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不等式的性质教学重点：不等式的性质及运用性质判断命题的正误及作差法比大小 重难点剖析： 1不等式定义：a-b0ab, a-b=0a=b, a-b0ab。 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2(-,+), x10, x1-x20,可得f(x1)bbb, bcac (传递性) (3) aba+cb+c (cR) (4) c0时，abacbc cbacb, cda+cb+d。 (2) ab0, cd0acbd。 (3) ab0anbn (nN, n1)。 (4) ab0(nN, n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 典型例题： 例1设x, yR，判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系。 (1)命题甲：，命题乙： (2)命题甲：，命题乙： 分析与解答： (1)当x0且y0时，由实数的性质可知x+y0, xy0, 当xy0时，x,y同号；又x+y0，可知x, y同x0且y0。 因此，命题甲是命题乙的充分必要条件。 (2) x20, y20, x+y4, xy4, 即，反之， ，反例如下：令x=100, y=, 此时，x+y4, xy4, 但x2，而yv0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间t=。平均速度， =-0， 0, 而可正可负，所以，可分情况比大小。 （1）当x3+y30时，0，0, 0时，设A=()6=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6。 B=()6=(x2+y2)3=x6+3x4y2+3x2y4+y6。 A-B=-3x2y2(x-)2+y2 (x-)2+y20， A-B0, AB。 根据不等式的性质，即 , 综上可知，bcabac。 a2b2, ab0。 a3b3, ab0。 （2）ab，则成立的充要条件是（ ）。 A、ab0B、ba0bD、0ba1 （3）若a,b,mR+, a在线测试窗体顶端选择题1下列命题正确的是( ) (A)若acbcab(B)若a2b2ab(C)若ab(D)若abam2bm2(B)ab (C)a3b3，ab0 (D)a2b2，ab0 窗体底端窗体顶端3已知ab，cd，则下列命题中正确的是( ) (A)a-cb-d(B) (C)acbd(D)c-bd-a 窗体底端窗体顶端4若x+y0，a0则x-y的值为( ) (A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)符号不确定 窗体底端窗体顶端5正数a，b，c，d满足a+d=b+c，|a-d|b-c|，则有( ) (A)ad=bc(B)adbc(D)ad与bc大小不定答案与解析 答案：1、D 2、C 3、D 4、A 5、C解析：1、解答：分析：用验证法。 (A)中若c0，则不成立； (B)中若a，b均小于0或a0，b0，b0，据平方法则可得，故本题应选(D)。 2、解答：用淘汰法。 (A)中若m=0不成立；(B)中若c0(a-b)(a2+ab+b2)0。 a2+ab+b20恒成立，故a-b0。 ab，又ab0，(D)中a2b2(a+b)(a-b)0，不能说明ab，故本题应选(C)。 3、解答：用特殊值法。 令a=1，b=0，c=-1，d=-2，代入验证知(D)成立。 另解用直接法， ab-b-a， 又cd， +可得 c-bd-a。故本题应选(D)。 4、解答：用直接法。 a0y0x0， x-y=x+(-y)0。故本题应选(A)。 5、解答：用直接法。 由a+d=b+c，得 a2+2ad+d2=b2+2bc+c2 (a2+d2)-(b2+c2)=2bc-2ad。 由|a-d|b-c|得: a2-2ad+d2b2-2bc+c2 (a2+d2)-(b2+c2)-2bc+2ad， 将代入，得 2bc-2adbc，故本题应选(C)。 求商比大小 原型：若b0，则。 分析：根据不等式的性质定理4，很容易证明。 证明：若b0, 则，故由ab，得 ，即。 反之由，得，即ab， 类似地，由ab，可得，即， 反之由，得 ， 即a0, b0且ab时，比较aabb与abba的大小。 分析：因为a0,b0, 故aabb0, abba0，尝试作商比较这两个正数的大小关系。 证明：因为a0, b0，且ab。(1)当ab0时，有，从而得， 又abba0，故 aabbabba； （2）当0a0，故 aabbabba；综合(1),(2)，可得：aabbabba。应用2：已知a,b,c是互不相等的正数，求证： (1)(2) 分析：注意到待证不等式（1）是三个同向不等式aabbabba, bbccbccb和ccaacaac的乘积，根据应用1的结论，问题即可得证。而待证不等式(2)与待证不等式(1)是等价的，只不过表达形式不同。因为，故这里只给出不等式（1）的证明。 证明：因为a,b,c是互不相等的正数，根据变式一的结论，可得 aabbabba0 bbccbccb0 ccaacaac0 故 (aabb)(bbcc)(ccaa)(abba)(bccb)(caac) 即 a2ab2bc2cab+cbc+aca+b。应用3：设0ab, a+b=1，则在下列各不等式中，正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 分析1：在含参数的不等式选项中，我们可以举出一个反例来否定不正确的不等式命题。通常的方法就是对参数取某些符合条件的特殊值，代入不等式中进行推算，若不等式不成立，则可排除。直到选出正确答案为止。 证法1：取满足条件0ab, a+b=1的一组参数值： ，则有 于是，由，可否定A； 由，可否定B； 由，可否定D；故选C。 分析2：应用作差和作商比较的方法来比较四个数b, 2ab，和a2+b2的大小。 证法2：因为0a0a2+b22ab ，即有，故选C。 说明：作差比较和作商比较是证明不等式的两种最基本的方法，其关键是合理进行恒等变形，最终达到便于判断两边差的正、负符号，或两边之商是否大于1。窗体底端
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