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个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : : 姓名阳丰泽年级高三性别男教学课题 常见递推数列通项的求解方法教学目标 递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。重点难点利用多种方法求数列和。课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_ 常见递推数列通项的求解方法 类型一：（可以求和）累加法【例1】在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析： 上述个等式相加可得： ， 。评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。1、已知，（），求。 2、已知数列，=2，=+3+2，求。 3、已知数列满足，求数列的通项公式。 4、已知中，求。 5、已知,求数列通项公式. 6、 已知数列满足求通项公式？ 7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式. 8、 已知数列满足，求数列的通项公式。 9、已知数列满足，求。 10、数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值； c=2（II）求的通项公式 11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则 ； 5当时，（用表示） 类型二： （可以求积）累积法【例1】在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：.又也满足上式； .评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。1、 已知，()，求. 2、已知数列满足，求. 3、已知中，且，求数列的通项公式. 4、已知， ，求. 5、已知,求数列通项公式. 6、已知数列满足，求通项公式？ 7、已知数列满足，求数列的通项公式。 8、已知数列an，满足a1=1， (n2)，求an. 9、设an是首项为1的正项数列, 且(n + 1)a- na+an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, )，求an. 10、数列的前n项和为，且，求数列的通项公式. 类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。【例1】 在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是，是以为首项，以3为公比的等比数列。.1、 在数列中， ，求数列的通项公式。 2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式. 3、已知数列a中，a=1，a= a+ 1求通项a 4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式. 5、在数列an中，求. 6、已知数列满足求数列的通项公式. 7、设二次方程x-x+1=0(nN)有两根和，且满足6-2+6=3(1)试用表示a； （2）求证：数列是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式. 8、在数列中，为其前项和，若，并且，试判断是不是等比数列？ 是类型四： 可将其转化为-（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。【例1】 在数列中， ，且求数列的通项公式。解析：令得方程组 解得 .则数列是以为首项，以2为公比的等比数列, ， . .评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。【例2】 已知、,求解析：令，整理得, ；两边同除以得，令，令，得 ，故是以为首项，为公比的等比数列。 ，即， 得 . 1、已知数列中，,，求. 2、 已知 a1=1，a2=，=-,求数列的通项公式. 3、已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。 4、数列：， ，求数列的通项公式. 类型五： （且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。【例1】 设在数列中， ，求数列的通项公式。解析：设 , 展开后比较得这时是以3为首项，以为公比的等比数列, ,即，.【例2】 在数列中， ，求数列的通项公式。解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。 即【例3】 在数列中， ，求数列的通项公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得； ,两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列。， .评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。【例4】 已知数列满足，求数列的通项公式。解析：在中取掉待定令，则， ；再加上得，整理得：，令，则令 ；即；数列是以为首项，为公比的等比数列。，即；整理得1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。 2、已知数列中，点在直线上，其中（1） 令求证：数列是等比数列；（2） 求数列的通项 . 3、已知，求. 4、设数列：，求. 5、已知数列满足，求通项. 6、在数列中，求通项公式. 7、已知数列中，,，求. 8、已知数列a，a=1, nN，a= 2a3 n ,求通项公式a 9、已知数列满足，求数列的通项公式. 10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式. 11、已知数列满足,求. 12、 已知数列满足，求数列的通项公式. 13、已知数列满足，求数列的通项公式. 14、 已知，求. 15、 已知中，求. 16、已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和. 类型六：（）倒数法【例1】 已知，求.解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，； 是以为首项，为公比的等比数列。；即，得.评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式. 2、已知数列满足时，求通项公式. 3、已知数列an满足：，求数列an的通项公式. 4、设数列满足求 5、已知数列满足a1=1，求. 6、在数列中，求数列的通项公式. 7、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型七： 【例1】 已知数列前n项和.求与的关系；（2）求通项公式.解析：时，得；时，；得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列；得.1、数列an的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列an的通项an. 2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式. 3、已知数列an的前n项和为Sn = 3n 2, 求数列an的通项公式. 4、设正整数an的前n项和Sn =，求数列an的通项公式. 5、如果数列an的前n项的和Sn =,求这个数列的通项公式. an = 23n6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？ 类型八：周期型【例1】 若数列满足，若，则的值为_。解析：根据数列的递推关系得它的前几项依次为：；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期,.评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题迎刃而解。1、已知数列满足，则= （ B ）A0BCD2、 在数列中， -4类型九、利用数学归纳法求通项公式【例1】 已知数列满足，求数列的通项公式。解析：根据递推关系和得，所以猜测，下面用数学归纳法证明它；时成立（已证明）假设时，命题成立，即，则时，=。时命题成立；由可知命题对所有的均成立。评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。1. 设数列满足：，且，则的一个通项公式为 ， 2、已知是由非负整数组成的数列，满足，（n=3，4，5）。（1）求； = 2（2）证明（n=3，4，5）；(数学归纳法证明)（3）求的通项公式及前n项的和. ； 3、已知数列中=，. (1)计算，。 (2)猜想通项公式，并且数学归纳法证明. 课后反思：课堂检测听课及知识掌握情况反馈_.测试题(累计不超过20分钟)_道；成绩_；教学需:加快;保持;放慢;增加内容课后巩固作业_题; 巩固复习_ ; 预习布置_签字教学组长签字： 学习管理师:老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议：
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