这个过程，学生似乎没有遇到太多的“波澜”。另一方面，但是接受“用字母表示数”这个事实也没有问题，但在具体运用时，却反映了他们理解上的差异或“混乱”。为什么? 请看下一段对话:教师：好。他认为，上边一个a，下边一个a，再加上左边一个a，加起来。 学生W：不如认为a3+1。 教师：a+a+a能否写成a3？ 学生 H： 我认为是a+xx。教 师：x代表什么？学 生：不固定。 教师：有没有规律? 学生L：xa+1，a表示正方形的个数，x表示搭正方形所需的根数。（教师板书式子。） 学生W：4a-x。 学生J：4a - (a-1)，与上面的4150-149一样，因为a可以代表150，a-1代表149， 教师：好的，可能很多同学都听糊涂了。 我们来看摆3个 (正方形)的情况，横的用了（学生回答：6根），竖的用了（学生答：7根）。 学生W：不如认为a3+1。 教师：a+a+a能否写成a3？ 学生 H： 我认为是a+xx。教 师：x代表什么？学 生：不固定。学生A：用 代表青蛙的只数，。学生B ：（出乎教师的意料） “青蛙x只，眼睛就画2个x ，腿就画4个x.”。青蛙（只）嘴（张）眼睛（只）腿（条） xxxxxxxx 利用代数符号这个工具，是代数思维发展的重要元素，它使我们在用代数解决问题，变得更更有效。但是完成这个飞跃，学生要经历一个“跌跌撞撞”的攀登过程，并且表现出显著的个性差异。启示三 从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示 用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃， 实现这个飞跃，学生要经历一个“跌跌撞撞”的攀登过程，并且表现出显著的个性差异。教师的反思 这一节课可以说学生学得有些吃力，在教学活动中，由于我的拘谨，留给学生思维的空间不够宽敞，使得学生一直都处在被动状态下。虽然我有引导学生主动地进行思考、讨论、合作交流等活动，但是活动中，我总是急于求成，想一下子把知识都让学生学会，也害怕学生说不清楚，于是常常出现代劳现象。教师的反思2某种程度上，我低估了教材的难度，或者没有很好地分析学生，学生在认识青蛙的眼睛、腿与青蛙只数的关系时遇到了困难。我也感到很困惑，由于学生的基础、理解能力不同，在学习活动的过程中的表现也会不一致，教师应该照顾尽可能多的学生。可见，学生眼里的世界很多与成年人的不同，他们有自己观察世界的方式、特点，只有多与他们沟通，研究他们的心理特点、认知起点，多从他们的角度去思考问题。 从案例和反思中我们可以看到：课程标准给我们提出的数与代数的教学目标，一个明确的总的目标，每个学段也有一个目标，它是希望通过一个过程逐步的来使得学生达到我们课程标准所期望的目标，教材的编写者根据他们自己对课程标准的理解也有自己所期望的目标，而教材的使用者教师也要有他的期望，像刚才我们看到的那两个案例，青蛙和摆火柴棍这两个例子，我们能感受到老师的这种教学目标，但最后要落实的学生那，学生是否达到这个目标。其实我们想要考察是这几个目标是不是一致，或者是不是匹配吻合。通过我们对这两个案例的分析，我觉得，作为老师应该了解学生的学习轨道，他怎么学的，他在学习用字母表示数时会碰到什么样的困难，学习用字母表示数的目的到底是什么，我们老师在进行教学反思时不要泛泛的说“我对学生估计过高了”或者是“没有很好的调动学生的积极性”，要能够对学生学习的问题有更深层次的这个研究，如学生现阶段的认知发展水平、认知思维特点到底是个什么程度，学生在建立用字母表示数这整个过程中间，他是一个跌跌撞撞的攀登过程，一会儿上一会儿下，一会儿糊涂一会儿清楚，这是很自然的现象，而且个性差异表现更大，问题是我们老师对它是否充分的认识。那么，在新的课程标准下，对于中小学的衔接问题，我的理解是：第一，要把代数看成一种思维方式，它是一种对规律的一种推理的方式。从这种角度理解，有利于我们整体把握数与代数这个领域的教学。它可以扩大我们发展代数思维的载体，不仅仅是字母表示数这么狭小的领域了。第二，是数学化，经历具体情景到抽象这么一个过程，通过这个过程使得学生发展符号感，这是很重要的。第三，用字母表示数这是学生认识上的一个飞跃，课程标准强调符号感，但是学生建立符号意识是要经历一个漫长的过程，对于学生思维发展的这个过程，我们老师要有更多的理解与认识。专题六的小结：小学数学和初中数学都是我们基础教育里面的一个范畴，小学可以作为中学数学的基础，中学数学又可以作为小学数学的进步扩展和发展。特别是在我们新课程推进的今天，强调重要的数学内容和重要的数学思想方法要螺旋上升，所以我们今天要站在一个新的角度重新来认识中小学衔接问题。在这个专题中，从空间与图形到数与代数，不仅有一线老师的在教学实际中的深刻认识，也有我们几位专家的精辟理论。我们希望通过这个专题的讨论和交流，能给我们一线老师提供一些有效的引导，或者更多的启发。无论是从那个角度来考虑中小学衔接问题，或者是内容，或者是方法，或者是目标，但是有一点是共同的，也是最根本的，那就是我们的思考和我们的研究是从学生的发展出发，我们的教学出发点是学生,我们教学的最终归宿也是学生，这是我们希望通过这一专题的研修能够引起老师思考的。