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高中数学第一章 函数本讲知识框图1.1集合重点难点归纳重点 集合的表示方法，集合间的基本关系，集合的基本运算难点 集合间的基本关系的运用，尤其是涉及参数的问题本节需掌握的知识点 同重点知识点精析与应用知识点精析思考问题提出问题1李刚和王强是初中同班同学，今年两人又升入了同一所高中，李刚被分在高一一班，王强被分在高一二班，报道那天，他们有以下的对话：李刚问：你班有多少名咱们初中时的同班同学？王强问：咱们两班一共有咱们初中时的同班同学多少人？通过以上对话，我们可以获得的信息是：高一一班、二班都是整体，也可以视为全体、总体，李刚属于一班，王强不属于一班；李刚的提问还是一个整体，这个整体包含于高一二班那个整体；王强的提问实际上是两个整体的合并。问题2给出三组数，即A：2,4,6,8,10；B：1，2,3,5,7,9,10；U：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 8属于数组A、B吗？数组A、B包含于数组U吗？ 数组A、B合并在一起，其结果是什么？ 既是数组A中的数又是数组B中的数，可以组成一个怎样的数组？ 在U中去掉A，剩余部分是一个怎样的数组？探究抽象概括问题1、问题2告诉我们，收集研究对象是数学活动的第一步，我们这里要学习的集合，其目的就是收集研究对象，而后规定被收集对象的表达形式，探究其中的规律。1.集合的含义与表示（1） 集合的含义一般地，我们把被研究的对象称为元素，把一些元素组成的总体（或称全体、整体）叫做集合，简称为集。通常用A，B，C，表示集合，用a，b，c，表示元素。如果a中的元素，就说a属于A，记为aA；如果bB。为了方便，对常数用的数集约定如下：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合常委整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R（2）集合的表示方法列举法由数2,4,6,8,10组成的集合可表示为2,4,6,8,10像这样把集合的元素一一列举出来写在大括号（或称花括号）内表示集合的方法叫做列举法描述法满足条件x+10的实数x的集合可以表示为A=x|x-1；方程x-3x-4=0的解的集合（简称解集）可表示为B=xR| x-3x-4=0；一次函数y=2x-1的图像时一条直线，这条直线可表示为C=（x，y）| y=2x-1.像以上三例这样，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。表示有限集，即表示含有有限个元素的集合，一般用列举法；表示无限集，即表示含有无限个元素的集合，一般用描述法。（3）空集有一种集合很特殊，例如，xR| x+3=0， xR| x0,(x,y) |y= x,且y=x-1，这样的集合不含有任何元素，但却依然有它的存在价值。我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为2.集合间的基本关系集合间的基本关系包括三个问题，即子集、真子集、相等。为了方便，我们把它们归纳在一个表格里（表1-1），供参考。表1-1 集合间的基本关系定义性质与说明韦恩图子集如果非空集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B（或B A）规定：A（A是任意集合） AA A 若A B，B C，则A C 含有n个元素的集合，共有2n个子集； A不是B的子集，记作AB真子集如果集合A是非空集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB（或BA）空集是任何非空集合的真子集；若AB，BC，则AC；含有n个元素的集合，真子集的个数是2n-1集合相等对于两个集合A与B，如果AB，同事B A，我们就说这两个集合相等，记作A=B = 两个相等的非空集合A和B，它们的元素是完全相同的3.集合的基本运算集合的基本运算包括三类，即补运算、交运算和并运算，为了使用上的需要，我们也把它们写在一个表格里（表1-2），供参考。表1-2 集合的基本运算定义性质与说明韦恩图补集已知全集U（非空集），集合A U,由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在U中的补集，记作CuA即CuA=x|xU且xA Cu(CuA)=A; Cu =U; CuU= 交集由所有属于非空集合A且属于非空集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB=x|xA，且xB，规定：A= ，A是任意集合 A= ; AA=A; AB=BA； A(CuA)= ; 若AB=A，则AB，反之若AB，则AB=A。简记为AB=AAB并集由属于非空集合A或属于非空集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即AB= xA，或xB 。规定：A=A，A是任亿集合A =A;AA=A AB=BA AB=B AB A（CuA）=U (CuA) (CuB)=Cu(AB) (CuA) (CuB)=Cu(AB) 用card(M)表示集合M中元素的个数，card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)解题方法指导1.集合的含义与表示学习集合，意在收集数学对象，以确定数学问题的定义范围，在本阶段的学习中，要把握住两点，一是准确地表达一些对象构成的集合；二是判断某个或某些元素是否属于这样的集合。【例1】 判断下列各组对象能否构成集合？对能够成集合的，分别指出属于它和不属于它的一个元素：（1） 满足12x-13的实数x;（2） 方程x-2x+1=0的解；（3） 满足xZ且-2x0的x；（4） 抛物线y= x上的所有点；（5） 函数y=2020x的值分析 按集合的含义做答解 （1）满足12x-13的实数x能构成集合，这个集合是A=x|1x2，其中2A，1A。点评 一个集合确定了，它的元素也就确定了，这一性质称为元素的确定性，如，A=x|1x2确定了，它的元素也就确定了，对32和3，我们可以确定32A，3A.（2）方程x-2x+1=0的解能构成集合，这个集合是B=xR| x-2x+1=0=x|(x-1)2=0=1,其中1B，0B。点评 从重根的角度讲，方程x-2x+1=0有二重根x=1,方程的解集我们写成了1，而没有写成“1,1”，这是为了确保集合中的任何两个元素互异，这一性质称为元素的互异性，一般地，集合中的元素都是互异的。（3）满足xZ且-2x 00的x能构成集合，这个集合是C=-1,0=0，-1，其中0C，1C。点评 -1,0=0，-1表明，集合中的元素是无序的，这一性质称为元素的无序性。（4）抛物线y= x上的所有点能构成集合，这个集合是D=（x,y）| y= x ,其中（2,4）D，（2,3）D点评 集合D是点集，所以竖线前面我们写成了“（x,y）”，这是用坐标表示点，这个例子告诉我们，写集合时，竖线前面写什么，要看这个集合是由什么样的元素构成的，由点构成，写成“（x,y）”，由实数构成，写成“x”，由函数值构成，写成“y”,(x,y)、x、y一般被称为代表元素。（5）函数y=2020x的值能构成集合，这个集合是Ey| y=2020x,其中2020E（x=1）,0E点评 本例中，代表元素写成“x”是不妥的，尽管函数值也是实数。2.集合间的基本关系集合间的基本关系是一种包含与非包含的关系，AB，是指：A= ；A时，对任一xA,都有xB.AB,是指AB，且至少有一个xB使得xA,A=B,是指AB，同事BA,A不是B的子集，记为AB。要注意两组符号“,”与“，”在用法上的区别，前者用在元素与集合之间，后者用在集合与几何之间。【例2】 用适当的符号天空：（1）2_x| x-4x+4=0；（2）x| 3x4_x| 62x8；（3）_xZ|0x3_x| (x-1)(x-2)=0_y|y=-x,xZ,且-3x3 .分析 要注意，元素与几何之间的关系是丛书关系，集合与几何之间的关系是包含关系，在符号的选用上市有区别的。解 （1）x| x-4x+4=0=x| （x-2）2=0=2，它是一个集合，2是一个元素。在空白处填“”。（2）x| 62x8=x| 3x4；但4x| 3x4时，4x| 3x4。在空白处填“”。（3）xZ|0x3=1,2；x| (x-1)(x-2)=0=1,2；y|y=-x,xZ,且-3x3 =y|y=-x,y=-2, -1,0,1,2 =2,1,0, -1, -2。在空白处依次填，=，。点评 讨论集合间的包含关系时，在AB是明确的情况下，不要把它写成AB，本例就是这样处理的。【例3】 已知A= x|x=2n+1,nZ,B= y|y=4m1,mZ,求证A=B分析 只需证明AB，BA，从讨论2n+1与4m1的关系入手即可。证明 2n+1,nZ，表示所有的奇数；4m+1, mZ,表示奇数的一部分；4m-1 mZ,也表示奇数的一部分。对mB，有y A,所以BA。对x A,有x=2n+1,nZ.n=2k,kZ时，x=2(2k)+1=4k+1,kZ,xB；n=2k-1,kZ时，x=2(2k-1)+1=4k-1,kZ,xB.、表明，对xA,有xB所以AB.点评 通过AB且BA来证明A=B，方法上具有一般性.3.集合的基本运算集合的基本运算包括三种，即AB= xA，或 xB ；AB= xA，且 xB ；CuA= xU，且 xA ,其中AU.【例4】已知全集I=1,2,3,4,5,6，A=1，B=2,3，求AB， AB，CIA, CIB,(CIA) (CIB), CI(CIA) CIB.分析 据集合的“并、交、补”作答.解 全集I=1,2,3,4,5,6，A=1，B=2,3，AB=1,2,3；AB= ；CIA=2,3,4,5,6；CIB=1,4,5,6；（CIA）（CIB）=4,5,6.又（CIA）（CIB）=1,2,3,4,5,6，CI（CIA）（CIB）= .点评 解像本例这样的问题，计算上没有难度，关键是要把握好运算顺序.【例5】设A=2，-1，x2-x+1,B=2y, -4,x+4,C=-1,7,且AB=C，求x与y的值.分析 从AB=C切入，先确定x2-x+1，再对x+4进行分析，而后y的值就明确了.解 A=2，-1，x2-x+1，B=2y, -4,x+4，C=-1,7.由AB=C，得7A,7B, -1B.在A中，x2-x+1=7，x=-2,3.当x=-2时，在B中x+4=2.又2A，2AB.2C，x=-2不合题意.当x=3时，在B中x+4=7,2y=-1,y=-12.综上，有x=3,y=-12.点评 在本例的解答中，对x=-2与x=3分别进行了讨论，这样做，层次分明，思路清楚，数学研究中，这样的讨论一般被称为分类讨论。【例6】已知A=x| x9，B=x| x-7x+10,C=x| |x -2| 4.（1）求AB及AC；（2）设U=R，求ACU(BC).分析 先将A、B、C具体化，然后根据交集、并集、补集的定义求解结果。解 由x9得，x3或x-3,A= x| x3或x-3.又由不等式x-7x+10，得-1x7,B= x|-1x7 .又由|x -2| 4，得-2x6，C= x|-2x-2,如图1-1B.（2）U=R，BC= x|1x6 ，CU(BC)= x| x1，或x6.点评 在第（1）小题的解答中，从图上不难看出，纵向去数横线，两条横线者为“交集”，至少有一条横线者为“并集”，这样的解答方法具有一致性。三条横线、四条横线，如何确定交集、并集呢？从第（2）小题的解答中可以体会到，求补集的本质是做剪发运算，具体的表现在球BC的补集上了。【例7】已知集合A= x|x2 +(a+2)x+1=0,xR,且AR+= ，求实数a的取值范围（其中R+=正实数）.分析 集合A是方程x2 +(a+2)x+1=0的实根的集合，由于该方程中含有参数a，所以，对该方程的实根的存在性要结合AR+= 进行分类讨论。解 A= x|x2 +(a+2)x+1=0,xR,AR+= ，所以，AR+= 等价于方程x2 +(a+2)x+1=0没有实根（即A=），或者只有非正实根。（1）当A=时，即方程x2 +(a+2)x+1=0无数实根时，有=(a+2)240解得4a0(2)当方程x2 +(a+2)x+1=0只有非正实数根时，有=（a+2）240（a+2）0a0由（1）、（2），得a4.实数a的取值范围是aa4.点评 解本例时，对方程没有实根或者只有非正实根的处理，从逻辑上讲，是分类讨论，其优势是它使我们迅速地找到了解决矛盾的切入点，平稳地步入了解题状态，这样思考问题，方法上有普遍性.【例8】设m、nN+,mn，A=1,2，m，B=1,2，n.（1）求C=CAB，并回答C有多少个子集；（2）满足DA且BD的D有多少个？分析 解本例，要点是含有n个元素的集合共有2*个子集.解 （1）由m、nN+,mn，A=1,2，m，B=1,2，n，可得C=CAB=n+1,n+2,m.C中共有元素m(n+1)+1=mn(个)，所以，C有2mn个子集.（2）A有2m个子集，其中C是B的补集，且C有2mn个子集，所以满足DA且BD的D有（2m2mn）个.点评 解第（1）小题的方法较常规，有一般性，解第（2）小题，正确地理解BD很关键，其中DA.【例9】已知全集I=x0x10，xN+,AB=3,A(CIB)=1,5,7,(CIA) (CIB)=9，求A和B.分析 先把全集I具体化，再借助图形求解.解 由I=x0x10，xN+，得I=1,2,3,4,5,6,7,8,9.把AB=3,A(CIB)=1,5,7,(CIA) (CIB)=9用韦恩图表示出来（如图1-2），得A=1,3,5,7，B=2,3,4,6,8.点评 画图解答集合问题，直观、具体，方法值得提倡.16
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