资源描述
数学公式第一章集合与简易逻辑1、对于任意集合，则 ； ；2、若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_，所有真子集的个数是_，所有非空子集的个数是 ，所有非空真子集的个数是 。3、中元素的个数的计算公式为： ；4、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 第二章函数1、函数定义域的求法：，则 ； 则 ；，则 ； 如：，则 ；含参问题的定义域要分类讨论；对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。2、函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型的形式；逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数） 注： 函数上的区间I且x1，x2I.若0（x1x2），则函数f(x)在区间I上是增函数；若0（x1x2），则函数f(x)是在区间I上是减函数。奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）f(x) f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。 注:若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(x);若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.周期性: 若f(x+T)=f(x)且T0的常数,则T是函数f(x)的周期;若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且ab,则b- a是函数f(x)的周期。 对称性:若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=对称;( 即:一均二等的原则)若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点,直线x+y+c=0, 直线x-y+c=0对称的函数吗?写出来函数图象的变换你知道吗?平移变换,伸缩变换,翻折变换函数与反函数之间:f-1(a)=bf(b)=a4、常用的初等函数：一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,的图象和性质(重点掌握!)（1）一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；（2）二次函数：一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；（3）反比例函数：(遇y=的函数一般用反比例函数来解决)（4）指数函数： 指数运算法则= ； = ；= ； = 。（5）对数函数： 对数运算法则：logMN= ；log= ；logMn= ；log= ；logMn= ； log=1； log1=0logb= （换底公式）； =N（对数恒等式）注意：（1）与的图象关系是 ；的图象：定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。5、补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数； ； 第三章数列1、常用公式：= 2、等差数列：定义：若为常数，则是等差数列（证明等差数列的依据）； 通项公式：； 求和公式：；性质： 若m+n=p+q（m，n，p，qN*），则 等差数列中成等差数列；等差数列 中=3、等比数列：定义：若为常数，则是等比数列（证明等比数列的依据）； 通项公式：； 求和公式：； 性质： 若m+n=p+q（m，n，p，qN*），则 ;等比数列中成比差数列；等比数列中.第四章三角函数1、 任意圆中圆心角弧度的计算公式：_；弧长公式：_；扇形的面积公式：_。（其中的单位都是_）2、任意角的三角函数的定义：设是一个任意大小的角，的终边上任意的一点，它与原点的距离是r=_则：_，_，_，_，_，_。3、 同角三角函数间的基本关系式：（1）平方关系：sin2+cos2=1；1+tan2=sec2；1+cot2=csc2（2）商数关系： （3）倒数关系：sincsc=1; cossec=1; tancot=1 4、第一套诱导公式（函数名不变，符号看象限） （1）sin(2k+)_，cos(2k+)_，tan(2k+)_，（2）sin()_， cos()_， tan()_， （3）sin()_， cos()_， tan()_， （4）sin(+)_， cos(+)_， tan(+)_， （5）sin(2)_， cos(2)_， tan(2)_， 第二套诱导公式（函数名改变，符号看象限）（1）sin(900)_， cos(900)_， tan(900)_， （2）sin(900)_， cos(900)_， tan(900)_， （3）sin(2700)_， cos(2700)_， tan(2700)_， （4）sin(2700)_， cos(2700)_， tan(2700)_， 5、三角函数的和、差、倍、半公式（1）和、差角公式：sin()_，cos() ， tan()_变形公式： tantantan()（1 tantan）sinx+cosx（sinx+cosx）sin(x+), (其中cos=，sin=，tan=)（2）二倍角公式：sin22sincos； cos2cos2sin22cos21=12sin2 万能公式：sin2=； cos2=； tan2=降次公式：sin2， cos2变形公式：1+sin =（sin2+ cos2）2；1sin =（sin2cos2）2 1+cos=2cos2； 1cos=2 sin2（3）半角公式：sin_， cos_，tan_.6、（1）三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性。（2）函数f（x）=Asin（x+），振幅为 ，周期为 若函数f（x）是偶函数，则= ；若函数f（x）是偶函数，则= 。（3）函数f（x）=Acos（x+），振幅为 ，周期为 若函数f（x）是偶函数，则= ；若函数f（x）是偶函数，则= 。7、函数，振幅为A，周期为 。，（1） （2）（3）相邻的两个最高点（或最底点）之间的距离，相邻两个最高点与最底点的距离，或相邻两个拐点的距离，相邻的最值点与拐点的距离。第五章平面向量1、若（,），P (,)，（,），P分所成的比则定比分点坐标公式是 中点坐标公式是2、若ABC三顶点的坐标为A（,）、B（,）、C（,）,则ABC的重心坐标为.3、已知（,），（,），设它们间的夹角是，填下表：定义形式坐标形式两向量的数量积向量的长度两向量间的角度在上的投影两向量垂直两向量平行4、（a+b）（a-b）= ；（a+b）2= ；（a-b）2= 第六章不等式1、不等式的性质（作用：解决与不等式有关的问题） （1）不等式的基本性质：aba-b0； ； . （2）对称性：abba ；ba . （3）传递性：ab且bc ；cb 且ba . （4）加法单调性：ab ；同向不等式相加：ab且cd . （5）不等式变向原则：ab且c 0acbc；ab且c 0acbc . 同向不等式相乘： acbd ； anbn （nN，且n1）. （6） （nN，且n1）. （7）ab且ab0 ；ab且ab0 2、几个重要的不等式（作用：（1）证明不等式；（2）解不等式；（3）求最大（小）值） 1如果a，b ，那么a2+b22ab（当且仅当 时取“=”号） 2如果a，b ，那么（当且仅当 时取“=”号） 3如果a，b，c ，那么（当且仅当 时取“=”号） 5若a，b都是正数，则（时取等号即称不等式链） 6若a，b，m都是正数，并且ab，比较 .7三角形不等式：-，其中不等式 取“=”号时的充要条件是 ，取“”号时的充要条件是 ;第七章直线和圆1、若直线的斜率是k，则此直线的一个方向向量是_；2、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线斜率公式k =_；3、直线方程：点斜式：若直线经过点P1（x1，y1），且斜率为k，则直线的方程设为_， 若直线经过点P1（x1，y1），且斜率为0，则直线的方程为 ， 若直线经过点P1（x1，y1），且斜率不存在，则直线的方程为 .斜截式：若直线斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线的方程设为 .若直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）.则方程设为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）当x1x2，y1y2时，这条直线的方程是 ；当x1=x2，y1y2时，这条直线的方程是 ；当x1x2，y1=y2时，这条直线的方程是 .若截距式：直线在x轴上的截距为a（a0），在y轴上的截距为bb0，则直线的方程是 .直线方程的一般方程为Ax+By+C=0 （A、B不同时为0），当B0时，方程变为 ，斜率为 ，在y轴上的截距为 ；当B=0时，方程变为 .4、在两坐标轴上截距相等的直线方程可设为 或 .5、两直线的位置关系斜截式一般式直线方程k1与k2、b1与b2的关系比例式乘积式与平行与重合与相交与垂直7、已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则_； 8、已知直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1到l2的角为,l2到l1的角为,l1与l2的夹角为,若1+k1k2=0,则= ;若1+k1k20, 则tan= ,tan= , tan= .9、点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= .10、 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d= .11、曲线C：fx，y=0.关于x轴的对称曲线C1的方程为 ，关于y轴的对称曲线C2的方程为 ，关于原点的对称曲线C3的方程为 ，关于直线x-y=0的对称曲线C4的方程为 ，关于直线 x+y=0的对称曲线C5的方程为 ，关于直线x-y+C=0的对称曲线C6的方程为 ，关于直线x+y+C=0的对称曲线C7的方程为 。12、关于点对称的两条直线的位置关系是 .13、与两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离相等的直线方程是 .14、与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为_；与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为_.15、二元一次不等式表示的平面区域的判断方法特殊点代入法：当直线f（x,y）=Ax+By+C=0不过原点时，常用点（0，0）代入 若f(0,0)0，则原点所在的平面区域即是Ax+By+C0所表示的平面区域 若f(0,0)0，则原点所在的平面区域即是Ax+By+C0所表示的平面区域公式法：若A0，B0，则Ax+By+C0所表示的平面区域在直线Ax+By+C0的_方若A0，B0，则Ax+By+C0所表示的平面区域在直线Ax+By+C0的_方若A0，B0，则Ax+By+C0所表示的平面区域在直线Ax+By+C0的_方若A0，B0，则Ax+By+C0所表示的平面区域在直线Ax+By+C0的_方不等式Ax+By+C0所表示的平面区域与Ax+By+C0相反15、圆的方程圆的标准方程是_，其中圆心是_，半径是_。二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 当_时，方程表示以_为圆心，以_为半径的圆；当_时，方程表示一个点，此点的坐标是当_ ；当_时，方程不表示任何图形。圆的参数方程是_，其中圆心是_，半径是_。16、过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）的切线方程是x0x+ y0y=r2过圆(xa)2+(yb)2=r2上一点（x0，y0）的切线方程是(x0a) (xa)+ (y0b)(yb)=r217、直线和圆的几种位置关系记圆心到直线的距离为d，圆的半径是r, 则（1）相离_；（2）相切_；（3）相交_；18、圆与圆的几种位置关系记两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r（Rr），则（1）相离_；（2）相外切_；（3）相交_； （4）相内切_；（5）内含_。 19、.两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0第八章圆锥曲线一、椭圆1、椭圆定义：一个动点P，两定点F1，F2，且=2（为常数）若2，则动点P的轨迹是椭圆若2=，则动点P的轨迹是线段F1F2若2，则动点P无轨迹。2、 椭圆的方程：椭圆的标准方程：焦点在x轴上时，方程为（ab0）焦点在y轴上时，方程为（ab0）椭圆的参数方程：焦点在x轴上时，参数方程为为参数焦点在y轴上时，参数方程为为参数3、 掌握椭圆的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、长轴长2、短轴长2、焦距2c、长半轴、短半轴、半焦距、通经、相应焦准距、准线方程、离心率、焦半径（第二定义）、2=2+2）二、双曲线1、双曲线定义：一个动点P，两定点F1，F2，且=2（为常数）若2，则动点P无轨迹若2=，则动点P的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（在直线F1F2上）若2，则动点P的轨迹是双曲线。2、双曲线的标准方程：焦点在x轴上时，方程为（a0，b0）焦点在y轴上时，方程为（a0，b0）3、 掌握双曲线的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、实轴长2、虚轴长2、焦距2c、实半轴、虚半轴、半焦距、通经、相应焦准距、准线方程、渐近线方程、离心率、焦半径（第二定义）、2+2=2）4、双曲线方程-=1(a0,b0)即-=0(或y=x) (a0,b0)就是其渐近线方程;渐近线是-=0(或y=x) (a0,b0)的双曲线设为-=(0),k是待定系数.5、等轴双曲线表示为 ,离心率为 ,渐近线为 .三、抛物线1、 抛物线定义：一个动点P到定点F的距离与P到定直线的距离的比为.若01,则动点P的轨迹是椭圆; 若=1, ,则动点P的轨迹是抛物线; 若1, ,则动点P的轨迹是双曲线2、 抛物线的标准方程：焦点在x轴上时，方程可设为y=2px2,焦点为(，0),准线方程是x= 焦点在y轴上时，方程可设为x=2py2,焦点为(0，),准线方程是y=3、抛物线的性质（范围、对称性、顶点坐标、通经为2p、焦准距p、离心率1）3、 关于抛物线y2=2px（p0）焦点F弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），性质:= x1+ x2+ p，x 1x2=，y1y2=，若AB与对称轴的夹角为，则=。四、圆锥曲线的性质：1、P是椭圆（b0）上的一点,F1、F2是两焦点，若F1PF2=（0），求证F1PF2的面积为tan.2、P是双曲线（a0,b0）上的一点,F1、F2是两焦点，若F1PF2=（0），求证F1PF2的面积为cot.3、弦长公式(直线和曲线相交时,其被曲线所截的线段叫做弦) 设M(x,y),N(x,y),则弦长= (k为已知直线斜率)第九章 立体几何一、证明（线线、线面、面面）平行和垂直1、平行的证明：(1)线线平行的证明若，.则;若,=.则若,.则; (2)线面平行的证明 ; (3)面面平行的证明 2、垂直的证明(1)线线垂直的证明若，则； 三垂线定理或三垂线定理的逆定理； 向量证明： (2)线面垂直的证明 ； ； ； .(3)面面垂直的证明二面角是直二面角； ； 二、所成的角1、 直线与直线所成的角的范围是若直线与直线平行，则所成角为00；若直线与直线相交，则所成角为；两条异面直线所成角的范围是 (0，90.两条异面直线所成的角是本单元的重点求两条异面直线所成的角的基本方法是通过平移将其转化为两条相交直线(即作出平面角)主要有四种方法： 直接平移法(利用图中已有的平行线)； 中位线平移法； 补形平移法(延长某线段、延展某个面或补一个与已知几何体相同的几何体，以便找出平行线) 向量法：设,分别是异面直线a、b上的两个非零向量，则cosq=|cos|=2、直线和平面所成的角的范围是00，900若直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是0；若直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是900；斜线和平面所成的角是平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角.范围是（00，900）方法：关键是作垂线，找射影.构造一个直角三角形向量求法:求的法向量和, |cos|=k(0k1),则和所成的角是(或-)3、二面角大小范围是0，180方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法；射影面积公式S=Scos； 向量求法：求、的法向量分别为和，coc，=k，若二面角-是锐二面角时，则大小为；若二面角-是钝二面角时，则大小为-三、距离：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法；向量法：如点P到面的距离d=（其中是面的法向量，A）四、三个唯一1、 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；2、 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面；3、过一点有且只有一个平面垂直于已知直线.五、重要性质1、O是P点在ABC所在的平面上的射影，即PO面ABC. 若PA=PB=PC,则点O是ABC的外心;若PDAB,PEBC,PFAC垂足分别为D、E、F且PD=PE=PF. 则点O是ABC的内心;CaDABO若PABC,PBAC. 则点O是ABC的垂心3、 若POA=POB，则PO在面AOB上的射影是AOB的角平分线；若AOB，PEOA，PFOB，垂足分别E、F且PE=PF.则点P在面AOB上的射影在AOB平分线.4、 如图，已知OB平面a于B，OA是平面a的斜线，A为斜足，直线AC平面a，设OAB=q1，又CAB=q2，OAC=q那么cosq=cosq1cosq25、 在RtABC中，C=900.对应边分别为、RtABC的外心（外接圆的圆心）在斜边的中点且半径R=RtABC的内心（内切圆的圆心）且半径r= 六、简单几何体1棱柱:(1) 正方体正四棱柱长方体直平行六面体直四棱柱四棱柱棱柱正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱棱柱 (2)棱柱的侧面积其中为直截面的周长,为棱长; 棱柱的体积=(3)直棱柱的侧面积; 直棱柱的体积=(4)特殊棱柱长方体A1B1C1D1-ABCD的长、宽、高分别为、 对角线长= 长方体外接球的直径2R等于对角线长； 若对角线与一个顶点引的三条棱所成角分别为、.则=1; 若对角线与一个顶点引的三个面所成角分别为、.则=2; 长方体的表面积S=2;长方体的体积V=; 正方体的内切球的直径等于棱长2、 棱锥:(1) 棱锥的性质：若棱锥P-ABC被平行于底面ABC的截面A1B1C1所截，则 多边形ABC多边形A1B1C1，设相似比为； ； 。 V=正棱锥（底面是正多边形；顶点在底面的射影是正多边形的中心） ； V=3、多面体 正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。 其中正四面体、正八面体、正二十面体的面都是三角形，正六面体的面是正方形，正二十面体是五边形。简单多面体的顶点数、面数、棱数E之间的关系： 简单多面体各个面的内角和等于 若各面多边形的边数，则； 若各个顶点引出的棱数，则3、 球球的截面有以下性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离与球的半径及截面的半径有以下的关系：球的表面积：；球的体积：第十章 排列组合与二项式定理 计数原理加法原理： (分类) 乘法原理： (分步) 排列（有序）与组合（无序）= 组合的两个性质： ； 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：分类讨论思想 转化思想； 对称思想. 二项式定理： 特别地：通项为第项：作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。主要性质和主要结论：对称性 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和：5.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。6二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。第十一章概率统计1必然事件，不可能事件，随机事件的定义。2.等可能事件的概率：（古典概率）=理解这里、的意义。事件、互斥，即事件、不可能同时发生，这时， 事件、对立，即事件、不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时，独立事件：（事件、的发生相互独立，互不影响） 独立重复事件（贝努里概型）表示事件在次独立重复试验中恰好发生了次的概率。为在一次独立重复试验中事件发生的概率。特殊：令得：在次独立重复试验中，事件没有发生的概率为 令得：在次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为3.统计、总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，抽签法；2系统抽样 3分层抽样。 样本平均数：样本方差：S2=(x1)2+(x2)2+ (x3)2+(xn)2样本标准差：= 作用：估计总体的稳定程度第十二章、导数及应用1导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作。用定义求函数的导数步骤为：求函数的增量(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数。2导数的几何意义：曲线yf（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线方程是。3常见函数的导数公式：（f（x）g（x）= （f（x）g（x）= （af（x） = (a为常数) （x+1）= (nQ)（ax+1）= (a为常数,nQ)4导数的应用（1）利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，若则f(x)为增函数；若则f(x)为减函数；若在某个区间内恒有则f(x)为常数，因此，是为增函数的必要不充分条件；（2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数f（x）在区间a，b最大值与最小值的步骤：求y=f(x)在(a,b)内的极值；将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
展开阅读全文