面对高考普通高中选课与学习指南数学.doc

普通高中选课与学习指南数学 王尚志、张饴慈、马芳华编著北京大学出版社目 录序3一、高中数学课程的总体介绍41课程结构42内容结构53 内容主线84 课程顺序95 课程变化9二、如何选择课程141、课程功能152、课程选择建议163、课程调整16三、数学课程的选择性171. 选择性与系统性172. 选择性“选择选修课”18四、高中课程的整体把握19五、数学课程内容定位必修与选修系列1、227六、高中数学课程内容定位选修系列3、434选修3-2信息安全与密码34选修3-3球面几何36选修3-4对称与群36选修3-5欧拉公式与闭曲面分类37选修3-6三等分角与数域扩充38选修4-2矩阵与变换39选修4-4坐标系与参数方程40选修4-7试验设计与优选法41选修4-8统筹法与图论初步43选修4-10开关电路与布尔代数45选修4-5不等式选讲46选修4-6初等数论初步47选修3-1数学史选讲48选修4-1几何证明选讲49选修4-3数列与差分50选修4-9风险与决策50七、数学建模与数学探究51八、如何学好数学？54九、评价57主要参考文献60序 为了配合高中新课程的推进，北京大学出版社推出一套丛书，拟帮助同学们理解高中新课程，理解如何进行选课，理解课程的定位，包括必修课程、选修1、2、选修3、4内容的定位。我们有幸参加了高中课程标准的研制，参加了北师大版高中数学课程教材的编写，也参与一些推进高中课程的实验工作，参与了国家级高中数学骨干教师培训，参加了高中课程实验调研。对高中新课程有一定的了解，我们把一些感受和体会介绍给同学们，希望有助于同学们理解新课程，有助于同学们对选择性的思考，有助于同学们提高学习效果。同学们在使用这本书时，最好能取得教师的指导，一定会有更好的效率。全书共分为十个专题。其中前四个专题是对高中数学课程的总体介绍，包括如何选择高中课程、高中课程的变化和高中课程的选择性；第五、六、七、八专题是本书的重点，从几个不同的视角来介绍高中数学课程的整体性、高中数学课程必修和选修内容的定位和数学建模与数学探究等等；第九专题，我们就数学的学习，提了的一些建议，希望能使学生受益；最后一个专题，我们抛砖引玉的谈了一下大家都非常关注的评价问题，希望引起深入地思考。本书的基本想法之一是强调整体的把握高中数学课程。这应该是我们打好基础的重要组成部分。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间又有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识融会贯通。我们应该不断加深对这个网的认识，从不同的角度认识高中数学课程，从局部到整体，从整体到局部，整体的把握高中数学课程。最近，我们比较忙，北京大学出版社再三邀请。盛情难却。我们都是北京大学的毕业生，希望能为培养我们的母校做一点有益的事，尽力而为。但是，我们不是数学教育的科班出身，又由于水平有限，在书中一定有很多不妥和错误，恳请教师和同学们批评指正，书中的内容仅供参考。 王尚志 张饴慈 2005年8月 22日.一、 高中数学课程的总体介绍1课程结构同学们进入高中的学习，应该做一些准备，首先，应该了解一下，整个高中课程的框架和结构，对高中课程有一个比较全面地了解。然后，我们再由粗到细，由简到繁，逐步的向同学们展开对高中课程的介绍。首先，我们应该了解，高中课程由三部分组成。一是必修部分，由五个模块组成，每个模块要学习36个课时，这是每个同学都要学习的内容。第二部分，由选修1、2组成，这部分内容可以选择，简单地说，如果感觉自己适合在人文社科方面发展，可以选择选修1系列课程，两个模块，72个课时；如果感觉自己适合在理工等方面发展，可以选择选修2系列课程。三个模块，108个课时。第三部分，根据学生兴趣的需求，设计了选修3和选修4系列课程，其功能在第六章具体介绍。为了有个直观的了解，可以参考以下框图，一目了然。从数学课程内容来说，理解选择性是非常重要的，理解了选择性才能搞清楚课程结构。 2内容结构为了使同学们对课程有一个大致的了解，这里对内容先作粗略介绍，由简到繁，由粗到细，一步一步细化。用框图的形式对内容给予简单的描述是一种好方法，同学们可以不断地修改这个框图，如果能把这样的框图印在自己的头脑中就更好了，我们在中学时，遇到了一些好老师，他们要求我们对学过的东西有个整体认识，还要求能“背着”讲出来。把东西放在头脑中，这样一个好的方法就使得思考的机会大大增加了。必修内容体系的框图：必修与选修1（选修2）的体系框图：选修3选修3由六个专题组成：数学史选讲，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，信息安全与密码，三等分角与数域扩充。选修3的内容是以前的高中没有正式开设的，一些学校以选课的形式开设过，对同学们来说，必修、选修1、2没有太大的区别，选修3就内容来说也并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。同样，先做一个概述，随后再不断的深人。数学史选讲是要告诉同学们数学发展的一个基本的脉络，选择一些数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生，这些是非常有趣的。对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，我们学过平面几何，它们有什么相同，有什么不同？有什么用处？相信很多同学希望搞清楚。“对称”是日常生活中常用的词，特别是图形，在生活中有很多“对称得很漂亮”的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？这些对称图形中蕴涵什么数学？“对称”有什么用处？“对称与群”将使同学们对“对称”有个初步了解。很多同学都知道欧拉，他是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一，四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数是2”，并且他给出了很好的证明。这是很有趣的，反映了这些图形曲面的性质，同学们一定会问：是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体的曲面都有这样的性质？等等。“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。在“信息时代”，传送信息时保密的需求越来越大。在“信息安全与密码”中，将告诉同学们一些基本的数学原理，同学们可以通过操作，认识和使用，进一步的了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。“用尺规可以三等分角吗？”这是同学们都想了解的一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中，我们将引导同学们一步一步地解决这个问题，同学们会发现，解决这样问题与做习题不大一样，我们应该学习这样一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。我们希望同学们喜欢这些选题，选几个学一下，会对数学有一些新的感觉。当我们是高中生的时候，中国一些著名数学家，像华罗庚、段学复、熊庆来等，就开设了许多类似的讲座，对当时年轻人的成长起了很大作用。选修4选修4包括十个专题，可以分为三类，一类是与中学数学内容密切联系的，例如，几何证明选讲，不等式选讲，坐标系与参数方程。一类是中小学数学课程内容拓展的，例如，矩阵与变换，数列与差分，初等数论初步。另一类是数学应用方面的选题，例如，风险决策，优选法与实验设计，统筹法与图论初步，开关电路与布尔代数。这样的分类并不严格，仅仅是提供思考的背景。选修4与选修3一样，就内容来说并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想，这些思想在今后学习和工作中会对我们有很大帮助。在随后的内容中，我们再进一步地介绍这些选题的内容定位，不断的深人。3 内容主线整体地把握高中数学课程，这是我们在这本书中给各位同学最基本的建议。在学习高中数学时，我们希望同学们思考一些问题，其中之一是：是否有贯穿高中数学课程的“主线”？或说基本脉络。这些“主线”是什么？根据我们在研制高中数学课程标准过程中的思考，我们感到“主线”还是有的。在这里，我们提供一些建议，供同学们参考。在高中数学课程中，函数思想，运算思想，几何思想（把握图形的能力），算法思想，统计和随机思想，等等，这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西，构成高中数学的基本脉络。另一方面，这些思想之间联系密切。它们像一张无形的网，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，抓住了这张网，就可以更好地掌握数学课程，了解实质，提高学习的效率，当然，也会提高解题能力，考试能力，学习高中课程应该这样，以后，在大学学习、在工作中学习，也应该这样。著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄”。读厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。现在，我们的中学教师非常重视细节，这是好的传统，希望同学们保持，整体是另一方面，也必须重视，在一定程度上，更为重要。在“高中课程整体把握”这部分内容中，我们将一起来分析为什么它们是“主线”。4 课程顺序学习数学课程的内容，总是有前有后。什么在前，什么在后，我们必须清楚。首先，必修课程在选修1、2之前开设，选修3、4和必修课程是可以同时开设的。在必修中，必修1又是所有必修课程的基础，先开设必修1，才能开设其他必修课，不同学校可以根据自己的实际情况确定必修2、必修3、必修4、必修5的开设顺序。选修3、4的开设会因校而异，我们希望学校能有计划、有组织地多开设一些选修课，同学们可以根据自己的兴趣，学校的实际，加以选择，选择能力对一个人来说是非常重要的，希望同学们有意识地锻炼自己的选择能力，在下一部分，我们专门讨论如何选择课程。5 课程变化 高中课程改革，使高中数学课程有一些变化，有内容上的变化，这对同学们来说是平等的，还有一些指导思想方面的变化，或理念上的变化，了解这些变化，形成科学的学习习惯，有效率的学习方法，对同学们是有益的，“人无远虑，必有近忧”。希望同学们看得远一些。(1) 数学课程目标的变化1） 三维目标 在这一轮课程改革中，根据教育部课程改革纲要，在课程改革目标中，提出了三维课程目标的精神。把课程目标分为三个维度，知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。三维目标有各自的独立内涵，但是它们之间又存在着密切的联系。 同学们，有这样一个问题是值得我们一起来思考的，小学、初中学习了很多数学，仔细地回忆，哪些东西是留在我们头脑里的呢？熟练地进行数与代数式的四则运算，了解了许多几何定理，例如，勾股定理，等等。就是说你们已经掌握了一些数学的知识和技能。除此而外，还有另外一个重要方面，形成了一些学习数学的习惯，学会了数学思考问题的方法，等等，还可以用这些“东西”思考和解决一些实际问题，例如，与别人讨论问题时，希望大家有同样的出发点，不然，讨论一通，不可能达成共识，这就是数学教给我们的思维习惯。这一方面是属于“过程性”、“方法性”的东西，它们与知识技能的重要性是一样的。我们认为把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。在以前的教学大纲中，在不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改革把“过程与方法”作为目标，这样，“过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识这种变化不仅力度大，而且有非常重要的意义。实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且特别关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法，等等。以数学学科为例，我们都知道在知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法，学习的目的，不仅在于掌握知识技能和结果，更重要的是经历形成这些知识技能的过程，体会其中所蕴含的思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。 “过程与方法”是课程的目标，如何实现这个目标呢?这个问题就成为我们要认真探索的问题。我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经验，还需要探索一些新的课题，例如，如何理解过程性目标的问题，如何实现过程性目标的问题，如何评价过程性目标的问题，如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题，如何把过程性目标与情感、态度、价值观的目标有机结合的问题。这些问题是极具挑战性的，是值得广大教师和同学们一起来探索和解决的。 2）三维目标与数学课程目标 在过去，只有老师才关心课程目标，这次课改，有一点变化，希望同学们也来了解和关心课程目标，了解数学课程的目标。这是合乎逻辑的，高中生是大人了，理应关注自己的未来发展，关注自己应该学到什么，关注自己应该获得哪些本领。在标准中，如何把三维目标与数学课程目标有机结合？这是在标准的研制过程中讨论的最基本的问题。标准设置了六个具体的目标: 1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。 2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。 5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。 从上面的具体目标可以看出，标准的研制者没有机械的把数学课程目标分为：知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。而是采取了整体融合的方式来表述课程目标。(2) 数学课程目标变化的意义1)打好基础在学习数学中，打好基础是非常重要的，中国的数学教育一直很重视这一点，这是一个好的传统。近年来，由于“应试教育”的影响，在强调打好基础时，有一种异化的倾向，以考试为目标的“题型教学”，不加分析追求难题、偏题，等等。都是这种异化的体现。实际上，这些做法都冲击我们的好传统，冲击了“基础”，偏离了数学教育的目标。在这里，我们不想全面论述基础，仅就整体的把握高中数学课程谈一些我们的看法。高中的数学课程是一个整体，打好基础，首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西，即主线。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，我们将在后面展开对它们的分析。它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识点融会贯通。我们学习数学是线性序，但数学本身不是线性的。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部与所学的知识进行呼应。2) 强调五个基本能力 高中阶段学习数学，应该获得那些本领？这是同学们十分关心的问题。从1963年全日制中学数学教学大纲（草案）中明确提出三个基本能力：计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。这三大能力是中国最著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。明确这些说法，这对中小学数学教育起了很大的推动作用。 标准中提出了五个基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。为什么增加的两大基本能力：抽象概括能力和数据处理能力呢？抽象概括能力 我们知道，数学有三个基本特征，抽象性，严密性，应用的广泛性。数学是严密的，对每一个正确的数学结果，它都是从一些定义、公理、定理出发，经过严密的逻辑推理得到的。例如，一元二次方程的求根公式，就是通过“配方思想”，反复使用代数运算的基本规律：结合律、交换律、分配律，最后得到的一个公式。我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。在数学的严密性中，逻辑推理能力，特别是演绎推理能力发挥着重要的作用。 演绎推理强调从一般到特殊、从抽象到具体。这是数学一种重要的思维方式。这种思维渗透到每一门数学课程中，也渗透到数学学习的每一个环节中。在高中数学课程中，无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容，还是其他内容，都是培养这种思维方式的载体。 但是，从另一个角度，数学不是无源之水、无根之木，无论是数学的抽象性，还是数学应用的广泛性，都反映它具有丰富的背景，每一个数学概念，数学公式，数学的结果，都与其他的数学知识，其它学科的知识，社会生活、日常生活的经验有着密切的联系，它们有“来龙”，也有“去脉”。我们不仅仅需要同学们掌握数学知识和技能本身，还应该帮助同学们了解知识、技能、结论形成的过程，产生的过程，能够从特殊到一般，从具体到抽象，能够从一些现象中，通过类比、归纳、猜想，通过合情推理，总结数学规律，发现数学规律。这也是数学的一种重要的思维方式，非常重要的创造性思维方式。许多数学家反复建议，我们不仅要重视培养同学们的演绎推理能力，同样，也要重视培养同学们的抽象概括能力。这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个环节中。 例如，我们应该关注，从映射概念认识函数概念，从函数概念认识具体的函数，例如，简单的幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，等差数列，等比数列等等。更重要的，我们应不断地通过具体的函数体会函数的意义和作用，同学们在谈到函数时，头脑中不仅有抽象的定义，而有一批具体的实例，以及伴随着这些实例的图形，只有这样才能真正使数学“活起来”。数据处理能力 从儿童时代，同学们获取数学知识的主要途径有如下几个：一个是“数和数的运算”。一个是各种“量”，例如，重量，高度，长度，等等。“数”和“量”有着密切的联系和规律，这些规律反映在能够“算”。一个是“图形”，图形的形状，图形的形质，图形的分类，图形的位置，图形的变化，等等。另一个是“一堆数”，通常称为数据。例如，对于一个单位的人来说，他们的身高，体重，其它健康状况的指标等等；他们的收入，消费，存款等等。这些数据中有我们需要的信息，如何得到这些信息，如何使用这些信息，等等。随着社会发展，人们对于数据、信息的关注越来越大，处理数据，已经成为百姓生活不可回避的问题。生活中的很多数据都是“杂乱”的，但并非“无章”，如何发现其中的规律，如何利用这些规律提高生活质量。数据处理能力成为现代人的基本能力。在高中学习中，有必要掌握基本数据处理能力：收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，利用信息说明问题等等。强调数据处理能力，是一个变化，希望同学们给予特别的注意。有人说统计不难，数据处理不难，这是有道理的，不难不意味着应该不重要，对一般人来说，最有用的东西都是不难的。 3) 主动学习和创新能力在标准提出：“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。” “提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。”“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。” 主动学习接受、记忆、模仿和练习是同学们重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥同学们学习的主动性，使同学们的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。”教师的作用是不可替代的，传授知识，指导学习，组织各种学习活动，等等。但是，所有这些不意味着教师可以替代学生进行学习，现在存在着一种倾向：教师替学生做的事情太多了。由于，很多领导急功近利，考试成为实现政绩的方式，提高考试成绩、检查考试成绩成为唯一的管理手段，各种考试，高考，年考，学期考，月考，甚至每星期考。教师希望学生尽快地适应考试，在教学中，“题型教学”、高容量、高强度的课堂教学成为比较普遍的现象。这样做法不符合学生的认知规律，事倍功半。要改变，应从领导做起，改变急功近利的教育评价观，营造好的教育氛围。当然，考试制度、考试内容等也需要尽快改革。教师应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习数学的方式。高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，这些都是为同学们形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发同学们的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。如何开展这些活动，我们将在后面给予专题说明。创新能力-高中数学课程应力求“通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让同学们体验数学发现和创造的历程”，发展同学们的创新意识。在高中阶段，创新的最好体现应反映在：培养学生的问题意识。鼓励学生提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；课程应具有一定的开放性，给学生思考的空间；为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围，等等。“没有问题的学生，恐怕不能算好学生。”这是我们的老师丁石孙说过的一段话。非常有道理。现在很多学生，包括一些非常优秀的学生，只有不会做的习题，提不出问题，提不出好的、有价值的问题。希望教师和学生对此给予关注。我们感到，这是中国优秀学生与一些国外优秀学生最大的差距。没有提问题的习惯，提不出问题，就很难产生原创性的思想，这对于中国科学技术和社会的发展是十分不利的。4）关于情感、态度、价值观与数学课程的结合在数学的学习、教学中，情感、态度、价值观不是空洞的东西，与数学课程密切相关。标准设定的目标指出：“提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。” “具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”这里强调两点。“兴趣”有人说学习的动力来自以下方面，一是觉悟，一是功利，一是兴趣。文化革命前，主要靠觉悟，现在的学生不太了解那个时代，为革命学习，为国家学习，为人民学习，这些是那个时代的口号。这些口号激励了一大批人，努力地学习，刻苦地学习，发奋地学习。现在不提这些了，这不好，为自己的祖国做些贡献，还是需要提倡的。觉悟还有另一面，是对数学价值的认识，人都在追求好的东西，有价值的东西，形成一种责任感，也许对个人没有太大的利益，他们还会为之奋斗。标准强调“认识数学的应用价值、科学价值和文化价值”的目的，主要在于此。现在社会非常商业化，“功利”成为衡量事物的基本标准，这也没有什么不对。但是，目前特别是在教育中，有些过分，在很多情况下，“功利”成为了唯一的追求，把教育的目标量化，这是很危险的，更可怕的是很多领导对此津津乐道。在学生学习中，也把“功利”作为唯一的动力，短见，急功近利，严重地影响了学生的发展，特别是影响一些有潜力、有特长、有天才学生的发展。“兴趣”的培养被忽视了。最突出例子是数学竞赛，无论是国外，还是中国，数学竞赛的基本目的是培养学生学习数学的兴趣，现在，在很多地方数学竞赛已经变味了，变成追逐“功利”的舞台，背离了开展数学竞赛的初衷。现在，小学数学竞赛越演越烈，甚至幼儿园也开设了“奥数”课程，这无疑是拔苗助长，危害极大。我们希望有识之士，特别是各级领导都来改变这种状况，按照儿童的成长规律，给儿童一个健康成长的环境。对于学生而言，能够引起他们兴趣的东西很多，数学是其中之一，数学是很有意思的，她有极大的魅力，引人入胜，作为数学和数学教育工作者，我们应该尽力吸引更多的学生喜欢数学，使他们从数学中得到对将来发展有用的东西，并能把这些东西用到他们的工作中。当然，对一些对数学有兴趣的有才华的学生，我们希望他们投身到数学和数学应用的事业中，展示他们的才华，为数学发展作贡献。培养学生对数学的兴趣，是数学教育面临的一个巨大的挑战，在很多国家，不喜欢数学，甚至讨厌数学的比例在增加，这应该引起数学和数学教育工作者的高度重视。我们希望同学们也能有意识地培养学习数学的兴趣。“视野”1992年联合国教科文组织在巴西里约热内卢宣布“2000年是世界数学年”，其目的是让世界，特别是普通大众了解数学，了解数学与社会的联系。她的宣言指出：纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的主要钥匙。数学是一个十分丰富的宝库。伴随着人类文明发展，她有着悠久的历史，她有极其丰富的内容和思想，她有极其广泛的应用，“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无所不在。”（著名数学家华罗庚）标准要求学生形成“具有一定的数学视野”。“知识”是重要的，“见识”更为重要。选修3、4课程目的之一，就是为学生奠定基础、开阔视野，这只是开始，数学和数学教育工作者应该不断开发更多新的选修课程。前面，我们用了很大篇幅从不同的角度理解什么是数学，也是希望教师和学生对数学有一个比较全面的认识。二、 如何选择课程进入高中，每一个同学都面临一个大问题：如何选择课程。我们分三个步骤来分析如何选择课程。首先，了解一下课程的基本功能；其次，根据课程标准，提供几种选择的建议；最后，改变选择时，应该如何调整。在选择课程时，应该充分听取老师、家长、朋友的意见，但是，同学还是要锻炼自己拿主意，同学们能有一学期到一年的时间进行思考，主意定了，试一段时间，还可以调整，这是一种很重要的本领。1、课程功能必修课程的5个模块，包括基本初等函数、立体几何初步、平面解析几何初步、算法、统计、概率、平面上的向量、解三角形、数列、不等式等内容，这些内容是每一个高中学生都要学习的。这些内容对于所有的高中学生来说，无论是毕业后直接进入社会，还是进一步学习有关的职业技术，或是继续升大学深造，都是必要的基础。选修系列1是为准备在人文、社科方面发展的学生设置的，选修系列2是为准备在理工、经济方面发展的学生设置的。选修系列3和系列4则是为部分学生设置的，希望提高数学素养，希望拓宽数学视野，特别是对数学有兴趣的学生，都可以在选修3、4中满足自己的需求。这些内容仍然是为学生的进一步发展奠定基础，这样安排的目的是方便学生，按照学生自己的意愿，来规划个人的进一步发展，同时也为不同发展方向的学生提供不同的基础。必修课程必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。学生完成10个学分的必修课程之后，在数学上已经达到高中毕业要求。当然，按照课程整体要求，还需要选修一些选修3、4的课程，完成整个学习计划。对于希望在文艺、体育、和一些职业高校发展的同学，这些专业的大学数学入学考试将依据必修课程设计试卷。应该抓住最基本的东西，不会考得太难。选修1、2选修1、2内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。选修系列1是为那些希望在人文、社会科学发展的学生而设置的，系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1，系列2内容也是基础性内容。对于人文、社会科学的相关专业，高校入学考试将依据必修课程和选修1课程的内容设计试卷，这是部分试卷，选修4还会设计相应试卷。对于理工、经济等方面的相关专业，高校入学考试将依据必修课程和选修2课程的内容设计试卷，这是部分试卷，选修4还会设计相应试卷。选修3、4选修系列3、4确定的原则与选修系列1、2是一样的，都是为了满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。选修3、4内容不仅帮助学生获得基础知识，还可以开阔学生的视野，增长见识。我们希望同学们根据自己的兴趣，拓展自己的知识。选修4课程，在高考中，将会设计相应专题的试卷，对学习过这些专题的同学，可以选择相关专题的试题进行解答。2、课程选择建议在这里，根据课程标准的设计，我们提供五种选择建议。我们希望同学们树立正确的观念，首先，客观地了解自己的爱好、兴趣、特长、能力，选择适合自己的未来。其次，不同的人有不同的发展，努力上进，做什么工作都是平等的，快乐、幸福与地位高低、收入多少不成正比。如果同学们选择在艺术、体育、和一些职业高校方面发展，那么就应该努力把必修课程学好，适当地在选修3、4中选择一些有兴趣的专题。可以把自己的大部分精力放在主攻方向上。希望在人文、社会科学等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列1中学习选修1-1和选修1-2，获得4学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分，共获得16学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，并且希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得16学分，同时在系列4中获得4学分，总共获得20学分。人文、社会科学同样需要有好的数学基础，在研制高中数学课程过程中，对我们刺激最大的是人文、社会科学家对数学的看法，他们殷切地希望具有较好数学基础的学生能积极参加人文、社会科学的工作。学科综合化的发展，对综合人才的需求，都是社会发展趋势。我们希望“学文”的同学也学好数学，这对社会、对个人都有好处。希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，在完成10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列2中学习选修2-1，选修2-2和选修2-3，获得6学分；在系列3中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2个专题，获得2学分，共获得20学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得20学分，同时在系列4中选修4个专题，获得4学分，总共获得24学分。3、课程调整 对于高中学生来说，如果希望进入高等学校继续学习，有三种基本的选择方式。第一种是希望进入艺术类和职业高等学校，简称“艺术”；第二种是希望进入理工科、经济等相关方向的学校，简称“理科”；第三种是希望进入人文、社会科学等相关方向的学校，简称“文科”。高中学生需要确定自己发展的方向。如果经过一段时间的学习，希望改变选择方向，例如，从第一种选择转到第二或第三种选择，那么就需要在必修的基础上，继续选择选修1、2的课程学习。 对于选择了在“理科”方面发展的同学，如果他们希望转到“文科”学习，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，调整后，在所学知识要求方面不会有任何困难。 对于选择了在“文科”方面发展的同学，如果希望转到“理工”学习，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，补充学习相应课程即可。一般来说，需要补充学习的内容主要有：空间向量与立体几何、计数原理、概率（离散型随机变量模型）。 对于要求进行课程调整的学生，学校都会给予支持，我们建议同学们从自身的兴趣、特长出发，同时听取教师和家长的意见，为自己一生的发展作出合理的规划。三、数学课程的选择性 选择性是这次课程改革最大的变化之一，我们将以内容作为载体来分析高中课程的变化。在人生的成长过程中，将不可避免地面临着选择，如何积极地面对选择，对个人的发展来说，有时是至关重要的。高中应该是锻炼选择能力的最佳时期。在1990年的教学大纲中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分，设计了文科系列和理科系列的课程。在标准中，加大了选择性的力度，这是这一轮课程改革最大的变化之一。理解新的数学课程标准，一定要认真的体会选择性。这是设计课程标准的一个基本理念。 1. 选择性与系统性 （1）“体系”是数学课程的一个基本要求 同学们在学习高中课程时，应该了解高中课程设计的原则。不同的设计原则，得到的课程体系就不同，以选择性作为前提，我们就会有一种设计。如果没有选择性，会得到另一种设计。我们现在所学的课程，就是以选择性作为前提来设计的。在理解我们整个数学课程时，应该对选择性有一个充分的认识，这是本书介绍的重点。 （2）数学内容不是“线性序”、学习数学是“线性序” 我们从义务教育开始就按照一定的顺序来学习数学。例如，我们在小学学习了自然数，接着学习了自然数的加、减、乘等运算，它们之间有着严格的顺序关系。然而，对于有些数学内容而言，目的不同决定不同的顺序。例如，在我们以后要学习的导数这部分，极限理论和导数及其应用就没有先后的顺序关系，我们可以先学习极限理论，然后，用极限理论去认识一种重要、特殊的极限导数，现在，数学系的课程数学分析就是这样安排的；我们也可以先从重要、特殊的极限导数入手，理解这种特殊极限的意义、作用、应用，把它作为认识极限理论的一个阶梯，现在，高中课程标准就是这样安排的。当然，不同的顺序会有不同的学习过程，数学的内容本身存在内在的联系，但是这不影响我们学习数学的过程。在整个高中课程的学习过程中，要特别注意这个问题。我们熟悉的自然数、整数、有理数、实数，它们的基本特征之一是有“序”，像一条直线一样，把它们联系起来，有大有小，我们称之为有像直线一样的顺序，简称线性序。数学内容就整体来说，不是“线性序”，但是，对部分数学内容而言，它们保持一种“线性序”，有严格的先后顺序关系。 我们在学习数学时，教科书给我们规定了一定的顺序，我们应该很好的理解这种顺序，以及它所反映的知识之间的逻辑关系。但是我们应该特别注意的是，教材呈现知识之间的一种逻辑关系，这些知识之间本身也具有一定的逻辑关系，它们有联系，也有区别。我们再通过一个例子加以说明。例如，刻画直角坐标系中的直线。一点一个方向可以唯一的确定一条直线，如何刻画直线的方向，即直线与x轴的交角。我们可以采取几种方法来刻画：可以用三角函数来刻画，可以用向量来刻画，还可以用导数思想变化率来刻画。按照教材所安排的内容顺序，可以采取不同的方法来刻画直线的斜率。如果在此之前我们学过了三角函数，则可以用正切来刻画斜率；如果在此之前我们学习了向量，则可以用向量来刻画直线的方向；我们也可以利用导数思想变化率，直接刻画直线的方向。但是，三角函数，向量，导数，这三个知识本身没有必然的逻辑关系。通过这个例子，应该引起我们的思考。我们在学习一个知识点时，应该去考虑这个知识点与我们所学过的知识之间的联系。就这个例子来说，对于直线斜率的理解，可以通过三个角度三角函数、向量和导数来考虑。当我们学过向量之后就应该用向量的思想来刻画斜率。只有这样我们才能更好的认识直线的斜率，更好的刻画直线的斜率。同学们在学习高中课程时，都需要经常的站在整个高中数学的角度，不断地反思我们所学过的数学，站在整个数学的角度，来看待我们所学习的每一个知识点。而不是把本身相互联系的知识割裂开来。2. 选择性“选择选修课”学生“选课”建议作为学习者，学习知识是重要的。同样的，开阔视野、增长见识也是不可忽视的，有时，这些是无形的，是在不经意中积淀的，但是，它们的作用确是长久的、很大的。选修课程为学生开阔视野、增长见识提供了一个开阔的空间。有两点，建议同学们认真思考。有意识地发现、培养自己的兴趣。在心理学上，有的专家认为兴趣是先天的，也有专家认为兴趣是后天形成的。这些对我们来说不重要，重要的是知道“自己的兴趣是什么”。兴趣概念是广泛的，有人喜欢思考，有人喜欢动手；有人喜欢“理科”，有人喜欢“工科”，有人喜欢“文史科”，有人喜欢“医科”；有人喜欢理论，有人喜欢应用；有人喜欢“电影”，有人喜欢“戏曲”，等等。不同的人有不同的兴趣。也有一些人不知道自己的兴趣所在，这总是个缺憾。发现、培养自己的兴趣会给自己带来快乐。选修课的设置就是希望从不同的角度激发同学们学习数学的兴趣，希望数学能为同学们的发展提供帮助，这是数学工作者的最高追求。我们将会想方设法努力，让数学课程更有吸引力。也希望同学们努力发现、培养自己对数学的兴趣。兴趣和职业的选择常常不尽如人意，这是很遗憾的，有些人拥有别人羡慕的工作，但是，他们未必对自己的工作感兴趣。有人说：一个人最大的幸福是职业与兴趣的完美结合。同学们最大的优势是年轻，有选择的余地，发现、培养自己的兴趣对你们未来的发展是非常重要的。“兴趣”是成功的最持久的动力，有一次，当丁肇中教授被记者问及获得诺贝尔奖的“秘诀”时，只说了两个字“兴趣”。兴趣不仅促进人的成功，而且，她会给人们的生活带来快乐。有意识地发现、培养自己的特长。特长和兴趣是有联系，又有区别的。在数学学习中，有的学生善于计算，“数感”非常好，善于发现“数、式”中的规律；有的学生图形想象力非常强，善于发现“图形”中的规律；有的学生对数据有明锐的感觉，善于发现“数据”中的有用信息；等等。每个人都有特长，不同的人特长不同，有一些人不知道自己的特长所在，这也是个缺憾。发现、培养自己的特长对同学们未来的发展同样是非常重要的。四、 高中课程的整体把握同学们在学习高中课程时要养成一个很基本的习惯，就是要善于抓住贯穿整个高中课程始终的几条主要脉络，我们把它们称之为主线。什么是主线？有哪些主线？怎样抓住这些主线？我们下面提供一些建议，有助于同学们在以后的学习中更加的主动和积极？ 主线之一函数思想为什么把必修1作为其它必修课程的基础？最主要的原因是突出函数作为主线的作用和意义。20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一，因此，为了更好的理解高中数学课程，需要弄清高中课程中函数思想的发展脉络。1在义务教育阶段，我们已经学习了函数的概念。在日常生活中，有两种量常量和变量。在义务教育阶段，通过大量的事实，帮助同学们了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿 度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又例如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。2在高中阶段，我们的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。我们到任何一个生活情景中，例如邮局、加油站、机场等等。在这些地方，都会发现许多描述规律的函数关系。参看以下实例。例如，人们早就发现了放射性物质的衰减（衰变）现象在考古工作中，常用碳14C的含量来确定有机物的年代已知放射性物质的衰减服从指数规律：C(t)C0ert其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t（年）后尚存的质量，e是一个无理数常数，约等于2.72. 为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，碳14C的半衰期大约是5730年，由此可确定系数r人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的 1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi王朝字样的木炭，当时测定，其碳14C分子的衰减速度为4.09个/每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中碳14C的衰减速度为6.68个/每克每分钟我们可以估算出Hammurbi王朝所在年代 事实上，因为碳14C的半衰期是5730年所以建立方程e5730r解得r0.000121，由此可知碳14C的衰减规律服从指数型函数C(t)C0e0.000121t设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为Hammurbi王朝时期后的t0年因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以于是 两边取常用对数，得 0.000121t0ln4.09ln6.68 得t04054 (年)即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年3在此基础上，我们进一步抽象概括出了函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。4知道了函数的定义之后，我们又如何去研究它的性质呢？我们先来认识一些具体函数的模型，分段函数，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等基本的性质。单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。例如，简单的幂函数y=x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y=x3的图形的基本形状以及它的变化。周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中的研究函数的变化规律。 5对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论，同学们应该在头脑中建立起几个重要的模型。同学们应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系，例如，指数函数的性质：a +=aa.不严格地说，它把定义域中的加法运算变成了函数值的乘积运算。所以当a1时，指数函数增长得很快的原因就在于此。6学习函数一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都建议同学们在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。7函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。同学们应该去思考函数的应用问题。思考函数在日常生活和其他学科的应用，可以在教学中渗透数学建模的思想。例如，心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系例如，股市行情图也是反映了一种函数关系。8在高中数学课程中，我们通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，我们会不断加深对于函数桥梁作用的理解。例如，当环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，实验数据如下：环境温度（）410203038代谢率（4185J/hm2）60444040.554代谢率(4185J/hm2)605040300 10 20 30 40温度图4-5这组数据能说明什么？ 在这个实际问题中出现了两个变量，一个是环境温度，另一个是人体的代谢率不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来，如图4-5根据图象，可以看出下列性质：(1) 代谢率曲线在小于20的范围内是单调下降的，在大于30的范围内是单调上升的；(2) 环境温度在2030时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3) 环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在2030之间，这样可以排除环境温度的影响在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定变量之间的函数关系，它是由4，10，20，30，38到60，44，40，40.5，54的一个映射，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使我们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间4, 38，对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图象，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系函数在温度和人体代谢这两类量之间建立起一座桥梁。9. 函数的思想对于其他部分数学内容的学习，发挥了很大的作用。当我们用函数的观点来看待方程的时候，由函数y=f(x)所决定的方程是y=f(x)=0，求方程的解就变成了思考函数图形与x轴的相交关系，变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质去讨论方程的求解问题呢？在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方程体现了这样一种思想：用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体的说，在a,b上，给定一个连续函数,若f(a)与f(b)的符号不相同，那么函数图像会从（a, f(a)）点出发穿过x轴到达（b, f(b)）点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。4 0 4 x6 y A614 B C图4-1例如，判断方程x2x6=0的根的存在性。 解：考察函数f(x)x2x6，其图像为抛物线，如图4-1。容易看出，f(0) = 60，f (4) = 60，f(4) =140，由于函数f(x)的图像是连续曲线