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不等式1、 应用不等式的性质比较两数（式）的大小的常用方法：作差法和作商法作差比较两数（式）大小的依据：；作商比较两数（式）大小的依据：（）；（）；（）.2、 一元二次不等式的解集的端点与相应一元二次方程根的关系：ax2+bx+c0的解集为（x1, x2）a0的解集为（-, x1）（x2,+）a0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。3几个常用变形不等式（当且仅当a=b时等号成立）（a+b）24ab（当且仅当a=b时等号成立）；特别地：； 类型一：用不等式表示不等关系1 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。解析：设软件买x片，磁盘买y盒依题意得：举一反三【变式】咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知每天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数所满足的所有不等关系的不等式。【答案】设甲种饮料配制x杯，乙种饮料配制y杯 依题意得：类型二：比较大小2在下列横线上填上适当的不等号(1)（-）2_-2；(2)_；(3) (a+3)(a-5)_(a+2)(a-4) ；(4)_解析：(1)；（2）；(3) ；(4)举一反三：【变式】（1）（）2_（1）2； (2)当ab0时，loga_logb【答案】(1)；（2）。类型三：利用不等式的性质求取值范围3如果,则(1) 的取值范围是_； (2) 的取值范围是_解析：(1)（46，66）；（2）（480，1008）。举一反三：【变式】如果,则(1)的取值范围是_； (2) 的取值范围是_【答案】(1)（-18，-10）；（2）4已知函数,满足,那么的取值范围是_.解法一：方程思想(换元)：由 ，求得 又 ，即。解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)解法三：数形结合(线性规划)所确定区域如图：设，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出。举一反三：【变式】已知，求的取值范围。【答案】-3，10类型四：有关一元二次不等式的问题5解不等式：（1）；（2）解析：（1） 因为, 方程的解为， 所以不等式的解集是：.（2） 所以原不等式的的解集是：举一反三：【变式】(1) ；(2) ；【答案】（1）, 因为, 所以不等式的解集是（2） 因为 方程有两个相等的实根：， 由函数的图象为： 原不等式的的解集是：6不等式ax2+bx+120的解集为x|-1x2，则a=_, b=_。解析：由不等式的解集为x|-1x2知a0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。举一反三：【变式1】若不等式的解集为(-,-1 2,+ ）,求实数a的值【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, f(2)=0a=-2 所求实数a=-2【变式2】已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围【答案】7若关于的不等式的解集为一切实数R，求的取值范围.解析：当时，原不等式为：，不符合题意.当时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意当时，只需，即，解得，综上，的取值范围为总结升华： 在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:ax2+bx+c0对任何xR恒成立a0且=b2-4ac0；ax2+bx+c0对任何xR恒成立a0且=b2-4acm（x2+x+1）,求m的值【答案】对任意xR 恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立 对任意xR 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立 又因mN*，m=1【变式2】若不等式对一切xR恒成立，求实数m的取值范围。【答案】对一切xR恒成立所求m的取值范围为（-11，9）【变式3】在R上定义运算：xy=x(1-y),若不等式（x-a）(x+a)1对任意实数x成立，则（ ）A-1a1 B. 0a2 C. D. 【答案】由所给定义（x-a）(x+a)1对任意xR成立（x-a）(1-x-a)0对xR恒成立=1-4（1-a2+a）04a2-4a-3c a+b+c2c 又a+b+c=4 c0，则由得； 若b0， 则由得 -1b0 由解得-1b0,y0,且,求xy的最小值。 64基础达标：1若，则下列不等式关系中，不能成立的是（ ）A. B C. D2. 已知a、b、c满足cba，且acac B. c(b-a) 0 C. cb2ab2 D. ac(a-c)03. 若，则下列不等式a+b|b|；;中，正确的不等式有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. 若，则下列结论中不正确的是( )A. logablogba B. |logab+logba|2C. (logba)2|logab+logba|5已知aR，bR，且ab，在a2+3ab2b2；a3+b3a3b2+a2b3；a2+b22(ab1)； ，四个式子中恒成立的是（ ）A4个 B3个 C2个 D1个6设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A BCD7. 已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若成立 ,则 成立，下列命题成立的是( )A若f(3)9成立，则对于任意k1，均有成立B若f(4)16成立，则对于任意的k4，均有成立C若f(7)49成立，则对于任意的k7，均有成立D若f(4)=25成立，则对于任意的k4，均有f(k)k2成立8不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集是AB， 那么ab等于（ ）A3 B1 C1 D39若不等式的解集为，则a+b等于（ ）A2 B1 C3 D510一元二次不等式x27x120, x222x的解集分别是M、N、P，则有（ ）（A）NMP （B）MNP （C）NPM （D）MPN11不等式(2a)x22(a2)x40对于一切实数x都成立，则（ ）（A）a| 2a2 （B） a| 2a2 （C）a| a212设，且a+b+c=1（a、b、cR+），则M的取值范围是（ ）A B C D13已知a0，b0，a、b的等差中项是，且，则的最小值是（ ）A3 B4 C5 D614若ab1，则( )ARPQ BPQR CQPR DPRQ15已知x，y均为非负整数，则满足x+y5的点（x，y）共有（ ）A6个 B15个 C21个 D23个16. 若，则的最大值是（ ）A B C D17如果实数x、y满足条件，那么z=2xy的最大值为（ ）A2 B3 C2 D318若关于x的不等式(1+k2)xk4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）A2M，0M B2M，0M C2M，0M D2M，0M19（2011 四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每吨甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润A4650元 B4700元 C4900元 D5000元20在坐标平面上，不等组所表示的平面区域的面积为（ ）A B C D2能力提升：21函数的最小值为（ ）A3 B3 C4 D422设实数x，y，满足x2+y2=1，当x+y+c=0时，c的最大值是（ ）A B C D23已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）A8 B6 C4 D224若a，b，c0且，则2a+b+c的最小值为（ ）A B C D25在约束条件下，当3s5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）A6，15 B7，15 C6，8 D7，826已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m等于（ ）A2 B1 C1 D427关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是，则不等式cx2+bx+a0的解集是_。28已知点P（x，y）的坐标满足条件，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_。综合探究：29（1）已知x0，求的最大值；（2）已知a0，b0且，求的最大值。参考答案：基础达标：1. C； 2. C； 3. B； 4. D； 5D； 6B； 7. D； 8A； 9A； 10A；11B； 12D； 13C； 14B； 15C； 16. B； 17B18A能力提升：21B 22A23C 24D25D 26C27 28 综合探究：29（1）-2；（2）不等关系、一元二次不等式综合练习一、选择题1方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A B. C D2下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ ）A(x+3)(x1)0 B(x+4)(x1)0 Cx22x+30 3不等式组的解集为（ ）A（，23，4)B（，2（4，+）C（4，+） D（，2（4，+）4若0a0的解集是（ ）A(a，) B(，a) C(，a)(，+) D(，)(a，+)8若不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 9己知关于x的方程(m+3)x 24mx +2m1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是( )A3 m0 B0m3 Cm 0 Dm310有如下几个命题：如果x1, x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根且x1x2，那么不等式ax2+bx+c0的解集为xx1xx2；当b24ac0时，二次不等式ax2+bx+c0的解集为；与不等式(xa)(xb) 0的解集相同；与x22x3(x1)的解集相同。 其中正确命题的个数是( )A3 B2 C1 D0二、填空题11（2011 上海）不等式的解为_.12已知关于x的不等式对R恒成立，则t的取值范围是_.13若不等式的解集为，则实数p=_.14和是关于x的方程x2(k2)x+k2+3k+5=0的两个实根,则2+2的最大值为_.三、解答题15设，解关于的不等式：16已知函数y=(k2+4k5)x2+4(1k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.17要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?18设A=x|x2 +3k22k(2x1)，B=x|x2(2x1)k+k20且AB，试求k的取值范围.参考答案一、选择题1D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C 9.A 10.D二、填空题11； 12. ； 13. ； 14. 18三、解答题15；16 ；17半圆直径与矩形的高的比为21 ；18二元一次不等式组和简单的线性规划综合练习一、选择题1不在 3x+ 2y 0,则的最大值为（ ）A3B CD14设的最小值是（ ）A. 10 B. C. D. 5若x, y是正数，且，则xy有（ ）A最大值16 B最小值 C最小值16 D最大值6若a, b, cR，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（ ）A B C D7若x0, y0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（ ）A B C D8a,b是正数，则三个数的大小顺序是（ ）A BC D 9.（2011 上海）若，且，则下列不等式中，恒成立的是A BC D10下列函数中，最小值为4的是（ ）AB C D二、填空题11函数的最大值为_.12建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为_元.13若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是_.14若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答：_.三、解答题15已知：, 求mx+ny的最大值.16设a, b, c且a+b+c=1，求证：17已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围；（2）求的最小值.18是否存在常数c,使得不等式对任意正数x, y恒成立？试证明你的结论.参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.D 10.C二填空题11； 125400； 13； 14不对三、解答题15；16略 ；17(1) (2) ；18存在，
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