北师大版初中数学代数考点研究.doc

北师大版初中数学代数考点研究湖北省石首市文峰中学 张青云 434400第一模块：数考点1、实数的“二数一值”（相反数、倒数、绝对值）考点2、实数的近似数、有效数字和科学计数法考点3、实数的大小比较考点4、实数的运算考点5、数的规律探索第二模块：式考点1、同类项考点2、整式运算考点3、因式分解考点4、分式概念考点5、分式运算考点6、平方根、算术根、二次根式考点7、代数式的规律探索考点8、代数式的求值问题第三模块：方程与不等式考点1、方程（组）的解答考点2、求方程中的待定系数考点3、方程型应用问题考点4、不等式（组）的解法考点5、求不等式中待定系数的取值范围考点6、不等式（组）的应用问题第四模块：函数考点1、坐标点考点2、函数的图象考点3、求函数解析式考点4、二次函数的性质考点5、图象信息问题考点6、函数型的应用问题考点7、函数与面积第五模块：统计考点1、平均数、众数、中位数、方差、直方图的概念考点2、统计图的应用第六模块：概率考点1、会用列举法树状图计算概率考点2、利用概率解决问题北师大版初中数学代数考点研究湖北省石首市文峰中学 张青云 434400QQ：522285537 E-Mail:zqydyxabwfzlvip.sina.com 13797388953北师大版初中数学教材共分六册四部分，编排有38章356课时。其中数与代数设计有15个章节计150课时，占总课时的42.1%，统计与概率有8章计47课时，占总课时的13.2%。依纲靠本，与此相对应的，在中考试卷中，以满分120分估算，其两部分的权重应当分别为50分和16分左右。在这里，需要特别说明的是，中考试题要着重突出对重点知识重点内容的考查，并不刻意追求知识点的覆盖面，由此各部分比例分配在各地实际命制试卷时稍有微调，这是可以理解而且是负责的举动。在课程标准3136页、4749页，分别陈述了这两部分内容的具体目标，以此为框架，我将教材代数方面的考点分为六大模块：数；式；方程与不等式；函数；统计；概率。下面分别举例说明各模块包含的具体考点。本文所引举示例，均取自于2005年全国各地课改区数学中考试卷。第一模块：数本模块的数是指有理数和实数，内容约占教材的二章28课时，在卷中约占69分，以选择、填空的形式，也有以实数运算的解答题呈现的，题序通常排在各题型的第一小题。涉及到的考点主要有以下五点：考点1、实数的“二数一值”（相反数、倒数、绝对值），多数是考查相反数与绝对值例1：（2005年荆州市中考题）的相反数是（ ）A5 B C5 D例2：（2005年陕西省中考题）A为数轴上表示1的点，将点A沿数轴向右平移3个单位到点B，则点B所表示的实数为（ ） A. 3 B. 2 C.4 D.2或4例3：（2005年济南市中考题）若a与2互为相反数，则|a2|等于（ ）A、0 B、2 C、2 D、4考点2、实数的近似数、有效数字和科学计数法这是一个体现试卷是否靓丽的支点之一，命题者常冠以一些反映现实的时髦情景，以体现试卷关注现实关注生活。我预计，今年的不少题会有以禽流感、义务教育学杂费、神六、建设社会主义新农村等热点为试题情景。例4：（2006年荆州市中考题 ）2006年2月12日，我国发布了以“建设社会主义新农村”为主题的中央一号文件，文件指出，2006年至2010年，我国将逐步把农村义务教育全面纳入公共财政保障体系，免除学杂费后，平均每个小学生每年可减负约140元，初中生减负约180元，中央和地方各级财政5年间将累计新增农村义务教育经费约2182亿元，用科学记数法表示累计新增农村义务教育经费为（ ）A、2.182108元B、21.821011元C、2.1821011元D、2.1821012元考点3、实数的大小比较一般情况下，用作差法来比较，同时，注意有时可以使用特值法来比较；估计一个无理数的大小；借助数轴判大小。例5：（2005年江西省中考题）设=a，则下列结论正确的是（ ）A、4.5a5.0 B、5.0a5.5 C、5.5a6.0 D、 6.0ab B、ab0 D、ab0 例7：（2005年山东潍坊市中考题）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）A B C D考点4、实数的运算常常混合进二次根式（不含分母有理化）、三角函数和幂运算，但一般较基础容易。例8：（2005年长沙市中考题）计算：考点5、数的规律探索这类问题有点难度，由于数目众多，其规律大都需要建立较好的思维方法，找到一定的循环规律，题序常排在选择、填空的后几题。例9、（2005年福州市中考题）瑞士中学教师巴尔末成功地完谱数据，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据是 。例10、（2005年南宁市中考题）观察如图寻找规律，在“？”处填上的数字是（ ）A、128 B、136 C、162 D、188例11、（2005年南宁市中考题）如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数，如图所示，那么当a = 8时，c= ，d= 。22414882648A8例10图12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 5a b c d 例11图第二模块：式本模块是初中数学重点知识之一，式主要是指整式、分式和二次根式。教材中与之关联的有4章42课时，考卷中权重约占14分，主要考点有以下八点：考点1、同类项例12、（2005年荆州市中考题）单项式与是同类项，则的值为（ ）A2 B0 C2 D1考点2、整式运算包括一些如去、添括号法则，整式的乘法公式，幂运算法则以及非负数的应用等等，特别是幂指数运算法则。例13、（2005年南宁市中考题）下列运算正确的是（ ）A、x2x2=x4 B、(a1)2=a21 C、3x2y=5xy D、a2 a3=a5例14：（2005年山东临沂市中考题）下列各式计算正确的是( ) A、 B、 C、3a22a3=6a6 D、。考点3、因式分解一般是指会使用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）。例15、（2005年黄冈中考题）将xxy2分解因式的结果是 。考点4、分式概念本考点考查分式的概念，什么范围有意义、值为零、无意义，以及分式的基本性质等等。例16、（2005年杭州市中考题）当m= 时，分式的值为零。考点5、分式运算本考点重在运用分式的基本性质约分通分，分式的加减乘除，一般都要首先把分式的分母分子分别因式分解。例17、（2005年黑龙江中考题）先化简，再求值：，其中例18、（2005年贵阳市中考题）先化简，再选择使原式有意义而你喜欢的数代入求值：.考点6、平方根、算术根，二次根式本考点包括平方根、算术平方根、立方根的概念，会求平方根立方根，二次根式的概念及加其加减乘除运算。例19、（2005年安徽芜湖市中考题）函数中，自变量x 的取值范围是 。例20、（2005年黄冈市中考题）已知x、y为实数，且+ 3（y 2）2 = 0，则x y的值为（ ）A3B 3C1D 1例21：（2005年长沙市中考题）小明的作业本上有以下四题：；做错的题是（ ）ABCD考点7、代数式的规律探索例22、（2005年常德市中考题）找规律：如图，第幅图中有1个菱形，第幅图中有3个菱形，第幅图中有5个菱形，则第（n）幅图中共有 个菱形。例23、（2005年河南省中考题）观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5按此规律写出第13个单项式是 。例24、（2005年河南省中考题）观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，控究其中的规律： 写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示： 猜想并写出与第n个图形相对应的等式。考点8、代数式的求值问题本考点含对代数式作出一种合理的解释，对代数式化简求值。先将代数式运用乘法公式、通分、分解因式、约分等方式，将原式化简，再代入求值。例25、（2005年河南省中考题）对代数式4 a作出一种合理的解释： 。例26、（2005成都市中考题）先化简再求值： 其中例27、（2005年厦门中考题）已知：abm，ab4, 化简（a2）（b2）的结果是A. 6 B. 2 m8 C. 2 m D. 2 m例28、（2005年福州市中考题）如果，那么代数式的值为（ ）A、6 B、8 C、6 D、8第三模块：方程与不等式本模块的方程包括一元一次方程、二元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程（分式不超过二个），一元二次方程，一元一次不等式以及一元一次不等式组等等。涉及教材4章42课时，卷面约占15分左右。主要有以下六个考点：考点1、方程（组）的解法考点要求熟练掌握一元一次方程、简单的二元一次方程、含分式不超过二个的可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程的解法。考查方式较为灵活，大多都包含在其他题目中，单独成题的一般都较为简易，以分式方程与方程组居多。一元一次方程重步骤的规范，尤其是去分母时，对于单个的数或者字母项不可漏乘，去括号移项注意符号；二元一次方程组，重在理解“消元”的思想及两种办法；一元二次方程重在学会选择合适的方法；分式方程应重在检验。例29、（2005年长沙市中考题）方程的解是 。例30、（2005年河北省中考题）解一元二次方程，结果正确的是( )A、; B、 C、; D、例31、（2005年苏州市中考题）解方程组：考点2、求方程中待定的系数本节是考点1的逆用。例32、（2005年南京市中考题）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1： 。例33、（2005年上海市中考题）如果关于x的方程x24xa=0有两个相等的实数根，那么a= 。考点3、方程型应用问题这是体现时代，反映现实生活的第二个支点。原来的传统性问题多，但随着改革力度的加大，如今的应用题材广泛，解答时要注意列方程（组）解答的一般步骤，同时，要注意反思方程（组）的解是否符合题意。例34、（2005年黑龙江中考题）小华的妈妈为爸爸买了一件衣服和一条裤子，共用306元其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价为 元例35、（2005年河南省中考题）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售。“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售，某顾客购买甲、乙两咱服装共付款182元，两种服装标价之和为210元，问这两种服装的进价和标价各是多少？例36、（2005年大连市中考题）某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率。例37、（2005年深圳市中考题）某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成。求乙工程队单独做需要多少天完成？考点4、不等式（组）的解法熟练掌握一元一次不等式（组）的解法，并能在数轴上表示出解集，要注意一些如整数解、非负整数解、最小整数解的特殊解。例38：（2005年黄冈市中考题）不等式组的解集应为（）A、B、C、D、或1例39：（2005年南京市中考题）解不等式组，并写出不等式组的整数解。考点5、求不等式（组）的待定字母的取值范围这是具有很大变化空间的数学类型，可以和方程知识相结合。有时要注意题中的隐含条件。例40：（2005年成都市中考题）如果关于x的方程的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围。考点6、不等式（组）型应用问题这是关注现实，体现时代热点的第三处。此类题其情景较新颖，解答时，需要从题意出发，（有时是以表格呈现一些量的关系，要小心研读表格）列出不等式（组），对于解集往往要注意其整数解，并由其解的情况，选择最优的方案，帮助决策。需甲种材料需乙种材料1件型陶艺品.90.31件型陶艺品0.41例41：（2005年江苏常州中考题）七（）班共有50名学生，老师安排每人制作一件型或型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36，乙种制作材料29，制作、两种型号的陶艺品用料情况如下表：（1）设制作型陶艺品件，求的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作型和型陶艺品的件数AB成本(万元/套)2528售价(万元/套)3034例42：（2005年黑龙江中考题）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?(2)该公司如何建房获得利润最大?(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?第四模块：函数本模块包括平面直角坐标系上点的坐标，函数的概念，一次函数、反比例函数、二次函数等等，是初中数学最精华的重点所在，教材共有5章38课时，预计约占13分，但出于惯性和函数问题的包容性（常包含解方程组，不等式等内容），一般试卷都会设计在2030分左右。本模块主要有以下七个考点：考点1、坐标点本考点以考查平面直角坐标系内各象限、坐标轴、对称点以及其他一些特征点的坐标特征；标记位置等等。例43：（2005年厦门市中考题）已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0）、A（1，1）、B（1，0），将ABO绕点O按顺时针方向旋转135,则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1（ ， ） ，B1( ， ) .例44：（2005年成都市中考题）己知点A（2a+3b，2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b= 。例45：（2005年佛山市中考题）如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（ ）A.（-1，1） B.（-1，2） C.（-2，1） D.（-2，2）考点2、函数的图象本考点涉及到一次函数、反比例函数的图象特征，图象经过象限，增减性，与坐标轴的交点等等，解答时一定要注意使用数形结合。由图象判出函数解析式系数的符号。由符号画出大致的函数图象等等。例46：（2005年湖北恩施自治州中考题）在同一平面直角坐标系中,函数y=k(x1)与y=的大致图象是( )例47：（2005年四川省资阳市中考题）已知正比例函数y=k1x(k10)与反比例函数y=(k20)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是A. (2，1)B. (-2，-1)C. (-2，1)D. (2，-1)例48：（2005年四川省内江市中考题）若函数(为常数)的图象如图所示，那么当时，的取值范围是()A、B、C、D、考点3、待定系数法求函数的解析式用待定系数法是求解析式的重点方法之一，一般要先由题意设出所求函数的解析式，列出关于待定系数的方程（组），求出待定系数。例49、（2005年山东省青岛市中考题）已知函数y=kx+b的图象与y轴交点的纵坐标为5，且当x=1时，y=2，则此函数的解析式为 。例50：（2005年沈阳市中考题）如果反比例函数的图象经过点（，），那么的值是（ ） A B C D例51：（2005年上海市中考题）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，3），且BOCO.(1)求这个二次函数的解析式；(2)设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.考点4、二次函数的性质本考点包括把二次函数的解析式化为顶点式，求顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标、画图象，及其图象性质。例52：（2005年四川省资阳市中考题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图3所示，给出以下结论： a+b+c0； a-b+c0； b+2a0 . 其中所有正确结论的序号是A. B. C. D. 例53、（2005年浙江省中考题）二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A、B、 C、D、考点5、图象信息问题本考点主要体现两个变量间的数量关系，考查函数思想与数形结合思想的把握。一次函数、二次函数和反比例函数等知识是解决这类问题的基础。例54：（2005年福建省泉州市中考题）一辆客车从泉州出发开往宁德，设客车出发t小时后与宁德的距离为s千米，下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D.例55、（2005年河南中考题）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学不行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（ ）A、骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟B、步行的速度是6千米/时C、骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟D、骑车的同学和步行的同学同时达到目的地考点6、函数型的应用问题本考点涉及到一次函数，反比例函数，二次函数等在现实生活中的实际应用问题。解答时要注意两点：一是要善于把实际问题抽象出数学问题；二是要注意自变量的取值范围。806040200654321x(元)y(万件)例56、（2005年长沙市中考题）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系求y关于x的函数关系式；试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利年销售额一年销售产品总进价一年总开支）当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？例57、（2005年宜昌市中考题）如图，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米)例58、（2005年临沂市中考题）某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：年 度2001200220032004投入技改资金z(万元)2.5344.5产品成本，(万元件)7.264.54(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；(2)按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元预计生产成本每件比2004年降低多少万元?考点7、函数与面积各类函数都常涉及到面积问题。例59：（2005年贵阳市中考题）如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式 MBCAOxy例60、（2005年长沙市中考题）已知抛物线经过点A（，0）、B（m，0）（m0），且与y轴交于点C求a、b的值（用含m的式子表示）；如图所示，M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与相似，求m的值第五模块：统计本模块是新课标初中数学四大学习领域之一，教材共有4章24课时，预计为8分，主要考点有以下二点：考点1、平均数、众数、中位数、方差、直方图的概念本考点包括平均数、中位数、众数、方差的求法，了解它们的意义，并会画直方图。例61、（2005年）某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁参赛人数 5 19 12 14(1) 求全体参赛选手年龄的众数、中位数；（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%.，你认为小明是在哪个年龄组的选手？请说明理由。例62、（2005年潍坊市中考题）某年北京与巴黎的年降水量都是毫米，它们的月降水量占全年降水量百分比如下表：（1）计算两个城市的月平均降水量；月份北京巴黎10.5%6.7%20.9%5.8%31.2%6.7%43.0%7.8%55.4%8.8%612.3%9.4%733.5%9.4%830.3%9.0%97.8%9.0%103.0%9.9%111.5%9.0%120.6%8.5%（2）写出两个城市的年降水量的众数和中位数；（3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情况，用你所学的统计知识解释北京地区干旱与缺水的原因考点2、统计图及其应用本考点主要是指根据问题学会选择统计图，利用统计图对不同的统计量加以分析，并做出合理的判断。例63：（2005年沈阳市中考题）某中学对200名学生进行了关于“造成学生睡眠少的原因”的抽样调查，将调查结果制成扇形统计图（如图4），由图中的信息可知认为“造成学生睡眠少的主要原因是作业太多”的人数有 名.温度温度（1）2004年6月上旬（2）2005年6月上旬例64、（2005年深圳市中考题）图（1）（2）是根据某地近两年6月上旬日平均气温情况绘制的折线统计图，通过观察图表，可以判断这两年6月上旬气温比较稳定的年份是 。例65、（2005年深圳市中考题）右图是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形分布图。20128乘车步行骑车步行50%步行20%骑车30% （1）求该班有多少名学生？ （2）补上步行分布直方图的空缺部分； （3）在扇形统计图中，求骑车人数所占的圆心角度数。 （4）若全年级有500人，估计该年级步行人数。第六模块：概率本模块是新教材新增加的内容，教材共有4章23课时，按比例预见为8分。主要有以下二个考点：考点1、会用列举法树状图计算随机事件的概率例66：（2005年福建省泉州市中考题）把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3。将这两组卡片分别放入两盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率（要求用树状图或列表法求解）。例67：（2005年贵阳市中考题）一个盒子里有4个除颜色外其余都相同的玻璃球，一个红色，一个绿色，2个白色，现随机从盒子里一次取出两个球，则这两个球都是白球的概率是 ；考点2、利用概率解决问题本考点主要是利用所学的概率判断游戏是否公平；设计转盘；制定比赛规则等。例68、（2005年济南市中考题）如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形。将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢。你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ 后记：谨以此文真诚献给所有关心关怀我的人，特别感谢荆州市数学教研员熊乾老师、石首市数学教研员王献华老师以及文峰中学初三数学组的所有老师！是大家的鼓励与支持，让我有此机会比较系统地研究了课程标准和课改试题，从整体意义上，对中考的命题方向和新教材的把握有了一个更为全面的理解，研读教材的水平也有了明显的提升，极大地激发了我努力进取，不断深研教材的信心与勇气。当然限于时间及本人水平有限，文中差错在所难免，恳请广大老师对文中不妥不当不对不好之处批评指正！