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2013年广州小升初数学知识复习指南-奥数一、小学奥数经典题型解题方法（完整版）小学奥数解题方法1分类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。可分为这样几类：(1)以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE;(2)以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE;(3)以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE;(4)以D为左端点的线段有1条，即DE。一共有线段4+3+2+1=10(条)。还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。(1)只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE;(2)含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE;(3)含有3条基本线段的，共2条：AD，BE;(4)含有4条基本线段的，有1条，即AE。有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位：厘米)的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形?提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：a、b只能取111的自然数;三角形任意两边之和大于第三边。1、11一种2、11 2、10二种3、11 3、10 3、9三种4、11 4、10 4、9 4、8四种5、11 5、10 5、9 5、8 5、7五种6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6六种7、11 7、10 7、9 7、8 7、7五种8、11 8、10 8、9 8、8四种9、11 9、10 9、9三种10、11 10、10二种11、11一种1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种小学奥数解题方法2化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况(化大为小)，从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。10条直线最多可把一个长方形分成多少块?提示：先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块?10条直线最多可把一个长方形分成多少块?第一条直线：分成2块第二条直线：分成2+2=4块第三条直线：分成2+2+3=7块10条直线最多可把一个长方形分成多少块?我们发现这样的规律：=2+(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=2+54=56(块)这就是说，10条直线可把长方形分为56块。小学奥数解题方法3把未知量具体化一般情况下，题目中的未知量不可以随便假设。有时，问题中所求的未知量与其它相关的未知量具体是多少并没有关系。在这种情况下，可以把这些没有关系的未知量设为具体数。”幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个。如果全部分给小班的小朋友，平均每人可分几个?全部分给小班的小朋友，每人可分几个，与苹果的总个数有关系，而与人数(无论是两班人数，还是大班人数)都没有关系。苹果总数=两班总人数6苹果总数=大班人数10所以，大班人数10=两班总人数6设两班100人大班100610=60人小班100-60=40人60040=15个小学奥数解题方法4试验将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。问剩余部分的管子最少是多少厘米?提示：从题目的问句看，应抓住“最少”二字来思考，先考虑没有剩余，再考虑剩余1厘米、2厘米(1)如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余，那么374应该是4的倍数，因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数，但374不能被4整除，所以没有剩余不可能。(2)如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米，根据36、24都是偶数，“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知，原来铝合金管长应为奇数，这与管长374(偶数)的条件矛盾，所以，剩1厘米也不可能。(3)如果最后剩下2厘米。这种情况有可能。374(36+24)=614。这说明两种都截6根余14厘米，这时需要调整：少截一根24厘米长的，加上14，24+14=36+2，正好合一根36厘米长的，还剩2厘米。小学奥数解题方法5移多补少在“平均”二字中，“平”就是“拉平”，也就是移多补少，“均”就是相等。“平均”二字的意思，通俗地说，就是用“移多补少”的办法，使每份数量都相等。因此，移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台?用四天装配总台数除以4，综合算式为：50+(50+5)+(502+3)4=52(台)采用移多补少的方法，假设每天都装配50台，那么四天一共多装配5+3=8(台)，把这8台平均分成四份，84=2(台)，因此，平均每天装配50+2=52(台)综合算式为：50+(5+3)4=52(台)甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出4角钱，问甲应收回多少钱?(以分为单位)4角=40分403=120(分)1208=15(分)155-40=35(分)小学奥数解题方法6等量代换“曹冲称象”是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?提示：我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋?”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。也就能求出一个木箱装多少双球鞋。用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米?5小=2大大换小：825=20 (时)小：312(20+6)=12(立方米)大：1252=30(立方米)小学奥数解题方法7画图在数学中，“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。几乎所有的数量关系或数学规律都可以用生动形象的示意图来反映。A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘?两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨?小学奥数解题方法8反过来想当你按习惯思路解决问题困难时，不妨也反过来想想。反过来想，是我们解数学题的一种很好的方法。用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛?淘汰199人需要比赛199场1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少?从1至100的和中去掉9的倍数，就是不能被9整除的数的和了1+2+3+。+100=50509(1+2+3+11)=5945050-594=4456小学奥数解题方法9分析因果关系分析，也就是抓住结果找原因。我们解数学题，也应当学会这种顺藤摸瓜，分析因果关系的本领。用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少?我们先把两次倒水的情况作一次比较。从连瓶重量来看，第二次比第一次重了“600-440=160(克)”，怎么会多160克的呢?因为第二次比第一次多倒了“5-3=2(杯)”水。这样，我们就容易求出每杯水的重量为：1602=80(克)。空瓶重量600- 805=200 (克)这类应用题的一般思路：(1)先比较两种情形，从数量上看出差别;(2)分析造成这种数量差别的原因;(3)利用这种因果关系来沟通题目中已知量与未知量的关系，并求出正确答案。兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养;如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈。问这个养猪场有多少间猪圈?共养了多少头猪?(102+4)(10-8)=12(间)812+4=100(头)或1012-102=100(头)小学奥数解题方法10假设小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题?假设小华全部答对：该得420=80(分)，现在实际只得了56分，相差80-56=24(分)，因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分(4+4=8)，根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：248=3(题)，一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17(题)417=68(分)(答对的应得分)43=12(分)(答错的应扣分)68-12=56(分)(实际得分)某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名?假设100名同学都是男生，那么应得分60100=6000(分)比实际少得63100-6000=300(分)原因是男生平均分比女生少70-60=10(分)求出女生人数为30010=30(名)小学奥数解题方法11转化数学题常用的也是十分重要的一种方法转化。这种转化通常是指转化条件或问题，特别是转化题中的数量关系。一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少?一个数的99倍是53.46，求这个数。两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少?题目中前一句话换个说法就是：被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是：被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。题目中第二句话换个说法是：被除数与除数的和是225-(21+3)=201。整个题目的意思换个说法就是：201比除数的22倍多3。从而可以先求出除数是：(201-3)22=9可求出被除数是：219+3=192小学奥数解题方法12抓不变量数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。例一 今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁?从年龄上不变来找解题的“突破口”小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)小明那一年是：(40-6)2=17(岁)是在几年之后呢?17-8=9(年)例二 王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少?91=713 =191，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。抓住：一个因数(乙数)没有变 ，乙是91和175的公约数917=13王进看错了的甲数1757=25张明看错了的甲数。157=105小学奥数解题方法13找隐蔽条件应用题中的隐蔽条件，往往是分析问题的突破口或者是最关键的一步。所以，审题时如果感到缺少条件，你不妨提醒自己：有没有什么隐蔽条件?一个家庭由丈夫、妻子、女儿和儿子组成，他们的年龄和是73岁。丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁。4年前这个家庭成员的年龄和是58岁。请问：这个家庭成员现在的年龄各是多少岁?隐蔽条件，可以推知：儿子今年才3岁。由“女儿比儿子大2岁”可以算出女儿今年是：3+2=5(岁)从而可知，丈夫与妻子现在的年龄和是：73-(5+3)=65(岁)由他们的年龄差是3岁，容易算出丈夫今年是：(65+3)2=34(岁)妻子今年是：65-34=31(岁)一个等腰三角形的周长是24厘米，其中有一条边长是6厘米，求另外两条边的长。等腰三角形的腰不能是6厘米，所以只能底是6厘米另两条边：( 24- 6)2=9(厘米)小学奥数解题方法14整体看问题从整体上观察思考，全面地审题。例一 有甲、乙、丙三种货物。如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去3.15元;如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱?买甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 买甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 要想求出买甲1件，乙1件，丙1件，共需花多少钱，必须使上述与中对应的“件数”相差1。为此，可转化已知条件：将条件中的每个量都扩大3倍，得：买甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 将条件中的每个量都扩大2倍，得：买甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为9.45-8.40=1.05(元)例二 一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑120米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米?提示：不需要把狗每趟所跑的路分别算出来，只要用它的速度乘一共所跑的时间就可以了。小学奥数解题方法15分情况讨论对于那些缺少条件，看上去无法回答的问题，经过全面深入的思考，分几种情况来讨论，是可以找到问题的完整(全部)答案的。例一 甲地到乙地的公路长400千米，两辆汽车从两地同时出发对开，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。出发几小时后两车相距80千米?例二 在连续的49年中，最多可以有多少个闰年?最少应该有多少个闰年?49年中有几个4年，一般就有几个闰年在通常情况下，连续49年中有12个闰年。49年必须是连续的。但它没有规定这49年的起止时间。但，当第一年是闰年时，最后一年也正好是闰年 例三 把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深;再把这根竹竿掉过头来插入水中，也刻上一个记号表示水深。已知两个记号相距10厘米，是水深的十分之一。求竹竿的长。一种：水深：1010=100(厘米)竿长：100+100+10=210 (厘米)另一种：水深：1010=100(厘米)竿长：100+100-10=190 (厘米)例四 一根铁丝可以弯成长、宽分别是4厘米、3厘米的长方形。如果用这根铁丝弯成两个相同的正方形，每个正方形面积是多少?(4+3)2=14(厘米)148=1.75(厘米)1.751.75=3.0625(平方厘米)(4+3)2=14(厘米)147=2(厘米)22=4(平方厘米)小学奥数解题方法16逐步调整你可以根据题中的部分条件，找到一个与正确答案比较接近的“准答案”，然后再对它进行修改或调整。这样一步一步地逼近，最后一定会得到符合题中所有条件的正确答案的。小学奥数解题方法17合理变形把算式合理变形，是我们进行简便计算最常用的方法。9999+199=(100-1)x(100-1)+200-1 =100x100-100-100+1+200-1 =10000合理的变形可以使解题过程变得简捷而灵活。怎样的变形才是“合理”的呢?(1)题目变形之后，要使隐蔽的简算特点暴露出来;(2)只能变“形”，而不能改变数的大小。小学奥数解题方法18用字母表示数方方、圆圆、丁丁、宁宁四个小朋友共有45本书，但是不知道每人各有几本书。如果变动一下：方方的减少2本，圆圆的增加2本，丁丁的增加一倍，宁宁的减少一半，那么四个小朋友的书就一样多。问：每个小朋友原来各有几本书?解：设一样多是x本。X+2+X-2+X2+2X=45X=10方方：10+2=12丁丁：102=5圆圆：10-2=8宁宁：2X=20小学奥数解题方法19借来还去我国民间流传着这样一个故事，一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给三个儿子。其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了。某汽水厂规定：用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水?如果3个空瓶可换1瓶汽水，那么有2个空瓶就可喝到1瓶汽水。这是因为：有了2个空瓶，再到别人那里“借来”1个空瓶，就可换来1瓶汽水，喝完把空瓶给别人“还去”，这时不欠不余。10瓶汽水喝完后得10个空瓶，10个空瓶又可换来5瓶汽水，总共可喝到“10+5=15”瓶汽水。二、小学奥数6大类重要知识点总复习小学奥数知识点众多，可分为6大类，数论、行程问题和分数应用是重点也是难点。计算能力速算巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等基础知识和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔同笼、方阵、逻辑、容斥、排列组合等图形问题平面图形、立体图形、几何图形、周长面积、表面积计算、阴影部分等等数论问题整除、余数、奇数偶数、因数倍数、质数合数、平方数、进制等行程问题行程、相遇、追及、流水、过桥过山洞、时钟、圆周、发车间隔等分数应用巧设单位一、折扣、浓度、比和比列、按比例分配等第一部分计算能力1.运算顺序第一级：括号：（）第二级：同一级运算可以交换运算次序第三级：同一级运算可以交换运算次序注意：同一级运算交换运算次序时，要带着前面的符号进行交换，然后运算。2.去括号：a(bc)=abca(bc)=abca(bc)=abca(bc)=abca(bc)=abca(bc)=abca(bc)=abca(bc)=abc3.分配率乘法：a(bc)=abaca(bc)=abac除法：(ab)c=acbc(ab)c=abbc4.两个必须掌握的性质两数之和一定，则两数越接近，乘积越大，两数相等时，乘积最大；两数乘积一定，则两数越接近，和越小，两数相等时，和最小。5.速算与巧算常用基本方法：凑整法、改变运算次序法、基准法、分组法、拆分法、倒置相加法、错位相减法、构造法等。6.几个常用计算公式：等差数列：和=公差=首项=末项=项数=平方差公式：a2b2=(ab)(ab)完全平方公式：(ab)2=a22abb2(ab)2=a22abb27.拆分列项公式（主要运用于分数的简便运算）我教:【例一】：393404397398405401400399391402=400740044003400240054001400400140094002=40010743251192=400010=3990【例三】：100999897969510987654321=（10097）（9996）（9895）（9491）（107）（96）（85）（41）32=1502=152巩固练习1. 3763853913813773893833743663783. 20102010【例二】：=【例四】：比较下面A，B两数的大小：A=20112011，B=20102012法一：20112011=20102012=4024根据两数之和一定，两数越接近，两数成绩越大，得：AB法二：A=20112B=（20111）（20111）=201121所以，AB2. 15025035050504. 20102010【家庭作业】：1.2.3. 1000减去它的一半,再减去余下的三分之一,再减去余下的四分之一,依此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下.4.5.6.7.8.9.10.第二部分基础知识基础知识点列表：序号知识点名称序号知识点名称序号知识点名称1归一归总7盈亏问题13逻辑问题2和差问题8周期问题14数字谜3和倍问题9鸡兔同笼问题15一笔画4差倍问题10方阵问题16加法乘法原理5植树问题11抽屉问题17排列组合6年龄问题12容斥问题18牛吃草问题基础知识这一块总体来说比较简单，但他蕴含了小学奥数的思维基础，大部分题目都是以这些基础知识点为基础展开的，因此，希望大家在轻松之余体验小学奥数的精髓，寻找解题的灵感，为后面的重点学习做准备。我教:你学：一、归一问题【含义】：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫归一问题。【数量关系】：总量份数=单一量单一量所占份数=所求份数的量另一总量单一量=所求份数【解题思路】：先求出单一量，然后根据题目要求求所需量。【例1】：买5支铅笔要0.6元，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：（1）先求出单一量：0.65=0.12（元）（2）再求另一总量：0.1216=1.92（元）列成综合算式：0.6516=1.92（元）答：需要1.92元钱。二、归总问题【含义】：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】：单一量份数=总量总量单一量=份数总量另一份数=另一单一量【解题思路】：先求出总量，再根据题目要求求所需量。【例2】：服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解：（1）先求出总量：3.2791=2531.2（米）（2）再求另一份数：2531.22.8=904（套）列成综合算式：3.27912.8=904（套）答：现在可以做904套。三、和差问题【含义】：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】：大数=（和差）2小数=（和差）2【解题思路】：根据题目信息找出其中的和差关系，利用公式解答。【例3】：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：甲班人数：（986）2=52（人）乙班人数：（986）2=46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。四、和倍问题【含义】：已知两个数量的和即他们的倍数关系（大数是小数的几倍或小数是大数的几分之几），求这两个数量各是多少，这类应用题叫和倍问题。【数量关系】：总和（倍数1）=小数总和小数=大数小数倍数=大数【解题思路】：根据题目信息找出其中的和倍关系，利用公式解答。【例4】：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵树是杏树的3倍，求杏树、桃树各是多少棵？解：杏树：248（31）=62（棵）桃树：623=186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。五、差倍问题【含义】：已知两个数量的差即他们的倍数关系（大数是小数的几倍或小数是大数的几分之几），求这两个数量各是多少，这类应用题叫差倍问题。【数量关系】：差（倍数1）=小数差小数=大数小数倍数=大数【解题思路】：根据题目信息找出其中的差倍关系，利用公式解答。【例5】：果园里桃树的棵树是杏树的3倍，且桃树比杏树多124。求杏树、桃树各是多少棵？解：杏树：124（31）=62（棵）桃树：623=186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。六、植树问题【含义】：在直线或者曲线上等距离植树（或设路灯、插彩旗等），求棵树的一类问题，叫植树问题。【数量关系】：、在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树，基本公式：棵数=段数1；棵距（段长）段数=总长、在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树，基本公式：棵数=段数1；棵距（段长）段数=总长、在封闭曲线上植树，两端只取其中一端，基本公式：棵数=段数；棵距（段长）段数=总长【解题思路】：具体分析题意，确定题目所属类型，从而确定棵树与段数的关系。【例6】：一条河堤长136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？解：13621=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。七、年龄问题【含义】：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路】：抓住“年龄差不变”这个特点解题。年龄总和则是几个人每年就增长几岁。【例7】：爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢?解：355=7（倍）（351）（51）=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。八、盈亏问题【含义】：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】：一般都说，在两次分配中：一盈一亏：总人数=（盈亏）分配差双盈：总人数=（大盈小盈）分配差双亏：总人数=（大亏小亏）分配差【解题思路】：先确定盈亏情况，再进行计算。【例8】：给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解：（111）（43）=12（人）31211=47（个）答：有12个小朋友，有47个苹果。九、周期问题【含义】：事物在变化过程中，某些特征有规律的循环出现，成为周期现象，重复出现的部分称为周期部分。【解题思路】：仔细审题，找出其中规律，利用除法算式求余数，根据余数得到在周期中的位置，确定答案。如果除得没有余数，则是周期中的最后一个。【例9】：甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取牛奶是星期一，那么他第100次取牛奶是星期几？解：21天内，每人取牛奶7次，甲第8次取牛奶又是星期一，因此将21天（甲取牛奶7次）看做一个周期：1007=142（第二次是星期四）答：他第100次取牛奶是星期四。十、鸡兔同笼【含义】：这是古典的算术问题，已知笼子里鸡、兔共有多少只和共有多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题，已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少只的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【解题思路】：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。另外，在解决鸡兔同笼问题的时候，还可以使用“站立法”、“捆绑法”。【例10】：一个农户有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，鸡、兔各有多少只？解：（140502）（42）=20（只）5020=30（只）答：有鸡30只，有兔20只。十一、方阵问题【含义】：将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】：.方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数1）4每边人数=四周人数41.方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数每边人数内边人数=外边人数层数差2若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数层数）层数4【解题思路】：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。【例11】：在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解：2222=484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。十二、抽屉原理【含义】：把3只苹果放进两个抽屉，会出现哪些结果呢？会发现，无论怎么放，一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉问题。【数量关系】：基本的抽屉原则：如果把n1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可推广为：如果有m个抽屉，有kmr（0rm）个元素，那么至少有一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。通俗的说，如果元素的个数是抽屉个数若干倍多一些，那么至少有一个抽屉要放比倍数还多一个或者更多的元素。【解题思路】：.改造抽屉，指出元素；.把元素放入（或取出）抽屉；.说明理由，得出结论。【例12】：育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的?解：2000年是润年，共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个学生看作“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天。十三、容斥原理【解题思路】：公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解容斥原理一：C=ABAB，利用这一公式可计算出两个集合圈的有关问题。容斥原理二：可计算三个集合圈的有关问题。D=ABCABACBCABC图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，逐块地计算出各个部分，从而解答问题。【例13】：某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人。全班得优共有多少人？解：152412=27（人）答：全班得优27人。十四、逻辑推理【解题思路】：逻辑推理需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律和排中律。“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。【例14】：甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。赵说：“甲是2号，乙是3号。”钱说：“丙是4号，乙是2号。”孙说：“丁是2号，丙是3号。”李说：“丁是4号，甲是1号。”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几号？解：假设赵说的前半句为真，即甲是2号。则李的后半句错误，所以丁是4号；于是孙的前半句错误，所以丙是3号；再有钱的前半句错误，所以乙是2号，与甲是2号矛盾，假设错误。因此，赵的后半句为真，乙是3号，则丙是4号，丁是2号，甲是1号。十五、数字谜【含义】：数字谜语是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。【解题思路】：步骤：1、先确定明显部分的数字2、寻找突破口，缩小范围3、分情况讨论【例15】：下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立？解：一个四位数乘以9仍得一个四位数，所以“我”只能是1，而“学”只能是9，进一步推算，可以得到，“我”=1，“爱”=0，“数”=8，“学”=9。十六、一笔画【解题思路】：一笔画性质：.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点位终点画完此图；.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。.其它情况的图一般都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。）【例16】：下图是一个公园的道路平面图，要使乘客走遍每条路且不重复，问出入口应设在哪里？解：因为此图只有两个奇点（E点和I点），根据一笔画性质2，可得出入口应分别设在E点和I点。十七、加法乘法原理【解题思路】：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法。【例17】：下图中的“我爱数学杯”有几种不同的读法？解：2222=16（种）十八、牛吃草问题【含义】：牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】：草总量=原有草量草每天生长量天数【解题思路】：解答这类问题的关键是求出草每天的生长量。【例18】：一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解：（10201510）（2010）=51020520=100（10055）5=25（头）答；需要25头牛。1. 3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？【家庭作业】：5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？2.小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？【家庭作业】：食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天吃完。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？3.已知一个长方形的长比宽多2厘米，周长是36厘米，求长方形的面积。3.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。【家庭作业】：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？4.东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？4.甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？【家庭作业】：甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？5.爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子的4倍，求父子二人今年各是多少岁？5.商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两月盈利各是多少万元？【家庭作业】：粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各10吨，多少天后，玉米是小麦的12倍？6.甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的钢条，要求按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？6.某一淡水湖的周长是1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株？可栽夹枝桃多少株？两株夹枝桃之间相距多少米？【家庭作业】：一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?7.爸爸今年37岁，女儿7岁，几年后爸爸年龄是女儿的4倍？7. 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年各是多少岁？【家庭作业】：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。”求甲乙现在的岁数各是多少？8.修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？【家庭作业】：学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？9. 2012年的6月1日是星期五，那么2013年的6月1日是星期几？9.果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、三棵种梨树，后面三棵种桃树。那么最后一棵应种什么树？在这100棵树种，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？【家庭作业】：小明把收集起来的硬币按四个1分，三个2分，两个5分这样的顺序往下排。那么，他排的第111个硬币是几分硬币，这111个硬币共多少元？10.鸡兔同笼，共有足248只，兔比鸡少52只，那么兔有多少只，鸡有多少只？10.班主任张老师带四年级甲班50名同学栽树，张老师一人载5棵，男生一人载3棵，女生一人载2棵，总共栽树120棵。共有几名男生，几名女生？【家庭作业】：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对，（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？11.有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。11.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？【家庭作业】：一堆棋子，排列成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？12.有四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排表示各种信号，在200个信号中至少有多少个信号相同？12.书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种奖品。问至少应有多少名获奖同学，才能保证其中必有4个同学得到的奖品完全相同？【家庭作业】：一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个，某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少取出多少个球，长能保证至少有4个球颜色相同？13.某班共50人，参加课外兴趣小组学书法的32人，学绘画的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没参加兴趣小组？【家庭作业】：从1到100的自然数中，（1）不能被6和10整除的数有多少个？（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个？14.甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、英语。根据下面的已知条件：（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；（2）浙江的教师不教英语；（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。则丙教什么学科？【家庭作业】：执行一项任务，要派A、B、C、D、E五人中的一些人去，受下述条件约束：（1）若A去，B必须去；（2）D、E两人至少去1人；（3）B、C两人只能去1人；（4）C、D两人都去或都不去；（5）若E去，A、D两人也必须去。问应派哪些人去？15.每个汉字代表的数字是多少？15.下边的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧解数字谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？【家庭作业】：A、B各代表什么数字？16.甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁会先到邮局？【家庭作业】：邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各横道、竖道之间的道路是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走多少千米？17.有红、黄、蓝、绿、黑五种颜色的彩笔，每两种颜色的彩笔为一组，最多可以配成不重复的几组？17.有6张卡片，分别写着2，3，4，5，6，7，现在从中取出3张卡片，并排放在一起，形成一个三位数，那么共有多少个不同的三位奇数？【家庭作业】：从1、2、3、4、5中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少个真分数？18.有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。如果一群牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？18.有一条船因触礁破了一个洞，海水均匀地进入船内，发现船漏时，船已经进了一些水。如果12个人淘水则3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则10小时把水淘完，如