高二数学第三章空间向量与立体几何(教案).doc

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案课 题：平面向量知识复习教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识 教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。二、基本运算 1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法1是一个向量,满足:20时,与同向;0时,与异向;=0时, =0向量的数量积是一个数1或时, =02且时, 2、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ； 注意,的几何意义3、两个向量平行的充要条件： 的充要条件是： ；（向量表示） 若，则的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： 的充要条件是： ；（向量表示） 若，则的充要条件是： ；（坐标表示） 三、课堂练习1O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)(+2)=0，则DABC是（）A以AB为底边的等腰三角形 B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形 D以BC为斜边的直角三角形2P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心3在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A B C D5O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心6设平面向量=(2，1)，=(，-1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A B C D7若上的投影为 。8向量，且A，B，C三点共线，则k 9在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在AOB的平分线上且|=2,则=10在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。课 题：空间向量及其线性运算教学目标：1运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3理解空间向量共线的充要条件 F1F2F3教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。教学过程：一、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析二、建构数学1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。4共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线5共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使.aBAOlP推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 其中向量叫做直线的方向向量.三、数学运用1、例1 如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）;ABCA1B1C1（2）;（3）解：（1）（2）（3）2、如图，在长方体中，点E,F分别是的中点，设,试用向量表示和OA/CFED/B/ADB解：3、课堂练习 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）； （2）； （3）四、回顾总结 空间向量的定义与运算法则五、布置作业课 题：共面向量定理教学目标：1了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理 教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程：一、创设情景1、关于空间向量线性运算的理解BMNADCABCDMN平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。 从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。二、建构数学1、 共面向量的定义一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；理解：若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或2、共面向量的判定平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有 共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。三、数学运用ABCDEFNM1，例1 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.求证：MN/平面CDE证明：= 又与不共线根据共面向量定理，可知共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN/平面CDE.2、例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？解：由可以得到由A,B,C三点不共线，可知与不共线，所以,共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面。 解题总结：推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。3、课堂练习（1）已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。（2）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，。求证：（1）四点E、F、G、H共面；（2）平面AC/平面EG。（3）课本74页练习14四、回顾总结1、共面向量定理；2、类比方法的运用。五、布置作业课 题：空间向量的基本定理教学目标：1掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。教学重点：空间向量的基本定理及其推论教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程：一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使证明：（存在性）设不共面，过点作过点作直线平行于，交平面于点；在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使所以（唯一性）假设还存在使不妨设即 共面此与已知矛盾 该表达式唯一综上两方面，原命题成立由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使三、数学运用OA/CMED/B/ADB1、例1 如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和解：2、例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解： 3、课堂练习 课本练习76页练习1，2四、回顾总结五、布置作业课 题：空间向量的坐标表示教学目标：1能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一、创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，二、建构数学1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3、空间向量的直角坐标运算律（1）若，则，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。三、数学运用1、例1 已知，求解：2、已知空间四点和，求证：四边形是矩形 解：， 所以， 所以四边形是矩形。3、课堂练习课本78页练习16三、回顾总结空间向量的坐标表示及其运算四、布置作业课 题：空间向量的数量积教学目标：1掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离教学过程一、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。二、建构数学 1、夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作规定：特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。2、数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即（2）夹角：（3）运算律；（4）模长公式：若，则，（5）两点间的距离公式：若，则，或（6）三、数学运用1、例1已知，求：（1）线段的中点坐标和长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件解：（1）设是线段的中点，则的中点坐标是，（2） 点到两点的距离相等，则,化简得：,所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。2、例2 已知三角形的顶点是，试求这个三角形的面积。分析：可用公式来求面积解：，所以，四、回顾总结五、布置作业课 题：直线的方向向量与平面的法向量教学目标：1理解直线的方向向量和平面的法向量；2会用待定系数法求平面的法向量。教学重点：直线的方向向量和平面的法向量教学难点：求平面的法向量教学过程一、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？二、建构数学1、直线的方向向量 我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量2、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。三、数学运用1、例1 在正方体中，求证：是平面的法向量证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，A1xD1B1ADBCC1yz建立如图所示空间坐标系 ，所以同理 所以平面从而是平面的法向量。2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。解：由题意可得 即化简得3、课堂练习已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积（1）证明：，又，平面，是平面的法向量（2）， 四、回顾总结1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量得方法五、布置作业课 题：空间线面关系的判定（1）教学目标：1能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；2能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；3能用向量方法判断空间线面垂直关系。教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系教学过程一、创设情景1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定2、直线的方向向量与平面的法向量的定义二、建构数学1、用向量描述空间线面关系设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论平 行垂 直与与与2、相关说明：上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。三、数学运用1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）ABCDO已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，A为垂足，求证：证明：2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理）已知：，求证：证明：在内任作一条直线，在直线上分别取向量lmlnlgl所以因为所以可得即3、例3 在直三棱柱中，, ,是得中点。ABCA1B1C1Myz求证：证明：如图，建立空间坐标系总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。4、课堂练习：棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，B1D面PAC，a2+az=0z=a，即点P与D1重合点P与D1重合时，DB1面PAC四、回顾总结 本课主要研究垂直问题五、布置作业课 题：空间线面关系的判定（2）教学目标：1能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；2能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。教学重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系教学过程一、复习引入1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论平 行垂 直与与与二、数学运用1、例4 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3cABCDEFxyzMN又平面CDE的一个法向量由得到因为MN不在平面CDE内所以NM/平面CDEA1xD1B1ADBCC1yzEF2、例5在正方体中,E,F分别是BB1,CD中点，求证：D1F平面ADE证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz,因为所以所以平面3、补充 (2004年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.()在棱PC上是否存在一点F, 使BF平面AEC?证明你的结论.该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：根据题设条件，结合图形容易得到：ABCDEPxyzF假设存在点F。又， 则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得 即有所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF平面AEC。本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。三、回顾总结综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直四布置作业 课 题：空间的角的计算（1）教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题教学重点：异线角与线面角的计算教学难点：异线角与线面角的计算教学过程一、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式二、建构数学1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。三、数学运用1、例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG解2：（向量法）设，则且解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系,，152、例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzE1F为D1AC平面的法向量，所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为3、补充例题 在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0,0）、S（0,0,2）、C（2,0）， =（2,-2），=（2,0） （1）=0，SCBC（2）设SC与AB所成的角为，=（0,0），=4，|=4，cos=，即为所求4、课堂练习课本96页练习13四、回顾总结求异线角与线面角的方法五、布置作业 课 题：空间的角的计算（2）教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题教学重点：二面角的计算教学难点：二面角的计算教学过程一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义二、建构数学利用向量求二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角-l-的大小为，A，Bl，AC，BD, ACl，BDl 则= 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如图：已知二面角-l-，在内取一点P， 过P作PO，及PAl,连AO，则AOl成立，PAO就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO PABl求出PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如图（1）P为二面角-l-内一点，作PA， PB，则APB与二面角的平面角互补。 三、数学运用A1xD1B1ADBCC1yzE1、例3 在正方体中,求二面角的大小。解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（法一）,（法二）求出平面与平面的法向量2、例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzEF（1）A1D与EF所成角是（2）,（3）,，二面角的正弦值为四、回顾总结1、二面角的向量解法2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断五、布置作业课 题：空间的距离教学目标：能用向量方法进行有关距离的计算教学重点：向量方法求点到面的距离教学难点：向量方法求点到面的距离教学过程一、创设情景1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：距离是指相应线段的长度；此线段是所有相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。3、求空间中的距离有直接法，即直接求出垂线段的长度；转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式设空间两点，则2、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。4、向量法在求点到平面的距离中（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面AX+BY+CZ+D=0的距离d为：d=三、数学运用1、例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ABC中，C=90，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,） =（1,1,）， =（1,0,） =（1,1,0）设平面A1BC的一个法向量为，则即所以，点B1到平面A1BC的距离解2 建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0(a,b,c,d不全为零)，把点A1，B，C三点坐标分别代入平面方程得平面A1BC的方程为x+z=0 又 B1（0,1,）设点B1到平面A1BC的距离为d，则d= = 2、例2（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又点E到平面ACD的距离3、例3（2005福建卷理第20题）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（）求证：AE平面BCE；（）求二面角B-AC-E的大小；（）求点D到平面ACE的距离。解（）略（）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离四、回顾总结向量法求距离五、布置作业