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初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 1 数的整除 一 甲内容提要 如果整数 A 除以整数 B B 0 所得的商 A B 是整数 那么叫做 A 被 B 整除 0 能被所有非 零的整数整除 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除 如 771 54324 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减 其差能被 11 整除 如 143 1859 1287 908270 等 7 11 13 从右向左每三位为一段 奇数段的各数和与偶数段的各数和相减 其差能被 7 或 11 或 13 整除 如 1001 22743 17567 21281 等 能被 7 整除的数的特征 抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除 如 1001 100 2 98 能被 7 整除 又如 7007 700 14 686 68 12 56 能被 7 整除 能被 11 整除的数的特征 抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除 如 1001 100 1 99 能 11 整除 又如 10285 1028 5 1023 102 3 99 能 11 整除 乙例题 例 1 已知两个三位数 和 的和仍是三位数 且能被 9 整除 289x75y 求 x y 解 x y 都是 0 到 9 的整数 能被 9 整除 y 6 328 567 x 32 例 2 己知五位数 能被 12 整除 求 X14 解 五位数能被 12 整除 必然同时能被 3 和 4 整除 当 1 2 3 4 X 能被 3 整除时 x 2 5 8 当末两位 能被 4 整除时 X 0 4 8 X 8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解 五位数字都不相同的最小五位数是 10234 但 1 2 4 0 3 4 不能被 11 整除 只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30 41 52 63 均可 五位数字都不相同的最小五位数是 10263 丙练习 1 分解质因数 写成质因数为底的幂的連乘积 593 1859 1287 3276 10101 10296 2 若四位数 能被 3 整除 那么 a a987 3 若五位数 能被 11 整除 那么 X 412X 4 当 m 时 能被 25 整除 5m 5 当 n 时 能被 7 整除 n9610 6 能被 11 整除的最小五位数是 最大五位数是 7 能被 4 整除的最大四位数是 能被 8 整除的最小四位数是 8 8 个数 125 756 1011 2457 7855 8104 9152 70972 中 能被 下列各数整除的有 填上编号 6 8 9 11 9 从 1 到 100 这 100 个自然数中 能同时被 2 和 3 整除的共 个 10 能被 3 整除但不是 5 的倍数的共 个 11 由 1 2 3 4 5 这五个自然数 任意调换位置而组成的五位数中 不能被 3 整除的数 共有几个 为什么 12 己知五位数 能被 15 整除 试求 A 的值 A 13 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数 14 在十进制中 各位数码是 0 或 1 并能被 225 整除的最小正整数是 1989 年全 国初中联赛题 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 2 倍数 约数 甲内容提要 1 两个整数 A 和 B B 0 如果 B 能整除 A 记作 B A 那么 A 叫做 B 的倍数 B 叫 做 A 的约数 例如 3 15 15 是 3 的倍数 3 是 15 的约数 2 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0 所以 0 被非 0 整数整除 0 是任何非 0 整数的倍数 非 0 整数都是 0 的约数 如 0 是 7 的倍数 7 是 0 的约数 3 整数 A A 0 的倍数有无数多个 并且以互为相反数成对出现 0 A 2A 都是 A 的倍数 例如 5 的倍数有 5 10 4 整数 A A 0 的约数是有限个的 并且也是以互为相反数成对出现的 其中必包括 1 和 A 例如 6 的约数是 1 2 3 6 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数 几正整数有最小的公倍数和最犬的公约 数 6 公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数 例如 15 与 28 互质 7 在有余数的除法中 被除数 除数 商数 余数 若用字母表示可记作 A BQ R 当 A B Q R 都是整数且 B 0 时 A R 能被 B 整除 例如 23 3 7 2 则 23 2 能被 3 整除 乙例题 例 1 写出下列各正整数的正约数 并统计其个数 从中总结出规律加以 应用 2 2 2 2 3 2 4 3 3 2 3 3 3 4 2 3 2 2 3 2 2 32 解 列表如下 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 2 1 2 2 3 1 3 2 2 3 1 2 3 6 4 22 1 2 4 3 32 1 3 3 2 3 22 3 1 2 3 4 6 12 6 23 1 2 4 8 4 33 1 3 32 3 3 4 22 32 1 2 3 4 6 9 12 18 36 9 24 1 2 4 8 16 5 34 1 3 3 2 33 3 4 5 其规律是 设 A a mbn a b 是质数 m n 是正整数 那么合数 A 的正约数的个是 m 1 n 1 例如求 360 的正约数的个数 解 分解质因数 360 2 3 32 5 360 的正约数的个数是 3 1 2 1 1 1 24 个 例 2 用分解质因数的方法求 24 90 最大公约数和最小公倍数 解 24 2 3 3 90 2 3 2 5 最大公约数是 2 3 记作 24 90 6 最小公倍数是 23 32 5 360 记作 24 90 360 例 3 己知 32 44 除以正整数 N 有相同的余数 2 求 N 解 32 2 44 2 都能被 N 整除 N 是 30 42 的公约数 30 42 6 而 6 的正约数有 1 2 3 6 经检验 1 和 2 不合题意 N 6 3 例 4 一个数被 10 余 9 被 9 除余 8 被 8 除余 7 求适合条件的最小正整数 分析 依题意如果所求的数加上 1 则能同时被 10 9 8 整除 所以所求的数是 10 9 8 的 最小公倍数减去 1 解 10 9 8 360 所以所求的数是 359 丙练习 2 1 12 的正约数有 16 的所有约数是 2 分解质因数 300 300 的正约数的个数是 3 用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数 4 一个三位数能被 7 9 11 整除 这个三位数是 5 能同时被 3 5 11 整除的最小四位数是 最大三位数是 6 己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数 2 则 A 7 写出能被 2 整除 且有约数 5 又是 3 的倍数的所有两位数 答 8 一个长方形的房间长 1 35 丈 宽 1 05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满 问正方形最大 边长可以是几寸 若用整数寸作国边长 有哪几种规格的正方形瓷砖适合 9 一条长阶梯 如果每步跨 2 阶 那么最后剩 1 阶 如果每步跨 3 阶 那么最后剩 2 阶 如果每步跨 4 阶 那么最后剩 3 阶 如果每步跨 5 阶 那么最后剩 4 阶 如果每步跨 6 阶 那么最后剩 5 阶 只有每步跨 7 阶 才能正好走完不剩一阶 这阶梯最少有几阶 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 3 质数 合数 甲内容提要 1 正整数的一种分类 质数的定义 如果一个大于 1 的正整数 只能被 1 和它本身整除 那么这个正 整数叫做质数 质数也称素数 合数的定义 一个正整数除了能被 1 和本身整除外 还能被其他的正整数整除 这样的 正整数叫做合数 2 根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数 质数中只有一个偶数 2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2 3 任何合数都可以分解为几个质数的积 能写成几个质数的积的正整数就是合数 乙例题 例 1 两个质数的和等于奇数 a a 5 求这两个数 解 两个质数的和等于奇数 必有一个是 2 所求的两个质数是 2 和 a 2 例 2 己知两个整数的积等于质数 m 求这两个数 解 质数 m 只含两个正约数 1 和 m 又 1 m m 所求的两个整数是 1 和 m 或者 1 和 m 例 3 己知三个质数 a b c 它们的积等于 30 求适合条件的 a b c 的值 解 分解质因数 30 2 3 5 适合条件的值共有 532ca 523cba 325cb a 应注意上述六组值的书写排列顺序 本题如果改为 4 个质数 a b c d 它们的积等于 210 即 abcd 2 3 5 7 那么适合条件的 a b c d 值共有 24 组 试把它写出来 例 4 试写出 4 个連续正整数 使它们个个都是合数 解 本题答案不是唯一的 设 N 是不大于 5 的所有质数的积 即 N 2 3 5 那么 N 2 N 3 N 4 N 5 就是适合条件的四个合数 即 32 33 34 35 就是所求的一组数 本题可推广到 n 个 令 N 等于不大于 n 1 的所有质数的积 那么 N 2 N 3 N 4 N n 1 就是所求的合数 丙练习 3 1 小于 100 的质数共 个 它们是 2 己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11 则 P Q 3 己知两个素数的差是 41 那么它们分别是 4 如果两个自然数的积等于 19 那么这两个数是 如果两个整数的积等于 73 那么它们是 如果两个质数的积等于 15 则它们是 5 两个质数 x 和 y 己知 xy 91 那么 x y 或 x y 6 三个质数 a b c 它们的积等于 1990 那么 cba 7 能整除 311 5 13 的最小质数是 8 8 己知两个质数 A 和 B 适合等式 A B 99 AB M 求 M 及 的值 BA 9 试写出 6 个連续正整数 使它们个个都是合数 10 具备什么条件的最简正分数可化为有限小数 11 求适合下列三个条件的最小整数 大于 1 没有小于 10 的质因数 不是质数 12 某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数 且这三个质数均在 30 到 50 之间 那么这个质数是 13 一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数 这个质数是 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 4 零的特性 甲内容提要 一 零既不是正数也不是负数 是介于正数和负数之间的唯一中性数 零是自然数 是整数 是偶数 1 零是表示具有相反意义的量的基准数 例如 海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存 0 元 2 零是判定正 负数的界限 若 a 0 则 a 是正数 反过来也成立 若 a 是正数 则 a 0 记作 a 0 a 是正数 读作 a 0 等价于 a 是正数 b 0 b 是负数 c 0 c 是非负数 即 c 不是负数 而是正数或 0 d 0 d 是非正数 即 d 不是正数 而是负数或 0 e 0 e 不是 0 即 e 不是 0 而是负数或正数 3 在一切非负数中有一个最小值是 0 例如 绝对值 平方数都是非负数 它们的最小值都是 0 记作 a 0 当 a 0 时 a 的值最小 是 0 a2 0 a 2 有最小值 0 当 a 0 时 4 在一切非正数中有一个最大值是 0 例如 X 0 当 X 0 时 X 值最大 是 0 X 0 时都是负数 X 2 2 0 当 X 2 时 X 2 2 的值最大 是 0 二 零具有独特的运算性质 1 乘方 零的正整数次幂都是零 2 除法 零除以任何不等于零的数都得零 零不能作除数 从而推出 0 没有倒数 分数的分母不能是 0 3 乘法 零乘以任何数都得零 即 a 0 0 反过来 如果 ab 0 那么 a b 中至少有一个是 0 要使等式 xy 0 成立 必须且只需 x 0 或 y 0 4 加法 互为相反数的两个数相加得零 反过来也成立 即 a b 互为相反数 a b 0 5 减法 两个数 a 和 b 的大小关系可以用它们的差的正负来判定 若 a b 0 则 a b 若 a b 0 则 a b 若 a b 0 则 a b 反过来也成立 当 a b 时 a b 0 当 a b 时 a b 0 当 a b 时 a b 0 三 在近似数中 当 0 作为有效数字时 它表示不同的精确度 例如 近似数 1 6 米与 1 60 米不同 前者表示精确到 0 1 米 即 1 分米 误差不超过 5 厘米 后者表示精确到 0 01 米 即 1 厘米 误差不超过 5 毫米 可用不等式表示其值范围 如下 1 55 近似数 1 6 1 65 1 595 近似数 1 60 1605 乙例题 例 1 两个数相除 什么情况下商是 1 是 1 答 两个数相等且不是 0 时 相除商是 1 两数互为相反数且不是 0 时 相除商是 1 例 2 绝对值小于 3 的数有几个 它们的和是多少 为什么 答 绝对值小于 3 的数有无数多个 它们的和是 0 因为绝对值小于 3 的数包括大于 3 并 且小于 3 的所有数 它们都以互为相反数成对出现 而互为相反数的两个数相加得零 例 3 要使下列等式成立 X Y 应取什么值 为什么 X Y 1 0 X 3 Y 2 2 0 答 根据任何数乘以 0 都得 0 可知当 X 0 时 Y 可取任何数 当 Y 1 时 X 取任何数等式 X Y 1 0 都是能成立 互为相反数相加得零 而 X 3 0 Y 2 2 0 它们都必须是 0 即 X 3 0 且 Y 2 0 故当 X 3 且 Y 2 时 等式 X Y 2 2 0 成立 丙练习 4 1 有理数 a 和 b 的大小如数轴所示 b 0 a 比较下列左边各数与 0 的大小 用 号連接 2a 0 3b 0 0 0 a1b2 a 2 0 b 3 0 a b 0 a b 0 ab 0 2b 3 0 0 0 2 a 表示有理数 下列四个式子 正确个数是几个 答 个 a a a2 a 2 a a a 1 a 3 x 表示一切有理数 下面四句话中正确的共几句 答 句 x 2 2 有最小值 0 x 3 有最大值 0 2 x 2 有最大值 2 3 x 1 有最小 3 4 绝对值小于 5 的有理数有几个 它们的积等于多少 为什么 5 要使下列等式成立 字母 X Y 应取什么值 0 X X 3 0 X 1 Y 3 2 0 6 下列说法正确吗 为什么 a 的倒数是 方程 a 1 X 3 的解是 X 13 a n 表示一切自然数 2n 1 表示所有的正奇数 如果 a b 那么 m2a m2b a b m 都是有理数 7 X 取什么值时 下列代数式的值是正数 X X 1 X X 1 X 2 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 5 an 的个位数 甲内容提要 1 整数 a 的正整数次幂 an 它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同 例如 20023 与 23 的个位数字都是 8 2 0 1 5 6 的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身 例如 57 的个位数是 5 6 2 的个 位数是 6 3 2 3 7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表 指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 底数 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是 2 的正整数次幂的个位数是按 2 4 8 6 四个数字循环出现 即 24k 1 与 21 2 4K 2 与 22 2 4K 3 与 23 2 4K 4 与 24 的个位数是相同的 K 是正整数 3 和 7 也有类似 的性质 4 4 8 9 的正整数次幂的个位数 可仿照上述方法 也可以用 4 2 2 8 2 3 9 3 2 转化为以 2 3 为底的幂 5 综上所述 整数 a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律 a4K m 与 am 的个位数相同 k m 都是正整数 乙例题 例 1 20032 3 的个位数是多少 解 2003 2 3 与 32 3 的个位数是相同的 2003 4 500 3 3 2 3 与 33 的个位数是相同的 都是 7 2003 的个位数是 7 例 2 试说明 632 147 2 2 的和能被 10 整除的理由 解 2000 4 500 2002 4 500 2 63 2 与 34 的个位数相同都是 1 147 2 2 与 72 的个位数相同都是 9 63 2 147 2 2 的和个位数是 0 63 2 147 2 2 的和能被 10 整除 例 3 K 取什么正整数值时 3k 2 k 是 5 的倍数 例 4 解 列表观察个位数的规律 K 1 2 3 4 3 的个位数 3 9 7 1 2 的个位数 2 4 8 6 3k 2 k 的个位数 5 5 从表中可知 当 K 1 3 时 3k 2 k 的个位数是 5 a m 与 a4n m 的个位数相同 m n 都是正整数 a 是整数 当 K 为任何奇数时 3 k 2 k 是 5 的倍数 丙练习 5 1 在括号里填写各幂的个位数 K 是正整数 22 的个位数是 4 5 的个位数是 33 的个位数是 8 7 的个位数是 74K 1 的个位数是 311 7 9 的个位数是 216 314 的个位数是 32k 1 7 2k 1 的个位数是 72k 3 2k 的个位数是 7 4k 1 6 4k 3 的个位数是 771 3315 222 5525 的个位数是 2 目前知道的最大素数是 2216 91 1 它的个位数是 3 说明如下两个数都能被 10 整除的理由 53 53 33 33 1987 1989 1993 1991 4 正整数 m 取什么值时 3 m 1 是 10 的倍数 5 设 n 是正整数 试说明 2 n 7 n 2 能被 5 整除的理由 6 若 a4 的个位数是 5 那么整数 a 的个位数是 若 a4 的个位数是 1 那么整数 a 的个位数是 若 a4 的个位数是 6 那么整数 a 的个位数是 若 a2k 1 的个位数是 7 那么整数 a 的个位数是 7 12 2 2 3 2 9 2 的个位数是 1 2 2 2 3 2 19 2 的个位数是 12 2 2 3 2 29 2 的个位数是 8 a b c 是三个连续正整数 a 2 14884 c 2 15376 那么 b2 是 A 15116 B 15129 C 15144 D 15321 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 6 数学符号 甲内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字 每一个符号都有确定的意义 即当我们把它规定 为某种意义后 就不再表示其他意义 数学符号一般可分为 1 元素符号 通常用小写字母表示数 用大写字母表示点 用 和 表示园和三角形 等 2 关系符号 如等号 不等号 相似 全等 平行 垂直 等 3 运算符号 如加 减 乘 除 乘方 开方 绝对值等 4 逻辑符号 略 5 约定符号和辅助符号 例如我们约定正整数 a 和 b 中 如果 a 除以 b 的商的整数 部份记作 Z 而它的余数记作 R 那么bab Z 3 R 1 又如设 表示不大于 x 的最大整数 那么 5 100 x 2 6 0 3 2 5 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义 即定义 对题设中临时约定的符号 一定要扣紧定义 由简到繁 由浅入深 由具体到抽象 逐步加深理解 在解题过程中为了简明表述 需要临时引用辅助符号时 必须先作出明确的定义 所用符号不要与常规符号混淆 乙例题 例 1 设 表示不大于 Z 的最大整数 n 为正整数 n 除以 3 的余数 计算 4 07 13 2004 732 14 7 4 解 原式 4 3 1 0 0 原式 14 2 0 21 例 2 求 19871988 的个位数 说明 19871989 1993 1991 能被 10 整除的理由 解 设 N x 表示整数 x 的个位数 N 1987 1988 N 7 4 497 N 7 4 1 N 1987 1989 N 1993 1991 N 7 4 497 1 N 3 4 497 3 N 7 1 N 3 3 7 7 0 1987 1989 1993 1991 能被 10 整除 由于引入辅助符号 解答问题显得简要明瞭 例 3 定义一种符号 的运算规则为 a b 2a b 试计算 5 3 1 7 4 解 5 3 2 5 3 13 2 1 7 4 9 4 2 9 4 22 例 4 设 a b a ab 7 求等式 3 x 2 8 中的 x 解 由题设可知 等式 3 x 2 8 就是 3 3x 7 2 2 8 7 9x 21 18 x 4 1 丙练习 6 1 设 Q x 表示有理数 x 的整数部分 那么 Q 2 15 Q 12 3 Q 0 03 Q 51 2 设 n 表示不小于 n 的最小整数 那么 4 3 2 3 2 0 3 0 3 3 设 m 表示不大于 m 的最大整数 若 m 2 则 m 若 n 3 5 则 n 若 1 Y 0 则 Y 若 7 b 8 则 b 若 x 4 则 x 若 n C n 1 则 C 4 正整数 a 和 b 中 设 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z 余数记作ba R a b 的个位数记作 n a b 写出下列各数的结果 R R Z Z 73527352 n 1989 199 5 设 n 表示自然数由 1 到 n 的連乘积 例如 5 1 2 3 4 5 120 计算 120 3 3 6 设 a1b2 a 2b121 计算 43 0 7 定义一种符号 的运算法则为 a b 那么 2 3 2 2 3 1 2 3 3 1 0 8 a b 都是正整数 设 a b 表示从 a 起 b 个連续正整数的和 例如 2 3 2 3 4 5 4 5 6 7 8 己知 X 5 2005 求 X 9 设 x 表示不大于 x 数的最大整数且 x x 求 10 设 a 表示不大于数 a 的最大整数 例如 1 22 那么 3x 1 2x 的所有的根的和是 1987 年全国初中联赛题 21 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 7 用字母表示数 甲内容提要和例题 1 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来 从具体的数字计 算到用抽象的字母概括运算规律上 是一种飞跃 2 用字母表示数时 字母所取的值 应使代数式有意义 并使它所表示的实际问题有意义 例如 写出数 a 的倒数 用字母表示一切偶数 解 当 a 0 时 a 的倒数是 a1 设 n 为整数 2n 可表示所有偶数 3 命题中的字母 一般要注明取值范围 在没有说明的情况下 它表示所学过的数 并且能 使题设有意义 例题 化简 x 3 x 3 x 5 解 x 3 x 3 0 x 3 x 3 x 3 当 x 5 时 x 5 x 5 当 x 5 时 x 5 x 5 本题 x 表示所有学过的数 例 己知十位上的数是 a 个位数是 b 试写出这个两位数 解 这个两位数是 10a b 本题字母 a b 的取值是默认题设有意义 即 a 表示 1 到 9 的整数 b 表示 0 到 9 的整数 4 用字母等式表示运算定律 性质 法则 公式时 一般左边作为题设 所用的字母是使左 边代数式有意义的 所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明 例如用字母表示 分数的基本性质 分数除法法则 解 分数的基本性质是 m 0 m 0 ab ab a 作为左边的分母不另说明 a 0 d 0 d 在左边是分子到了右边变分母 故另加说明 cb 5 用字母等式表示运算定律 性质 法则 公式 不仅可从左到右顺用 还可从右到左逆用 公式可以变形 变形时字母取值范围有变化时应加说明 例如 乘法分配律 顺用 a b c ab ac 2 17846 814 172 逆用 5a 5b 5 a b 6 25 3 14 5 25 3 14 3 14 6 25 5 25 3 14 路程 S 速度 V 时间 T V T 0 T V 0 SS 6 用因果关系表示的性质 法则 一般不能逆用 例如 加法的符号法则 如果 a 0 b 0 那么 a b 0 不可逆 绝对值性质 如果 a 0 那么 a a 也不可逆 若 a a 则 a 0 7 有规律的计算 常可用字母表示其结果 或概括成公式 例 1 正整数中不同的五位数共有几个 不同的 n 位数呢 解 不同的五位数可从最大 五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数 即 99999 9999 90000 推广到 n 位正整数 则要观察其规律 一位正整数 从 1 到 9 共 9 个 记作 9 1 二位正整数从 10 到 99 共 90 个 记作 9 10 三位正整数从 100 到 999 共 900 个 记作 9 102 四位正整数从 1000 到 9999 共 9000 个 记作 9 103 指数 3 4 1 n 位正整数共 9 10 n 1 个 例 2 A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C D E 后 图中共有几条线段 加 n 点呢 解 以 A 为一端的线段有 AC AD AE AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有 除 CA 外 CD CE CB 共 3 条 以 D 为一端的线段有 除 DC DA 外 DE DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有 除 ED EC EA 外 EB 共 1 条 共有线段 1 2 3 4 10 条 注意 3 个点时 是从 1 加到 4 因此 如果是 n 个点 则共有线段 1 2 3 n 1 条n2 2 丙练习 7 1 右边代数式中的字母应取什么值 S 正方形 a 2 3 的倍数 3n24 x 2 用字母表示 一切奇数 所有正偶数 一个三位数 n 个 a 相乘的结果 负数的绝对值是它的相反数 3 写出 从 1 开始 n 个自然数的和是 从 11 开始到 2n 1 連续奇数的和 n 5 是 m 个球队进行单循环赛所需场数是 4 已知 999 10 3 1 9999 10 4 1 那么各位数都是 9 的 n 位数 n9 5 计算 112 1112 n 10 时 n2 6 写出图中所有三角形并计算其个数 如果线段上有 10 个点呢 A EB C D O 初中一年级 上 数学竞赛辅导资料 8 抽屉原则 甲内容提要 1 4 个苹果放进 3 个抽屉 有一种必然的结果 至少有一个抽屉放进的苹果不少于 2 个 即 等于或多于 2 个 如果 7 个苹果放进 3 个抽屉 那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于 3 个 即的等于或多于 3 个 这就是抽屉原则的例子 2 如果用 表示不小于 的最小整数 例如 3 2 那么抽屉原则可定义为 nmn 76 m 个元素分成 n 个集合 m n 为正整数 m n 则至少有一个集合里元素不少于 个 3 根据 的定义 己知 m n 可求 n 己知 则可求 的范围 例如己知 3 那么 2 3 己知 2 则 1 mnnm 3x 2 即 3 x 6 x 有最小整数值 4 x 乙例题 例 1 某校有学生 2000 人 问至少有几个学生生日是同一天 分析 我们把 2000 名学生看作是苹果 一年 365 天 闰年 366 天 看作是抽屉 即把 m 2000 个元素 分成 n 366 个集合 至少有一个集合的元素不少于 个 nm 解 5 6 362017 320 答 至少有 6 名学生的生日是同一天 例 2 从 1 到 10 这十个自然数中 任意取出 6 个数 其中至少有两个是倍数关系 试说明这 是为什么 解 我们把 1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一集合里 则可分为 5 个集合 它们是 1 2 4 8 3 6 5 10 7 9 要在 5 个集合里取出 6 个数 至少有两个是在同一集合 而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系 本题的关键是划分集合 想一想为什么 9 不能放在 3 和 6 的集合里 例 3 袋子中有黄 红 黑 白四种颜色的小球各 6 个 请你从袋中取出一些球 要求至少 有 3 个颜色相同 那么至少应取出几个才有保证 分析 我们可把 4 种球看成 4 个抽屉 4 个集合 至少有 3 个球同颜色 看成是至少有一个 抽屉不少于 3 个 有一个集合元素不少于 3 个 解 设至少应取出 x 个 用 表示不小于 的最小整数 那么4x 3 2 3 即 8 x 12 最小整数值是 9 4x4x 答 至少要取出 9 个球 才能确保有三个同颜色 例 4 等边三角形边长为 2 在这三角形内部放入 5 个点 至少有 2 个点它们的距离小于 1 试说明理由 解 取等边三角形各边中点 并連成四个小三角形 如图 它们边长等于 1 5 个点放入 4 个三角形 至少有 2 个点放在同一个三角形内 而同一个三角形内的 2 个点之间的距离必小于边长 1 丙练习 8 1 初一年新生从全县 17 个乡镇招收 50 名 则至少有 人来自同一个乡镇 2 任取 30 个正整数分别除以 7 那么它们的余数至少有 个是相同的 3 在 2003m 中 指数 m 任意取 10 个正整数 那么这 10 个幂的个位数中相同的至少于 个 4 暗室里放有四种不同规格的祙子各 30 只 为确保取出的祙子至少有 1 双 2 只同规格为 1 双 那么至少要取几只 若要确保 10 双呢 5 袋子里有黑 白球各一个 红 蓝 黄球各 6 个 请你拿出一些球 要确保至少有 4 个同 颜色 那么最少要取几个 6 任意取 11 个正整数 至少有两个它们的差能被 10 整除 这是为什么 7 右图有 3 行 9 列的方格 若用红 蓝两种颜色 涂上 则至少有 2 列的涂色方式是一样的 试说明这是为什么 8 任意取 3 个正整数 其中必有两个数它们的平均数也是正整 数 试说明理由 9 90 粒糖果分给 13 个小孩 每人至少分 1 粒 不管怎样分 总有两人分得同样多 这是为 什么 10 11 个互不相同的正整数 它们都小于 20 那么一定有两个是互质数 最大公约数是 1 的两个正整数叫互质数 11 任意 6 个人中 或者有 3 个人他们之间都互相认识 或者有 3 个人他们之间都互不相识 两者必居其一 这是为什么 2006 初中七年级上数学竞赛试题 1 一 填空题 1 三个不同的正质数 满足 则 cba 20 ab cba 2 已知关于 的方程 的解是 7 且 都是质数 那么 x3a 3 设非零有理数 满足 化简 0 cabcab 4 求 的最小值 23 0 3 2 1 xxxx 5 如果把分数 的分子 分母分别加上正整数 结果等于 那么 的最小值是 79ba 139ba 6 已知 则 xzcybxa c 7 周长为 68 的长方形 ABCD 被分成 7 个大小完全一样的长方形 则长方形 ABCD 的面积是 8 如果 时那 么 当 1 204 31 1 anan 的值 20544321 aa 9 满足 的非负整数对 a b 的个数有 1 b 一 解答题 10 两个整数 依一定顺序排在一起 称为一个整数序偶 记为 当 时 显然a ba 我们对整数序偶定义运算 b 表示相 2 3 0 2 3 yxdcbadcd 及若均 为 整 数其 中 同的整数序偶 试求 之值 22yx 11 中的数字依次 1 到 2003 而得到的 那么小数点0301413456789 0 x 后 2003 位数字应是多少 12 为整数 且关于 的方程 有整数解 求ax2 1 axxa a 13 在一种游戏中 魔术师请一个人随意想一个三位数 并请这个人算出 5 个数bc 和 的和 N 把 N 告诉魔术师 于是这个魔术师就可以说出这个人所想cbcb 的数 现在设 N 3194 请你当魔术师 求出数 来 a ac 14 某中学举行了一次数学比赛 满分 100 分 A B C D E 五人的得分是互不相等的 整数 A 说 我得了 94 分 B 说 我在五人中得分最高 C 说 我的得分是 A 和 D 的平均数 D 说 我的得分恰好是五人的平均数 E 说 我比 C 多得 2 分 在我们五人中是第二名 问 这五个人各得多少分 A 94 B 98 C 95 D 96 E 97 2006 初中七年级上数学竞赛试题 2 提示 1 本卷满分 120 分 2 姓名 班级 考号及答案全部填写在试卷的反面 一 选择题 每小题 6 分 共 60 分 每题只有一个正确答案 1 已知 都是有理数 且 则 ababa A 负数 B 正数 C 负数或零 D 非负数 2 如图 数轴上每个刻度为 1 个单位长度 点 A 对应的数为 B 对应的数为 且b 那么数轴上原点的位置在7 A A 点 B B 点 C C 点 D D 点 3 下列说法正确的是 A 的相反数是 a B 的倒数是 C 的绝对值是 D 一定是负数 2a 4 大于 而不大于 的整数总共有 35 2 A 12 个 B 13 个 C 14 个 D 15 个 5 如图 有两块形状大小完全相同的三角板 把它们相等的边靠在一起 可以拼出许多图形 其中形状不同的四边形的种数是 A 3 B 4 C 5 D 6 6 把一张足够大且厚度为 0 1 毫米的纸连续对折 要使对折后的整叠纸总厚度超过 12 毫米 至少要对折 A 6 次 B 7 次 C 8 次 D 9 次 7 蚂蚁甲 乙同时从点 A 出发 甲沿着 A D C 的路线到达点 C 乙沿着 A B C 的路线到达点 C 若它们的速度相同 则先到达 点 C 的是 A 甲 B 乙 C 同时到达 D 不能确定 8 已知 则02 qp 31 A 4 B 6 C 3 D 4 或 6 A C DB 9 若 表示一个四位数 且 如 1331 2552 则 称为四位对称数 abcddcab abcd 将这样的四位对称数由小到大排列起来 第 12 个四位对称数是 A 2442 B 2112 C 2332 D 2222 10 若 A B C D E 五名运动员进行乒乓球单循环赛 即每两人赛一场 比赛进行一段 时间后 进行过的场次数与队员的对照统计表如下 选手 A B C D E 已赛过的场次数 4 3 2 1 2 那么与 E 进行过比赛的运动员是 A A 和 B B B 和 C C A 和 C D A 和 D 二 填空题 每小题 5 分 共 45 分 答案填在反面答题卷的相应位置上 1 请将 2 2 11 11 这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为 24 的算式 每个数 有且只能用一次 2 若质数 满足 则 mn1297 nm 3 长度相等而粗细不同的两支蜡烛 其中一支可燃 3 小时 另一支可燃 4 小时 将这两支蜡 烛同时点燃 当余下的长度中 一支是另一支的 3 倍时 蜡烛点燃了 小时 4 小敏中午放学回家自己煮面条吃 有下面几道工序 洗锅盛水 2 分钟 洗菜 3 分钟 准备面条及佐料 2 分钟 用锅把水烧开 7 分钟 用烧开的水煮面条和菜要 3 分钟 以 上各道工序 除 外 一次只能进行一道工序 小敏要将面条煮好 最少用 分钟 5 已知 如图 长方形 ABCD 被两条线段分割成四个小长方形 如果其中图形 的面积依次为 8 6 5 则阴影部分的面积为 6 某同学读一本书 第一天读 35 页 以后每天都比前一天多 5 页 结果最后一天剩下 35 页 第二次读时 他第一天读 45 页 以后每天比前一天多 5 页 结果最后一天剩下 40 页 那么 这本书总共有 页 7 如下图所示 用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面 第四个图形中需要黑色瓷 砖 块 第 n 个图形中需要黑色瓷砖 块 用含 n 的代数式表示 8 为了庆祝 2008 年北京申奥成功 数学老师出了一道题 2008 被 个自然数去除 得到m 的余数都是 10 请推算 的最大值为 m 9 定义一种对正整数 n 的 F 运算 当 n 为奇数时 结果为 3n 5 当 n 为偶数时 结果为 其中 k 是使 为奇数的正整数 并且运算重复进行 例如 取 n 26 则 k2k2 若 n 449 则第 449 次 F 运算 的结果是 10 If two rational numbers x y satisfy and then x 3xy 20 xy 英汉词典 rational number 有理数 七年级 上 数学竞赛试题 无答案 姓名 班级 得分 一 选择题 共 40 分 1 是 20 A 最大的负数 B 最小的非负数 C 最小的正整数 D 绝对值最小的整数 2 x 是任意有理数 则 2 x x 的值 A 大于零 B 不大于零 C 小于零 D 不小于零 3 已知 a b 都是有理数 且 a a b b 则 ab 是 A 负数 B 正数 C 负数或零 D 非负数 4 a 为有理数 下列说法中正确的是 A 的值是正数 B 的值是负数 1 1 a C 1 的值是正数 D 1 的值小于 1 5 如果有 2005 名学生排成一列 按 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 的规律报 数 那么第 2005 名学生所报的数是 A 1 B 2 C 3 D 4 6 在邮局投寄平信 质量不超过 20 克 需贴 0 8 元钱的邮票 超过 20 克但不超过 40 克 需贴 1 6 元钱的邮票 超过 40 克但不超过 60 克 需贴 2 4 元钱的邮票 某顾客的平信重 91 2 克 他需贴邮票 A 3 2 元 B 3 5 元 C 3 8 元 D 4 元 7 一个有理数的相反数与自身的绝对值的和 A 可能是负数 B 必为正数 C 必为非负数 D 必为 0 26 13 44 11 第一次 F 第二次 F 第三次 F 8 设 y a b c 5 其中 a b c 为常数 已知当 x 7 时 y 77x3 则 x 7 时 y 的值等于 A 17 B 7 C 14 D 21 9 若 2a 4 x b 3 y 0 且 xy 0 则 2a 3 b 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 10 把 14 个棱长为 1 的正方体 在地面上堆叠成如下图所示的立体 然后将露出的表面部分 涂成红色 那么红色部分的面积为 A 36 B34 C 33 D 37 二 填空题 共 30 分 11 若 互为相反数 则 25mn 与 nm 12 观察下面一列数 按某种规律在横线上填上适当的数 143967136 13 下边横排有 15 个方格 每个方格中都有一个数字 若任何相邻三个数字之和都是 16 则 w 代表的数字是 6 w 14 写出一个满足下列条件的一元一次方程 某个未知数的系数是 2 方程的解为 则3 这样的方程可写为 15 用一个平底锅烙饼 每次只能放两张饼 烙热一张饼需要 2 分钟 正 反面各需一分钟 问烙热 3 张饼至少要 分钟 三 解答题 共 30 分 16 本题 8 分 一次停电 小明同时点燃两支同样长度的蜡烛 已知一支蜡烛可点 6 小时 另一支可点 4 小时 恢复供电时两支蜡烛同时吹灭 小明发现其中一支蜡烛的长度只有另一 支蜡烛的长度的 1 4 问停电持续了多少小时 17 本题 10 分 某学校教学楼有两道正门和两道侧门 在正常情况下 两道正门单位时间 内通过的人数相同 两道侧门单位时间内通过的人数相同 打开一道正门和两道侧门 2 分钟 可通过 560 名学生 打开一道正门和一道侧门 4 分钟可通过 800 名学生 教学楼内有 32 间 教室 若每个教室按 50 人计算 2 道正门和一道侧门打开 多长时间能全部通过 18 本题 12 分 某商场国庆节搞促销活动 购物不超过 200 元不给优惠 超过 200 元但不 超过 500 元的优惠 10 超过 500 元 其中 500 元按 9 折优惠 超过的部分按 8 折优惠 某人两次购物分别用了 150 元 405 元 1 此人两次购物其物品实际值多少元 2 在这次活动中他节省了多少钱 3 若此人将这两次的钱合起来 一次购物是更节省还是亏损 说明你的理由 练习 1 1 2 2 32 7 3 3 7 13 37 2 3 32 11 13 2 0 3 6 9 3 0 4 2 7 5 3 6 10010 9990 7 9996 9992 8 6 B 8 F G 9 B D 11 G H 9 16 27 10 没有一个 1 2 3 4 5 15 是 3 的倍数 与数字的位置无关 11 仿例 2 a 5 12 10269 由最小五位数 10234 调换末两位数 13 11111111100 练习 2 1 1 2 3 4 6 12 1 2 3 6 9 18 2 2 2 3 52 18 3 2 5 2 2 53 4 693 5 3 5 11 165 1155 990 6 A 3 即求 14 2 与 23 2 的公约数 7 30 60 90 8 135 105 15 正约数有 1 3 5 15 9 119 2 3 4 5 6 60 60 2 1 119 练习 3 1 25 个 2 2 9 3 2 43 4 1 19 1 73 或 1 73 5 6 1900 2 5 199 有 6 组 7 2 8 9 令 N 2 3 5 7 210 所求合数为 N 2 N 3 10 分母只含 2 和 5 的质因数 11 11 11 12 37 13 3 练习 4 2 只一个 3 4 4 无数多个 0 5 x 0 0 或 3 X 0 且 y 5 注意或与且的区别 6 都不正确 0 没有倒数 7 x 1 或 x 0 2 x 1 或 x 0 练习 5 1 6 4 9 2 7 4 4 0 0 7 0 要注意 3 7 为底的正奇数次幂的和为 0 正偶数 次幂的差为 0 2 7 3 算出个位数的差为零 4 由 32 1 写出通解 m 2 4k k 为非负整数 5 可用列表观察其规律 n 1 2 3 4 2n 7n 2 2n 7 n 2 6 5 1 3 或 7 9 2 4 6 8 3 7 7 5 0 5 8 B 练习 6 1 2 2 0 0 2 5 2 2 1 3 2 4 1 7 4 x 5 n 4 7 4 1 8 5 20 10 6 2 2 8 7 399 9 9 1 10 2 练习 7 1 x 2 a 0 n 是整数 2 2n 1 n 是整数 2n n 是正整数 100a 10b c a 是 1 到 9 b c 是 0 到 9 的整数 a n n 是正整数 a a 0 3 11 2n 1 4 103 1 10 n 1 5 121 12321 123 n 321 6 4 3 2 1 10 1 2 3 n 1 练习 8 1 3 2 5 3 3 4 5 只 23 只 5 12 6 正整数的个位数字只有 0 1 2 9 共 10 个 7 设 1 表示红色 2 代表蓝色 每列 3 格用 2 种涂色 最多只有如下 8 种涂法 第 9 列 必与前 8 种中的一种相同 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 8 把正整数按奇数 偶数分为两个集合 3 个正整数放入两个集合 必有一个集合中 有 2 个 是同奇数或同偶数 9 如果我们给 13 人分配都不相同的粒数 1 2 13 91 而实际糖果只有 90 粒 必有 1 人要少分 1 粒 因而他一定与其余 12 人中的 1 个相同 10 用 A B C D E F 表示 6 个人 A 与其他 5 个人的关系 相识或不相识两种 必有一种不少于 3 人 不妨设 A 与 B C D3 人都相识 这时 只 B C D3 人中有 2 人相识 则本题的结论就成立 若 B C D3 人都互不相识 那么结论也成立 所 以 2006 竞赛 1 一 填空题 1 42 2 10 或 46 3 4 1003002 cba abb 5 28 6 0 7 280 8 9 3 205 二 解答题 10 解 2 3 0 3 0 2 3 2 3 2 yxyx 则 得 yx 46yx 76146 11 解 一位数有 9 个 两位数有 90 个 共有 189 个数字 2003 189 1814 2604318 即应为第 605 个三位数 704 的第二个数字 0 12 解 2 1 1 axxa 2 因为方程有整数解 所以 121122 aaax 当 时 方程有整数解 即 320 or 13 解 2cbacbabcac 因为 3194b 所以 10394 3194 cccc 即 85 a 822 58172 35819462 32 其中只有 满足要求 故1abc 14 略 2006 竞赛 2 一 选择题 每小题 6 分 共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 C C A C B B C D B A 二 填空题 每小题 6 分 共 60 分 1 2 2 11 11 2 2519 3 8 3 4 12 5 10 3 6 385 7 19 2n 3 8 11 9 8 10 0 或 3 三 解答题 每小题 15 分 共 30 分 1 老师带着两名学生到离学校 33 千米远的博物馆参观 老师乘一辆摩托车 速度为 25 千米 小时 这辆摩托车后座可带乘一名学生 带人后速度为 20 千米 小时 学生步行的速度为 5 千米 小时 请你设计一种方案 使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3 个小 时 解一 方案 开始老师先用摩托车带一名学生 A 出发 另一名学生 B 步行 经过 t 小时后 老师放下学生 A 剩余路程让学生 A 步行去博物馆 老师折返 碰到开始就步行的 B 同学后 用摩托车带他往博物馆 三人正好同时到达博物馆 下面求出变量 t 同学 A 花的时间 t 33 20t 5 同学 B 花的时间 t 20t 5t 25 5 33 5 t 20t 5t 25 5 20 两者相等 得 t 33 20t 5 t 20t 5t 25 5 33 5 t 20t 5t 25 5 20 化简得 6 6 4t 0 5t 1 65 0 375t 4 125t 4 95 t 1 2 小时 同学 A B 整个路程所花的时间 1 2 9 5 3 小时 也就是说三人出发后 3 小时同时到达博物 馆 方案满足要求 解二 方案 开始老师先用摩托车带一名学生 A 出发 另一名学生 B 步行 经过 t 小时后 老师放下学生 A 剩余路程让学生 A 步行去博物馆 老师折返 碰到开始就步行的 B 同学后 用摩托车带他往博物馆 三人正好同时到达博物馆 下面求出变量 t 由于同学 A B 经过的路程和时间相同 两人的平均速度一样 因此他们步行的时间也相同 有 33 20t 5 t 20t 5t 25 5 即 6 6 4t 1 5t 5 5t 6 6 t 1 2 小时 同学 A B 整个路程所花的时间 1 2 33 24 5 3 小时 也就是说三人出发后 3 小时同时 到达博物馆 方案满足要求 2 邮政部门规定 信函重 100 克以内 包括 100 克 每 20 克贴邮票 0 8 元 不足 20 克重以 20 克计算 超过 100 克 先贴邮票 4 元 超过 100 克部分每 100 克加贴邮票 2 元 不足 100 克 重以 100 克计算 1 若要寄一封重 35 克的信函 则需贴邮票多少元 2 若寄一封信函贴了 6 元邮票 问此信函可能有多少重 3 七 1 班有九位同学参加环保知识竞赛 若每份答卷重 12 克 每个信封重 4 克 请你设计 方案 将这 9 份答卷分装在两个信封中寄出 使所贴邮票的总金额最少 解 1 35 克 20 15 克 贴邮票 0 8 2 1 6 元 2 在大于 100 克且小于等于 200 克范围内的克数均可 3 份数 重量 克 总金额 元 1 8 12 4 16 96 4 100 0 8 4 4 8 2 7 24 4 28 84 4 88 1 6 4 5 6 3 6 36 4 40 72 4 76 1 6 3 2 4 8 4 5 48 4 52 60 4 64 2 4 3 2 5 6 故 9