概率与统计在课改后成为初中数学的一个重要分支.doc

概率与统计在课改后成为初中数学的一个重要分支,学生在统计与概率的学习中有较多的错误认识和理解偏颇,造成学习上的障碍1.思维体系的不完整。初中学生都是已经历过前运算阶段(七八岁)与具体运算阶段(七八岁到十二岁左右)的孩子,差不多才开始进入形式运算阶段,演绎逻辑与随机概念还比较缺乏。比如主观判断、预言结果法、用自己的方法统计与计算、不能区分因果事件与随机事件、总是相信没有发生过的结果总比发生过的后果更容易出现等。在学习数据处理时不能区分有效与无效数据,抓不住重点数据,不能做出合理归纳与引用等。2.教学方法的老化。概率与统计部分与其他代数或几何内容不同,而有的教师还是老方法,一讲到底,试验能省则省,不能省便匆匆带过,没有实验的铺垫;或者只有少许讲解,然后便大量练习。学生对有些问题的理解永远只停留在较低的认识层面上。3.初中所有概率统计内容集中安排在一学期或两学期。有些教师认为每学期一章内容太繁琐,因此把内容集中在一起教学,以为这样做可以事半功倍;其实很不利于帮助学生克服早就形成的某些顽固的错误概念与方法,忽略了学生的认知规律。事实上,学生对统计与概率的接受需经历收集数据、检验并调整自己直觉等过程,这需要延续较长的时间。四、教学对策 针对上述学生在学习概率与统计过程中的错误认识和解偏颇的分析,提出一些教学对策,建议如下:首先，用活动的方法有效开展概率与统计的教学。概率与统计内容是与生活实际密切联系的,在收集处理数据以及利用数据进行预测、推断和决策的过程中包含大量的活动,完成这些活动需正确的统计思想进行指导,在活动中渗透统计思想,建立统计观念。另外,教师应重视通过实践活动来改变学生存在的一些错误认识或理解偏颇。其次在教学给学生更多练习实验的时间。最后，要使用信息技术进行辅助教学。1、初中学生在统计的学习中，对平均数、中位数与众数的掌握还是不错的。但不能利用它们做出决策。例如分析某次考试成绩然后提出合理建议，一部分学生总是认为平均数越高越好，觉得中位数与众数没有用。在利用收集到的数据进行分析做出决策时也充分暴露出学生语言表达的贫乏，往往一句话结束很不到位。2、在对样本概念的理解上学生有较多的错误认识或理解不全面。教材中把样本定义为“从总体中抽出的一部分个体”。这种定义指出样本的基本含义是“样本是总体的一部分，与总体的关系是部分与整体的关系”。其实样本还有另一层含义即“样本对了解总体的意义”。有一部分学生的错误比如，“我要写字，那么笔就是样本”，这种根本就没理解两层含义。“要知道笔好不好用，可以在纸上试试，这是一个样本”忽略了第一层基本含义而只考虑到样本的检验意义。“要了解一批本子的质量，拿出一本也是样本”，这一种没有理解抽样的意义等。更有一些同学把“样本”理解为“样板”，比如“做衣服的草图是样本”，或者还认为样本是一些实验品的雏形比如“雕塑用的泥胚”等。这些认识需要弄清抽样在实践中的意义才能对样本的概念有更完整的理解。3、在概率的学习中，学生总是认为比统计部分难学。概念的理解还是有许多错误认识，特别表现在定性或定量地说明机会上。虽然绝大部分从七年级到九年级的学生都能区分必然事件，可能性事件和不可能事件，但以为”不太可能”就是”不可能”，”很有可能”就是”必然”、以及”有可能发生”与”必然发生”之间的混淆是两种普遍存在的错误。例：判断下列事件中的哪些是必然事件？可能事件？不可能事件？（1）买一张体育彩票中二等奖（2）马上就要下雨了，中间那块红地砖会最早滴到雨点一些同学认为必然事件与可能事件没什么区别。都意味着某事将要发生。另外一些同学认为可能性很大的就是必然事件，不太可能发生的就是不可能事件。这些错误的想法说明学生在定性说明机会的能力中不能准确理解“相当有可能”、“不太可能”、“不是很有可能”、“很可能”、“偶然”等术语。学生语言表达能力较弱。有些学生竟然还提到了”机会”就是”运气”，这也反映出社会上的宗教迷信对他们产生的影响。尤其在七、八年级学生中，这些认识明显多于九年级。1|评论专题讲座初中数学中概率与统计学习的难点及解决策略俞京宁北京教育学院丰台分院一、统计与概率的研究对象、方法以及中、小学学习要求的差异（一）明确统计与概率的研究对象统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果作出决策的科学。现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。统计可以为人们制定决策提供依据。概率是研究随机现象规律的科学，随机现象在日常生活中随处可见，概率为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。（二）对初中、小学统计与概率教材的整体认识由于统计与概率的内容从小学到初、高中，均有涉及， 遵循新教材逐级递进、螺旋上升的编写原则， 由浅入深、由感性到理性，要求学生逐步掌握统计与概率的相关内容并能应用他们解决一些实际问题。所以，作为初中阶段的教学，我们有必要了解新课程标准中初中和小学对这部分的教学要求。小学阶段对统计与概率内容的学习要求：分 1 - 3 ， 4 - 6 两个学段，学生 经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，并能够根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。初中阶段对统计与概率内容的学习要求：体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。具体的对比分析如下表初中、小学“统计与概率” 教学目标对比表内容小学初中区别统计的过程经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据从“经历”与“从事”这两个动词中可以看出：小学是在教师的引导下参与统计的全过程，面对的问题比较简单；而 初 中更多的是学生独立从事统计的全过程，面对的统计问题比小学的稍微复杂一些。统计图认识条形统计图、折线统计图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。会用扇形统计图表示数据；会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图。初 中在小学的基础上，进一步学习各种统计图的应用，此外增加了画频数分布直方图和频数折线图。所以，还要弄清频数分布直方图与条形统计图的区别。统计量理解并会求数据的平均数、中位数、 众数。会计算加权平均数，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度对于描述数据集中趋势的三个统计量的计算方法没变，只是数据由非负数扩充到实数；进一步学习加权平均数的计算方法；还增加了刻画数据波动情况的极差与方差。调查方法全面调查抽样调查：用样本估计总体初中增加了样本、总体等新的概念；要求学生 体会用样本估计总体的思想以及感受抽样的必要性，体会不同的抽样可能得到不同的结果。概率的定义可能性了解概率的意义小学没出现概率的定义，只提出 “事件的可能性”，初中在此基础上给出概率的定义，并介绍了概率的 统计定义概率的求法体验事件发生的等可能性，会求一些简单事件发生的可能性。运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。对于结果具有等可能性事件的概率计算，初中在小学基础上，学习用 列表、画树状图计算简单事件发生的概率；还需要了解结果不具有等可能事件的概率求法，即用频率估计概率的方法。通过对比初中、小学的学习目标，我们可以感受到：初 中的部分学习内容是在小学基础上进一步加深与扩充，在教学时，对于学生已有知识不适宜作为新课讲解，要抓住中小学的区别，创设合适的情境，使学生在复习的基础上巩固深化，加深对知识的理解以及增强应用意识。还有一些内容，是初中新增内容，重点体现在增加了数据表示的方法以及分析的方法，再有概率部分对随机性的理解要求加强了。其中的大部分概念，学生理解不是特别困难，但对于这两部分 蕴涵的统计思想和概率观点， 学生在学习的过程中会感到困难。（三）统计与概率学习与以往数学学习的差异为什么会产生难点？这是由于 统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触到的数学内容有根本的不同有关 ：以往学的代数、几何属于“确定性” 数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。具体从以下三个方面对比：1 . 研究对象不同由对确定性现象的研究变为对不确定性现象的研究。对于不确定性的现象本身来讲，又有两种情况：抛掷一枚硬币，我们不能确定是国徽面还是币值面朝上，但可以确定 “非此即彼 ”，不存在 “亦此亦彼 ”的问题，即 这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。偶然性是与必然性相对应的。偶然性刻画的是认知对象出现（内外）条件方面的不确定性，而关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。统计与概率研究的对象具有不确定性，但不确定性现象并不都是统计与概率研究的对象。例如 “两个人长得像 ”的现象也是不确定的，它是一种更复杂的不确定性，我们把它称为模糊性。不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。2 . 研究的思路与方式不同数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且很多时候是不完全归纳推理。因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习的用演绎推理所获得的结果那样 “确定无疑 ”。3 . 所获得的结果不同统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；而以往在确定性数学的学习过程中，得到的经常是较为一般性的、演绎的结果。这些差异的存在，都会造成学生在学习统计与概率过程中的困难。下面就具体分析一下这部分的难点及解决策略。二、统计的难点分析及解决策略真实的数据能提供科学信息，帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。因此， “运用数据进行推断 ”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而 “用样本推断总体 ”又是统计最核心的思想方法。统计学已有 2000 多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学包括描述统计和推断统计。描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。那么统计内容学习的难点在哪里呢？（一） 形成“统计观念”1. 难点“观念”，不同于计算、画图等简单技能，是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉。有些人将统计观念称为“数据感”或“信息观念”，无论用什么词汇，它反映的都是由一组数据所引发的想法、所推测到的所有可能的结果、自觉的联想到运用统计的方法解决有关的问题等。具体地说，统计观念可以在以下几个方面得到体现：认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。而在学生对统计有怎样的印象的调查中，获得的信息大致有以下几类：（ 1 ）统计就是分类（ 2 ）统计是计算（ 3 ）统计就是做加法（ 4 ）统计就是填统计表（ 5 ）统计就是画统计图，或者是根据统计图回答问题说明什么？说明对统计知识的教学出现了偏差。我们的教学重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。因此在教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念。2 . 解决策略学生的生活经验中，潜在地存在统计意识。比如每年的联欢会在采购前，生活委员一定会调查同学的喜好，然后结合大多数同学的爱好进行采购。我们教学的重点是帮助学生挖掘这种潜意识，注重培养学生有意识的从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。应该做好以下几点（ 1 ）使学生经历统计活动的全过程 观念的建立需要人们亲身的经历。要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进。 在参与活动中学会 统计方法，渗透统计思想。 从另一个角度看，数学的发展往往也经历了这样一个过程，首先是问题的提出，然后是收集与这个问题相关的信息并进行整理，再根据这些信息做出一些判断以解释或解决开始提出的问题。提出问题这点特别重要，没有目的的问题，比如老师让学生来数一数有几朵花、有几个人等，这样的统计活动在学生心里会留下什么？问题的提出，要考虑学生的兴趣，使他乐于参与，而且应该有利于教师的学科寓教。 例如，我们可以开展丰富多彩的问题调查活动，如调查初中生的最喜爱的课外活动、最爱看的书、最喜欢的人物、最喜欢的科目等等，也可以调查现阶段学生的理想等。此外，调查的问题还可以从报刊杂志、电视广播、网络等多方面寻找素材，但是要引导学生注意以上渠道提供的数据，其来源是否可靠、合理？利用合理的调查素材，使学生在运用统计知识的同时，将统计作为了解社会的一个重要手段，提高他们分析问题解决问题的能力，更好的认识现实社会，同时能理智的看待新闻媒介、广告等公布的数据，对现实世界中的许多事情形成自己的看法。爱因斯坦说过：“纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识，现实世界的一切知识是始于经验并终于经验的。”经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断，这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神。总之，一定要注意让学生经历活动的全过程。不仅要收集数据、填写统计表，绘制统计图、计算数据，而且感受统计图表的作用，并从中得出相关的结论。（ 2 ）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在教学中结合生活实例展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。例如：统计商店一个月内几种商品的销售情况，并对这个商店的进货提出你的建议；全球水资源的匮乏的事实众所周知，请学生对自家或学校的用水情况进行统计，并提出节水的合理化建议等等，让学生对身边他们感兴趣的事情展开调查，并能够结合所得数据解释统计结果，根据结果进行简单的判断与预测，清晰的表达自己的观点，能够和同伴交流，在解决问题的过程中，认识统计的作用，逐步树立从统计的角度思考问题。（二） 抽样的合理性1 难点统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。所以样本的抽取是否具有代表性，在统计中至关重要。 不同的抽样将产生不同的结论。那么如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。2 解决策略学生通过学习，了解了普查与抽查的区别，明确了抽查的必要性。但是由于 我们希望得到的数据能正确反映实际的状况， 所以抽出的样本要能代表这个全体。样本抽得好还是不好，这是非常重要的问题。比如我想了解这个区学生的学习成绩，找了 100 个学生，但他们都是实验班的学生，我想了解北京市学生的每天的学习时间，找的都是重点校的学生，这样的样本就代表性差。 有没有代表性的问题，是样本的一个核心问题。那么， 怎么能做到有代表性呢？ 就是随机抽取。为什么随机抽样具有代表性呢？比如说，要了解北京市初中生的视力情况。如果要随机抽取的话，假设视力为 5 . 2 的学生占百分之三，那么，抽到视力为 5 . 2 的可能性也就是百分之三。如果 5 . 0 的占 40 % ，那么，抽到 5 . 0 的可能性也是 40 % ，这样的随机抽样，就保证抽到的样本里，各个视力值的百分比与总体的百分比是一样的。另外，由于抽签与顺序无关，若抽取第一个学生，视力为 5 . 2 的概率是百分之三，那么抽取第二个学生、第三个学生等，其视力为 5 . 2 的概率也是百分之三。随机抽样能使得样本中不同视力的百分比和总体中的百分比近似相同。 换句话说，随机抽样的样本能很好地反映总体的状况。随机取样为什么具有代表性。这正好是我们前面所说的，概率统计学研究的对象，就是这个随机性，就是不确定性现象，所以从最开始接触总体和样本这两个基本概念的时候，我们老师就要意识到这个随机性，在抽样方法的学习过程中，应该讲到随机取样，随机性的作用，保证这个样本具有代表性，这样的话才能正确的理解这个概念，以及它和以往不同概念之间的差别，否则的话，我们方法介绍了，学生会操作方法，但不知道这方法为什么如此去用，也就谈不到在生活中灵活使用了。那么如何随机取样呢 ?随机取样不是很容易做到的。比如说你随机抛一枚一元硬币，某个面向上的次数有可能多于二分之一。说是随机抛，但是由于出手的角度、高度等因素，其实抛出来的结果也是很不随机的，所以随机性这一点呢，问题看似简单，但做到也还是很困难的一件事，这一点是我们老师要注意的。像这样的问题，要让学生了解，在初中也没必要去深究。但是应该让学生在具体情境中了解由于所取的样本不同，将会导致统计结论的差异。例如：某校要了解初中学生课余体育锻炼的时间，以便改进集中体育活动的时间，请学生做调查。首先要根据学校的学生总数，确定样本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，费时费力；其次，要选择调查的地点，应尽可能涉及到各类学生，比如图书馆、运动场等，仅在一个地方调查，很容易缺乏代表性，比如只选择运动场，一定会得出结论，学生的每天运动时间过长，反之，只在图书馆做调查，一定会得到锻炼时间严重不足的结论。此外，还要考虑到各年级的学业负担不同而导致业余时间不同，因此应分年级调查等，可见，在抽样的过程中，要考虑的因素非常多，也比较复杂。初中阶段让学生明确取样时要结合调查的目的，确定调查对象以及调查方法，使之尽可能的具有代表性即可。（三）统计量含义的理解1 难点初中生对统计量的计算不觉得困难，但是如果有较长的时间不使用，大部分学生就会出现遗忘的现象，更甭提灵活运用了，究其原因是对统计量的含义的理解不够到位。这其中表现最突出的就是方差了。例如，今年北京市中考题第 7题： 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高 ( 单位： cm) 如下表所示： 队员 1队员 2队员 3队员 4队员 5甲队177176175172175乙队170175173174183题目要求比较二人的平均数及方差。对于平均数，由于学生小学就非常熟悉，而且这是一个生活中常用的概念，所以学生采用估值法或是直接计算等方法都很容易得到相等的结论，而对于方差的比较，有的学生想用方差公式计算，但忘了公式或代入公式后计算有误。实质上，只要明确方差的作用是刻画数据的波动状态，认真分析两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选 B选项，根本不需要计算，省时、省力、还不容易出错。2 解决策略在统计的教学中，重点不是要求学生背公式，熟练计算，而是要 淡化统计量的计算技巧，突出统计量的特征和作用。避免将这部分内容的学习变成单纯的统计量的计算。注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。 作为概念课的教学，“概念产生背景的合理性和应用性”是激发学生自主学习新概念的突破口。 所以要设置合理的问题情境，使每一个概念来源于生活，反之应用于生活，学生才能有比较深刻的体会。例如对于方差概念的教学，我是这样设计的：首先，我出示了一组 2008 年我国奥运冠军在领奖台上的组图，用以吸引学生的注意力，同时由于本届奥运会我国成绩辉煌，这一引入也有利于激发学生的民族自豪感。在此基础上指出：冠军的背后还有杰出的教练，从而引入射击冠军杜丽及队友的预赛射击成绩：顺序环 数12345678910杜丽8.510.010.89.910.010.010.010.310.210.3武柳希9.010.79.210.010.69.410.510.810.09.8让学生利用数据分析两人谁更具优势。 将 教学内容转化为具有潜在意义的问题。由于学生已学过用平均数、众数、中位数分析数据，并且平均数在生活中较为常用，所以学生能够很快地想到利用平均数来比较两人成绩 。在此安排学生用计算器进行计算，可以提高课堂效率 。通过计算，学生发现两人的平均数相同，继而考察众数与中位数，结果仍然相同 。怎么办？ 让学生站到问题的前沿，使他们产生探索的欲望 。由于利用学过的统计量无法解决问题，所以引导学生借助图象直观的观察分析 。 学生已学过统计图，明确折线图反映数据波动情况，所以能够主动地画出折线统计图， 借助图形观察数据的波动情况，可以看到波动有大有小 。那么如何刻画波动大小呢？以什么量为参照进行分析更合理呢？引导学生分析此时关注的是所有数据的波动情况，而平均数是与所有数据有关的量，表示所有数据的平均水平，所以学生想到选取平均数为参照不会太困难 。要求学生在折线图上画出一条表示平均数的水平直线，再观察，你是否有新的发现？借助图象可以直观的感受每个数据在平均数上下波动，与平均数的偏差有大有小 。那么如何从数量上得到两组数据的差异 ?在此充分注意培养学生数形结合的思想 。这一问有一定的难度，所以在此，我安排了学生独立思考后的小组讨论，使学生在交流中相互激发灵感，有利于对知识的理解 。学生交流后，请大家发表观点。可能有人提出 :算出他们每个人的成绩偏离平均数的差的平均数。教师不急于否定，让学生动笔计算，得到 0 ，为什么会这样呢？学生思考后阐述原因，这一点结合图象很容易理解 。那么，有什么办法克服正负抵消呢？根据已有知识思考，学生由数据偏离平均数的距离，能够联想到绝对值，他们借助计算器计算，得到学生利用数据比较分析得出：杜丽的成绩偏离平均数的平均距离较小，也就是波动小，成绩相对稳定 。我进一步引导学生，为什么要取距离的平均数，只求和行不行？学生思考后，请他们举例说明。（当比较的两组数据个数不同时利用总和进行比较就不合理了 。）在此基础上得到数据距离平均数的平均距离：即每个数据与平均数的差的绝对值的平均数。我让学生尝试借助例题写出计算公式后分析它的作用：反映数据波动的大小 。此时教师指出：在后续学习中，要用到公式变形，而平均距离要取绝对值，不便于公式变形，所以统计中很少用。那么，还有什么办法可以避免正负抵消呢？ 联想已学的两个非负数，除绝对值外还有平方数，请学生尝试用平方替代绝对值计算：通过比较数据，你能得到什么结论？让学生利用数据分析的同时感受这种方式可以从数量角度说明数据的波动大小，然后让学生观察式子运算特征并归纳出计算方法：（ 1 ）先求平均数；（ 2 ）再求数据与平均数差的平方；（ 3 ）求平方和的平均数 。在此基础上，要求学生从特殊到一般推出方差公式。（你能结合这个例子，完成下面的问题吗？）设 是 n 个数据 x 1， x n的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这 n 个数据的方差 (variance)，用“ s 2 ”表示。你能写出“ s 2 ” 的计算公式吗？由于有前面具体问题的分析，对于学生来讲，得到方差公式并不困难。 ，得到公式后，引导学生分析公式中各量的含义及运算特征并请学生说出方差的作用：描述一组数据波动大小（离散程度）。即：方差的值越小，数据波动越小；方差的值越大，数据波动越大。也用他来描述数据偏离平均数的情况，即刻画离散程度。为了培养学生类比分析的能力，我要求学生将方差与已学平均数等统计量进行比较，得到：平均数、众数、中位数是描述数据的集中趋势，方差表示数据的波动大小。注：这里应强调，比较两组数据的波动大小时，一般以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。我想补充一点：京教版教材中关于方差的概念引例为射击比赛的环数，先介绍的是极差，然后才是方差，在此，一般都会采用描点法分析，而当所有的环数转化为图中的点时，学生的第一感觉就是点的位置有高有低，像波浪起伏，此时借机让学生想办法描述点的波动状态，从而逐步引入方差，学生体会深刻，对方差的作用印象深刻，再加上后面的巩固应用，能达到比较好的理解效果。而对于极差，可以放到后面，借助熟悉的温度差引入。这样对教材顺序的调整，不仅顺应学生的思维，而且有利于突出重点，突破难点。统计与概率作为新增内容，教材的编写也不是尽善尽美的，教师要开动脑筋，结合学生的具体情况，顺应学生的思维，对教材进行合理的整合，使学生充分体验概念的生成过程，加深对概念的理解。三、概率的难点分析及解决策略（一）建立“随机观念”1 难点随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念。特别是如果学生缺乏随机现象的丰富体验，往往很难建立这一观念。造成概率学习中的困难。2 解决策略对初中生而言，理解不确定的现象、不确定的事件，我们强调实际事件，强调是在相同条件下做重复实验，但是实验的结果却不确定。在实验之前，你是无法预料结果是哪一个，这样的结果，我们叫做随机；这样的实验，我们一般叫做随机实验。关于结果，我们还要作进一步的区分：（ 1 ）就是我们到现在为止，不知道这个结果是什么。这属于未知的事件，比如说数学上“哥德巴赫猜想”对还是不对，到现在来说，我们也不知道这个哥德巴赫猜想是成立还是不成立，但是它要么就成立，要么就不成立，所以说没有随机性。（ 2 ）你说火星上到底有没有人。这也没有任何随机性。要么就是有，要么就是没有。无非是我不知道。（ 3 ）一个硬币扔完了以后，我拿手盖上，我问你这是正面向上，还是反面向上。 由于这个实验已经做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。但是现在它没有任何随机性，只是我拿手盖了以后你看不见。如果你的眼睛像 X光一样，你就立刻能知道结果。所以，像这样的事情，客观已经定下来了，只是我还不知道，这样的事情不能叫做随机事件。所以说，不知道的结果和随机的结果是有区别的两个概念。还有些东西，也是不知道的。比如说，本拉登还活着吗？如果塔利班说，本拉登活的可能性是 10 % ，死的是 90 % ，像这样一些事件也是不确定现象。但是，本拉登是否活着，这种不确定现象，它没有重复实验的意义，所以也不是概率研究的领域。什么叫做随机现象，大千世界，不确定性的现象是非常多的。中学统计和概率所研究的不确定现象，只是其中最简单的一种。它强调的是条件确定，可以重复的这样的实验。对其他的一些不确定性的现象，也是在自然界频繁发生的，现在由于知识储备，或者是能力水平还没有达到，还不能加以研究。随机事件是研究独特的或者是特殊的一类不确定性现象。它强调的是这类随机事件是可以重复实验的，重复出现的；强调的是结果是可以随机发生的。就象投硬币，或者是掷骰子都是这样的事件。所以使学生对随机现象有初步的理解，必须在大量的实验过程中，才能丰富学生对概率意义的理解，形成随机观念。（二）概率的抽象性1 难点跟过去的精确数学相比较，概率比较抽象，不像前面学的统计量那样，比如说算术平均数，标准差，方差，有对应的公式，代入计算即可。概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知。虽然学生具有一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的。逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。例如有这么一个案例，美国的一个电视游戏节目有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊。给你一次猜的机会。猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。当然大家都希望能开走汽车。现在假如你猜 1 号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如 2 号门）打开。现在再给你一次机会，请问你是否要换 3 号门？观点一 这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是 1/3，所以不必换。观点二假定主持人打开的是 2 号门，既然 2 号门后面没有车，那么车要么在 1 号门后面，要么在 3 号门后面，概率各是 1/2，所以不必换。观点三车在 1 号门后面的概率是 1/3，于是在 2 号门或 3 号门后面的概率就是 2/3 ，现在既然 2 号门后面没有车，所以车在 3 号门后面的概率为 2/3，因此应该换。学生利用已有经验，往往与观点一或二一致。这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个。在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有。足以看出概率问题是有一定难度的。哈佛大学概率教授（ Diaconis ）应电视台邀请，进行了表演。以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊。按照规则要求，演示了 8 次，结果是有 6 次显示应当换。 Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量实验才获得的。如果这个游戏允许多次重复，那一定是 “换 ”为好。如果只给你一次机会，那是很难说的。 分析 :由于随机性，如果 1 号门后面确实是车，你猜对了，此时要换反而得不到车。如果 1 号门后面没有车，此时换就得到车。那么换与不换应该依据什么为准则？在此问题中，以得到车的概率最大为准则。三种观点在应用概率思想方面都是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小的判断上。首先注意的一点是，主持人是知道汽车在哪扇门后的。换的结果是将汽车换成羊，或将羊换成汽车。选择 1 号门，得到汽车的概率为 1/3，得到羊的概率为 2/3。如果换 3 号门，得到羊的概率为 1/3，得到汽车的概率为 2/3。从概率决策的角度应该换，观点三是正确的。Diaconis 教授的观点是正确的。既然在概率大小的判断上有分歧，通过重复模拟实验，借助频率的大小来判断最有说服力。2 解决策略对于概率的研究，在教学中多结合实例，让学生亲自经历随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。例如可以讨论下面掷币游戏的公平性：小红、小明在做掷硬币的游戏。任意掷一枚硬币两次，若两次朝上的面相同，则小明获胜；反之，小红获胜。这个游戏公平吗？教学时，可以让学生先猜测这个游戏的公平性，并说明自己的想法。学生在猜测时，可能会存在一个误解，认为小明获胜的机会比小红多。澄清误解的一个重要方法使学生亲身经历实验，通过实验结果修正自己的想法。同时学生在实验中发现，每次实验的结果事先都是无法预料的，每个小组收集的数据带有不确定性，但大量实验后，四种情况出现的频率却都稳定在同一个数值上。所以，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理解概率。（三） 概率的统计定义的理解1 难点概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义。对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难。2 解决策略对于概率的统计定义的价值以及它和前两种定义的关系可以从以下几个方面来理解。在相同的条件下做大量重复实验，一个事件 A 出现的次数 m 和总的实验次数 n 之比，称为事件 A 在这 n 次实验中出现的频率。当实验次数 n 很大时，频率将稳定在一个常数附近。 n 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率。这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义。这种对概率讨论的对象不再限于随机实验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性。例如，掷一枚质地不均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会不相等，不能用古典概率而只能用统计方法分析这个问题，如果经过大量重复实验，发现随着实验次数不断增加，硬币正面向上的频率越来越稳定在常数 2/3附近，则可以推断事件 A （硬币正面向上）发生的概率为 P ( A ) = 2/3 。随着人们观察对象的广泛化 ,人们越来越认识到 , 对一个随机事件来说 , 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的 , 并且是客观存在的 , 就好比一根木棒有长度 ,一块土地有面积一样。它就是频率稳定的中心值。 概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值 , 并且在实验重复次数 n 较大时 , 可用频率给出概率的一个近似值 , 这一点是概率统计定义最有价值的地方。概率的统计定义突破了古典概率、几何概率中随机实验要满足“结果等可能”的限制，因而具有一般性，其适用范围也更宽泛。从理论上说，古典概率、几何概率的概率也能够通过大量重复实验由频率的稳定性得出，即概率的统计定义的适用范围包括“结果等可能”的随机实验。对于初中学生，只要知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值即可。为了使高中的学习更轻松，可以设计一些实验，如抛掷瓶盖、硬币、摸球等，使学生从动手实验的过程中体会概率的统计定义。（四） 概率与频率的关系1 难点教学中，经常听到学生 这样叙述： “实验次数越多，用频率估计概率越准确 ”。 这样的叙述严密吗？概率与频率之间到底是什么样的关系？学生理解起来很困难。2 解决策略频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关 ,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数 ,是随机事件自身的一个属性 , 它与实验次数无关。 虽然在概率计算中 ,我们一般用事件发生的频率去代替概率 , 这与实际并不矛盾 ,就象测定一根木棒的长度一样 ,人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度” ,但用量具去测量 ,总会有误差 ,测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近 ,而得不到木棒的“真实长度”值。事实上 ,人们一般就用测量所得的近似值去代替“真实长度”。只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了。这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样。 因此，频率既有随机性（每人每次实验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率。于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值”。 频率的稳定性是概率论的理论基础。对概率与频率的关系的认识可以分三个层次进行教学。直观认识：概率描述事件发生的可能性大小，它是事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在 n次实验中，事件发生的频繁程度。一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。反之也对。具体实验：通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。精确刻画：以掷硬币为例，已知 “正面向上 ”的概率为 0 . 5 ，掷两次硬币，可能频率是 0 . 5 ，用频率估计概率的误差为 0 ；而掷 100 次硬币，也可能频率为 0 . 2 ，误差为 0 . 3 。显然上面的叙述不严密，太绝对了。比较严格的叙述为： “当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大 ”。建议参看教材阅读材料：历史上科学家掷币实验的记录实验者掷币次数出现正面向上的次数频率徳 . 摩根204810610 5181蒲丰404020480 5069徳 . 摩根409220480 5005费勒1000049790 4979皮尔逊1200060190 5016皮尔逊24000120120 5005罗曼诺夫斯基80640396990 4923( 五 )对等可能的理解1 难点“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提。正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”。因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点。而学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件：等可能。2 . 解决策略 “等可能”是无法确切证明的，往往是一种感觉，但是这种感觉是有其实际背景的，例如，掷一枚硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因为它质地均匀；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的，因为图钉本身给我们的感觉就是帽重钉轻。因此，“等可能”并不要多么严密的物理上或化学上的分析，只需要通过例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件。 “比率”涉及计算，不过初中阶段的学习还是应该避免复杂和技巧性高的计算，而是要让学生明白比率的含义：分子分母代表什么？分子代表“事件 A 所包含的基本事件”，分母代表“所有的基本事件”，因此，“比率”从数量上刻画了事件 A 发生的可能性，即概率。例：在 2004 年雅典奥运会女排决赛中，规定五局三胜。在俄罗斯队 2 ： 0 领先的情况下，中国队夺得金牌的概率有多大？分析：在这种情况下，必须比赛满五局，中国队才有可能夺得金牌。只需求后三局比赛中中国队连胜 3 局的概率，所以需要列出后三局比赛中国队所有可能出现胜负的结果。对于这个问题，学生会提出想法：如果第三局俄罗斯队又获胜，那么比赛就结束了，俄罗斯队获胜，中国队输了；这样看来，这个题目就出现了错误。其实，学生的这个想法恰好是教师用来深化“等可能性”的一次很好的机会。上述学生所列举的“俄罗斯队获胜”的情形只是这次比赛中所有可能出现的结果中的一种，如果只考虑这一种情况而不列举出其他所有可能的情况，那么这个问题就不是在“等可能的前提”下研究的问题，就不能用古典概型即列举法求概率来解决问题了。根据树状图，每种情况发生的可能性都相同，中国队三连胜的情况有 1 种，类似于上面的实例还有一些，如生活中我们使用十进制数，而计算机中则采用二进制数来传递数据，二进制数是用 0 、 1 所组成的编码，现有这样一个程序：在操作者按下“回车”键后，计算机会随机产生 0 或 1 。那么，在操作者连续四次按下“回车”键后，（ 1 ）产生的编码为“ 0001 ”的概率为多少？（ 2 ）产生的编码中有“三个 0 、一个 1 ” 的概率为多少？这给我们一种启示：对于初中生来说，了解概率意义的起点应选择何处？古典概率虽然只适用于随机实验中所有可能的结果为有限个且等可能的情形，是一种特殊的概率，但是它相对简单，最容易结合具体例子来认识。总体看来，有了古典概率作铺垫，有利于进一步了解更一般的概率定义。总之，为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式。先讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；再认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后从中归纳概率的本质特征（初中阶段不作要求）。四、 统计与概率的关系概率是刻画事件发生可能性大小的量，统计是通过处理数据，利用分析数据的结果进行预测或决策的过程。从统计学内在的知识体系看，概率是统计学的有机组成部分，在数据的分析阶段，可以利用概率进行统计分析，从数据中得出结论，根据结论进行预测或判断。因此，在初中阶段，可以把概率看成是统计过程的一个阶段。如果把整个初中阶段的统计内容按照统计活动的过程来安排，概率的内容安排在分析数据阶段更合适。另一方面，概率的内容相对比较抽象，其中包含丰富的随机性以及随机中有规律性的辨证思维。从学生的思维发展情况看，初中阶段只是辨证思维的萌芽，还很不成熟，因此概率的内容宜安排在学生辨证思维有一定发展的高年级阶段。 总之，初中的统计与概率的学习建立在小学学习的基础上，又将为高中的进一步研究奠定基础，所以这部分教学起着承上启下作用，在教学中一定加强重视。五、对统计与概率教学的几点建议（一）突出核心思想，把握重点和难点对统计思想和概率意义的理解，是教学的重点，也是难点。不要把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧的讲解；不要把概率教学变成复杂的概率计算的训练；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题。现在的情况是，许多学生可以计算概率，但面对需要用概率和统计思想解决实际问题时，显的束手无策。这说明在教学中，过多的关注了知识技能的学习，忽视思想方法的理解。教学中需要教师给学生提供丰富的素材，也可以让学生自己去收集与统计、概率相关的实际问题，然后运用所学的知识解决问题。（二）充分了解学情，明确教学目标由于对于这部分知识，学生具备一些基础，所以教学要针对学生的问题进行设计，而不能仅仅依据自己的主观臆断或凭经验。例如对于三种事件的教学，有的教师将时间均匀分配。这种课堂的效率比较低。关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。根据初中学生的能力水平，可以突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。教师要明白你想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。这是教学中应遵循的规律。特别是这些新增内容，教师要在前期对学生的掌握情况作充分的调查，以增强教学的针对性。（三）必要的操作实验不可省概率的统计规律性本身就是通过实验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是实验科学。在初中阶段，由于课时以及学生认知水平的限制，我们不可能也没有必要用严密的方法揭示一些稳定性规律，评价统计方法的优劣。设计恰当的实验，直观认识随机性规律、树立概率观点、理解统计思想是必要的，也是可行的。在一些具体问题中，可以通过实验纠正对概率判断上的错误观点，统一认识，消除争议。（四）重视反例和极端特例的作用在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。例 从包含 100 个学生的总体中，随机抽取 10 名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式下估计的更准确些？大多数人认为有放回抽样下估计的更准确，实际上恰恰相反。要想说服他们，我们不可能用数理统计的一套理论作出判断。可以借助合适的例子加以说明。 以下两个极端特例都能说明问题。例 1 ：采用有放回抽样，有可能同一个体被重复抽到，也有可能 10 次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确。而不放回抽样不会发生这样的情况。例 2：假定样本容量为 100，采用不放回抽样，样本和总体完全相同，估计结果完全确定，没有任何误差。而采用放回抽样，很难遇到样本和总体完全相同的情况。此外，在教学中，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币实验、布丰（ Buffon ）投针问题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。面对概率统计的教学，大多数教师比较陌生，这是很自然的，因为在教师自身接受的数学专业学习中，概率与统计就是一个弱项，又加上记忆或平时不曾经常地应用等原因产生的遗忘或知识的流失，造成教师的“一桶水”已经不多了， 那么要想教好概率统计，首先，需要教师先学好概率统计的内容，即要先装满“一桶水”甚至“一眼泉”；其次要上升到比较高的层次来理解这些知识、思想和方法，即要有高质量的“一桶水”；最后教师在教学过程中，还要结合学生的理解，学生的问题逐步深化自己的理解和认识，即要善于从“一杯水”中吸取营养，以增加“一桶水”使之成为“一眼泉”。