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第十一章 计数原理本章知识要点【考纲要求】1. 分类与分步计数原理、排列组合以及二项式定理都为级要求2掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它分析和解决一些简单的应用问题；理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数计算公式以及组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题；掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题3排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此要学好本节有一定的难度解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现 【知识回顾】1分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法2分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法3一般地说， _，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4 _，叫做从个为不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示排列数公式 这里，其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是 ，最小的是 5 ，叫做个不同元素的一个全排列，全排列数用_表示，它等于自然数从1到的连乘积，也称为 的阶乘，用 表示6一般地说，_，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合7排列与组合的共同点:_，而不同点_.8._，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示组合数公式 _ 9组合数性质： 10 _()，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数式中的 叫做二项展开式的通项，用表示，即通项公式 是表示展开式的第项11二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：. 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当是偶数时，是奇数，展开式共有项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 二项式系数的和等于 ，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和 即 【方法回顾】例1个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，解答：分析：(1)有特殊元素或特殊位置优先考虑；（2）元素必须相邻-捆绑法；（3）元素不相邻-插空法（4）元素有顺序限制-除序法（1）甲固定不动，其余有，即共有种；（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，则共有种；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有，则共有种；（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，即种；（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即例2在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 解答：以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工分为以下几类：第一类：这两个人都去当钳工，有种； 第二类：这两人有一个去当钳工，有种； 第三类：这两人都不去当钳工，有种 因而共有185种3已知的展开式中前三项的系数成等差数列（1）求的值；（2）求展开式中系数最大的项解答：（1）由题设，得 ，即，解得或（舍去）（2）设第的系数最大，则即 解得或所以系数最大的项为， 说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用74计数原理【基础训练】1小凡同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读。（1）若他从这些参考书中带一本去图书馆，有_种不同的带法（2）若带外语、数学、物理参考书各一本，有_种不同的带法（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有_种不同的带法2在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有_个3将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有_种4从集合1，2，3，10中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有_个.5乘积的展开式中有_项6设坐标平面内有一质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向、负方向跳一个单位，经过5次跳动，质点落在点(3，0)（允许重复过此点）处，则不同的运动方法共有_种【例题分析】例在一次考试中，要求学生做试卷中10个考题的6个（只允许做6道题），并且要求至少包含后5 题中的3道题，问：考生有多少不同的选取方法？例给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母或，后两个要求用数字.问最多可以给多少个程序命名？例已知是集合 到集合的映射，则不同的映射有多少个？例4已知直线 中，,是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线最多有多少条？【拓展提升】例5将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？ 75排列与组合（1）【基础训练】1一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法.2已知，则的值为_3甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有_种4在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有_ 个5 以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有_个6某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 【例题分析】例1解下列各题：（1）化简；（2）计算；（3）已知，求；例2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品 例3某年级开设语文、数学、政治、英语、数学、物理、化学和体育七门课程，满足下列条件的课程表有多少种？（1）一天开设七门不同的课程，其中体育不排第一节，也不排第七节（2）一天开设不同的四门课程，其中体育不排第一节也不排第四节例4已知平面，在内有4个点，在内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？ 【拓展提升】例5.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.76排列与组合（2）【基础训练】1记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有_种2某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成,如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种3在奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种.4如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 种. 5某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种小张用10元钱 买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是_ 6某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有种不同选修方案【例题分析】例1 4男3女坐成一排(1)共有多少种不同的排法？(2)某人必须在中间，有多少种不同的排法？(3)某两人只能在两端，有多少种不同的排法？(4)某人不在中间，也不在两端，有多少种不同的排法？(5)甲乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？(6)甲乙两人不相邻，有多少种不同的排法？(7)甲乙两人必须相隔1人，有多少种不同的排法？(8)4男必须相邻，有多少种不同的排法？(9)3女必须互不相邻，有多少种不同的排法？(10)4男不在两端，有多少种不同的排法？(11)甲在乙左边，有多少种不同的排法？(12)4男不等高，按高矮顺序排列，有多少种不同的排法？(13)男女相间而排，有多少种不同的排法？(14）若此7人坐两排，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？例2用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数（1）可以组成多少个不同的四位数？（2）可以组成多少个不同的四位偶数？（3）可以组成多少个能被25整除的四位数？（4）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一列数，问第85个数是什么？ 例3六本不同的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；分给甲、乙、丙3人，每人2本；分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；分成3堆，每堆2 本；分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本例4将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？【拓展提升】例5有6个人，穿红、黄、蓝3色衣服的各有2人，他们排成一排.（1） 若同种颜色衣服的人必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2） 要求穿同种颜色衣服的人不能相邻，共有多少种不同的排法？ 77二项式定理【基础训练】1 如果，则=_2若的展开式中含的系数为，则的值为 3在为正整数的二项展开式中，奇数项的和为，偶数项的和为，则的值为_4除以5的余数为_5的展开式中的系数是_ 6在的展开式中常数项为_【例题分析】例1（1）求的展开式中的常数项；（2）已知的展开式中的系数为，求常数的值；（3）求的展开式中含的项.例2若展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中含的一次幂的项；（2）展开式中所有含的有理项；（3）展开式中系数最大的项例3设，求（1）的值；（2）的值；（3）的值例4利用二项式定理求证: 【拓展提升】例5设,.(1)当时,展开式中的系数是20,求的值；(2)利用二项式定理证明:.78本章回顾【基础训练】1某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有_种. 2在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是_. 3在的展开式中的常数项是_. 4从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有_种. 5某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为_. 6已知，则= .7某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种.【典型例题】例1个人坐在一排个座位上,问（1）空位不相邻的坐法有多少种?（2） 个空位只有个相邻的坐法有多少种?（3）个空位至多有个相邻的坐法有多少种?例2现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 例3. 有6本不同的书：(1)全部借给5人，每人至少1本，共有多少种不同的借法?(2)全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法?例4. 已知二项式的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项【拓展提升】例5高二（8）班63人演出大合唱，站成三排，每排21人，问女领唱在前排，班长在前排中间，文娱班委站在班长旁边，两个高个子站在最后一排有多少种不同排法？
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